نص التمرين
• رقم آحادها مضاعف لـ\(5\)
• رقم عشراتها قاسم لـ\(7\)
• رقم مئاتها من بين الأرقام \(3\) و\(4\) و\(5\)
1) باستعمال شجرة الاختيار، حدّد عناصر المجموعة \(E\).
2) حدّد كمّ المجموعة \(E\).
3) استنتج من بين عناصر \(E\) من يقبل القسمة على \(6\).
المرحلة 1: توجيهات للتفكير
ثلاثة شروط. قبل أن ترسم أيّ شجرة، ترجم كلّ شرط إلى قائمة أرقام.
«مضاعف لـ\(5\)» من بين الأرقام \(0\dots 9\): أيّها؟
«قاسم لـ\(7\)»: انتبه — \(7\) عدد أوّليّ. ما هي قواسمه؟
وفخّ خفيّ: الأرقام يجب أن تكون مختلفة. هل يوجد رقم يمكن أن يظهر مرّتين هنا؟
المرحلة 2: منهجية الحل
- ترجم كلّ شرط إلى قائمة صريحة من الأرقام.
- احسب أوّلاً بلا قيد الاختلاف (اضرب الإمكانيات).
- ثمّ اطرح الحالات التي يتكرّر فيها رقم.
- للسؤال 3: لا تُعِد العدّ. طبّق معيار \(6\) على القائمة.
المرحلة 3: التصحيح المفصل
1) ترجمة الشروط
رقم الآحاد — مضاعف لـ\(5\): \(\{0\;;\;5\}\) ⟹ 2 إمكانيتان.
رقم العشرات — قاسم لـ\(7\): بما أنّ \(7\) أوّليّ، قواسمه \(\{1\;;\;7\}\) ⟹ 2 إمكانيتان.
رقم المئات — \(\{3\;;\;4\;;\;5\}\) ⟹ 3 إمكانيات.
الحساب الأوّلي
الفخّ: شرط «أرقام مختلفة»
الرقم \(5\) موجود في قائمتين: المئات \(\{3;4;5\}\) والآحاد \(\{0;5\}\).
إذن هناك حالتان يتكرّر فيهما \(5\): العددان \(\mathbf{515}\) و\(\mathbf{575}\) ⟹ نُسقطهما.
القائمة الكاملة:
310 · 315 · 370 · 375 · 410 · 415 · 470 · 475 · 510 · 570
3) القسمة على \(6\)
الفلتر الأوّل — الزوجيّة (أسرع فلتر): نُسقط كلّ ما ينتهي بـ\(5\).
يبقى: \(310\;;\;370\;;\;410\;;\;470\;;\;510\;;\;570\)
الفلتر الثاني — مجموع الأرقام مضاعف لـ\(3\):
| العدد | مجموع الأرقام | ÷ 3 ؟ |
|---|---|---|
| 310 | 3+1+0 = 4 | ❌ |
| 370 | 3+7+0 = 10 | ❌ |
| 410 | 4+1+0 = 5 | ❌ |
| 470 | 4+7+0 = 11 | ❌ |
| 510 | 5+1+0 = 6 | ✅ |
| 570 | 5+7+0 = 12 | ✅ |
1. اِحسب أوّلاً بلا قيد، ثمّ اطرح الممنوعات — أسهل من محاولة تفاديها أثناء العدّ.
2. في القسمة على \(6\)، ابدأ بالزوجيّة: إنّها تُقصي النصف في لمحة.