نص التمرين
تمرين — لتكن العبارة \(M = \dfrac{6n+44}{n+2}\) حيث \(n\) عدد صحيح نسبيّ مخالف لـ\(-2\).
1) بيّن أنّ \(M = 6 + \dfrac{32}{n+2}\)
2) أوجد كلّ القيم الممكنة لـ\(n\) حتّى يكون \(M\) عددًا صحيحًا نسبيًّا.
1) بيّن أنّ \(M = 6 + \dfrac{32}{n+2}\)
2) أوجد كلّ القيم الممكنة لـ\(n\) حتّى يكون \(M\) عددًا صحيحًا نسبيًّا.
⚠️ بعض الرموز في النسخة الأصلية غير واضحة بسبب استخراج PDF. يجب مقارنة العبارة بالصورة الأصلية قبل اعتماد نتيجة عددية نهائية.
المرحلة 1: توجيهات للتفكير
السؤال الأوّل ليس مجرّد تمرين حسابيّ — إنّه المفتاح للسؤال الثاني.
لماذا نريد كتابة \(M\) في صورة \(6 + \dfrac{32}{n+2}\) ؟
لأنّ \(6\) عدد صحيح دائمًا. إذن كلّ صعوبة \(M\) تتركّز في الكسر \(\dfrac{32}{n+2}\).
وسؤال بسيط يحسم كلّ شيء: متى يكون \(\dfrac{32}{n+2}\) عددًا صحيحًا؟
المرحلة 2: منهجية الحل
- للسؤال 1: اقسم \(6n+44\) على \(n+2\) — أو بطريقة أذكى: اكتب \(6n+44 = 6\left(n+2\right) + \text{شيء}\).
- للسؤال 2: \(M\) صحيح \(\Longleftrightarrow\) \(\dfrac{32}{n+2}\) صحيح \(\Longleftrightarrow\) \(n+2\) قاسم لـ\(32\).
- انتبه: \(n\) عدد نسبيّ — إذن القواسم السالبة مقبولة أيضًا!
قواسم \(32\): \(\pm 1\;;\;\pm 2\;;\;\pm 4\;;\;\pm 8\;;\;\pm 16\;;\;\pm 32\) — أي 12 قاسمًا.
المرحلة 3: التصحيح المفصل
1) الكتابة الجديدة
نبحث عن كتابة \(6n+44\) بدلالة \(n+2\):
\(6\left(n+2\right) = 6n+12\). ويبقى \(44-12 = 32\).
\(6n+44 = 6\left(n+2\right) + 32\)
إذن:
\(M = \dfrac{6\left(n+2\right)+32}{n+2} = \dfrac{6\left(n+2\right)}{n+2} + \dfrac{32}{n+2} = 6 + \dfrac{32}{n+2}\)
2) متى يكون \(M\) صحيحًا؟
العدد \(6\) صحيح دائمًا. إذن:
\(M\) صحيح \(\Longleftrightarrow\) \(\dfrac{32}{n+2}\) صحيح \(\Longleftrightarrow\) \(n+2\) قاسم لـ\(32\)
| n + 2 | n | 32/(n+2) | M |
|---|---|---|---|
| 1 | −1 | 32 | 38 |
| 2 | 0 | 16 | 22 |
| 4 | 2 | 8 | 14 |
| 8 | 6 | 4 | 10 |
| 16 | 14 | 2 | 8 |
| 32 | 30 | 1 | 7 |
| −1 | −3 | −32 | −26 |
| −2 | −4 | −16 | −10 |
| −4 | −6 | −8 | −2 |
| −8 | −10 | −4 | 2 |
| −16 | −18 | −2 | 4 |
| −32 | −34 | −1 | 5 |
الحلول (12 قيمة):
\(n \in \{-34\;;\;-18\;;\;-10\;;\;-6\;;\;-4\;;\;-3\;;\;-1\;;\;0\;;\;2\;;\;6\;;\;14\;;\;30\}\)
\(n \in \{-34\;;\;-18\;;\;-10\;;\;-6\;;\;-4\;;\;-3\;;\;-1\;;\;0\;;\;2\;;\;6\;;\;14\;;\;30\}\)
الخطأ الأخطر في هذا التمرين: نسيان القواسم السالبة.
النصّ يقول «عدد صحيح نسبيّ» — أي \(\mathbb{Z}\)، لا \(\mathbb{N}\).
من نسي السالبة وجد \(6\) حلول فقط بدل \(12\) — أي نصف الجواب.
اقرأ دائمًا في أيّ مجموعة تعمل.
النصّ يقول «عدد صحيح نسبيّ» — أي \(\mathbb{Z}\)، لا \(\mathbb{N}\).
من نسي السالبة وجد \(6\) حلول فقط بدل \(12\) — أي نصف الجواب.
اقرأ دائمًا في أيّ مجموعة تعمل.