التمرين 12 — قابلية القسمة

🔢 قابلية القسمة⭐ التاسعة أساسي📘 تصحيح في 3 مراحل

نص التمرين

التمرين رقم 1 — أحِط بدائرة كلّ إجابة صحيحة.

1) العددان \(301\) و\(91\) هما: أوّليّان / أوّليّان فيما بينهما / غير أوّليَّين
2) \(a\) عدد صحيح طبيعيّ، \(x = 15a+8\) و\(y = 9a+10\). إذن \(x+y\) يقبل القسمة على: \(4\) / \(6\) / \(12\)
3) خارج قسمة \(3^{2015} - 3^{2013}\) على \(12\) يساوي: \(2\times 3^{2013}\) / \(8\times 3^{2013}\) / \(3\times 3^{2013}\)
4) العدد \(c = \sqrt{12 - \pi - \left(3-\pi\right)}\) هو عدد: أصمّ / كسريّ عشريّ / كسريّ غير عشريّ

⚠️ بعض الرموز في النسخة الأصلية غير واضحة بسبب استخراج PDF. يجب مقارنة العبارة بالصورة الأصلية قبل اعتماد نتيجة عددية نهائية.

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

أربعة أسئلة، أربع أفكار مختلفة تمامًا. لا تتسرّع.

سؤال 1: «أوّليّان» و«أوّليّان فيما بينهما» ليسا نفس الشيء! ما الفرق؟

سؤال 2: اجمع \(x\) و\(y\) أوّلاً، ثمّ حلّل النتيجة.

سؤال 3: السؤال يطلب الخارج، لا مجرّد إثبات القسمة.

سؤال 4: قبل أن تقرّر إن كان \(c\) أصمّ، بسّط ما تحت الجذر. لا تحكم على مظهر العبارة.

المرحلة 2: منهجية الحل

تعريفان لا يجب الخلط بينهما:
• عدد أوّليّ: قاسماه الوحيدان هما \(1\) ونفسه.
• عددان أوّليّان فيما بينهما: ق.م.ش\(\left(a;b\right)=1\) — لا يشتركان في أيّ قاسم عدا \(1\).

للسؤال 2: اجمع ثمّ حلّل — لا تجرّب قيمًا.
للسؤال 3: حلّل، ثمّ اقسم على \(12\) فعليًّا.
للسؤال 4: بسّط داخل الجذر قبل كلّ شيء.

المرحلة 3: التصحيح المفصل

1) العددان \(301\) و\(91\)

\(301 = 7\times 43\) · \(91 = 7\times 13\)

لا واحد منهما أوّليّ (لكلٍّ قواسم أخرى غير \(1\) ونفسه).
وهما ليسا أوّليَّين فيما بينهما: يشتركان في العامل \(7\).

ق.م.ش\(\left(301\;;\;91\right) = 7 \neq 1\) ⟹ الجواب: غير أوّليَّين (ولا أوّليَّين فيما بينهما)

2) \(x+y\)

\(x+y = \left(15a+8\right)+\left(9a+10\right) = 24a+18 = 6\left(4a+3\right)\)

العامل \(6\) ظاهر ⟹ \(x+y\) يقبل القسمة على \(\mathbf{6}\) مهما كان \(a\).

ولماذا ليس \(12\) ؟ جرّب \(a=0\): \(x+y = 18\)، و\(18\) لا يقبل القسمة على \(12\). مثال مضادّ واحد يكفي.

3) خارج قسمة \(3^{2015} - 3^{2013}\) على \(12\)

\(3^{2015}-3^{2013} = 3^{2013}\left(3^{2}-1\right) = 8\times 3^{2013}\)

الآن نقسم على \(12\). لاحظ أنّ \(3^{2013} = 3 \times 3^{2012}\):

\(\dfrac{8\times 3^{2013}}{12} = \dfrac{8\times 3\times 3^{2012}}{12} = \dfrac{24\times 3^{2012}}{12} = \mathbf{2\times 3^{2012}}\)

الفخّ: الخيار \(8\times 3^{2013}\) هو العدد نفسه، لا خارج قسمته! من اكتفى بالتحليل وقع فيه.

4) العدد \(c\)

بسّط داخل الجذر أوّلاً:

\(12 - \pi - \left(3-\pi\right) = 12 - \pi - 3 + \pi = 9\)

العدد \(\pi\) اختفى تمامًا! إذن:

\(c = \sqrt{9} = \mathbf{3}\)

⚠️ ملاحظة صادقة على نصّ التمرين
الخيارات المعروضة هي: «أصمّ / كسريّ عشريّ / كسريّ غير عشريّ».
لكنّ \(c = 3\) هو عدد صحيح طبيعيّ. وهو كسريّ عشريّ (لأنّ \(3 = \dfrac{3}{1} = 3{,}0\))، فالخيار الثاني هو الأقرب — لكنّ صياغة السؤال ناقصة.
والدرس أهمّ من الجواب: وجود \(\pi\) في عبارة لا يعني أنّ العدد أصمّ. بسّط دائمًا قبل أن تحكم.