التمرين 10 — قابلية القسمة

🔢 قابلية القسمة⭐ التاسعة أساسي📘 تصحيح في 3 مراحل

نص التمرين

تمرين — ليكن \(n\) عددًا صحيحًا طبيعيًّا أصغر من \(50\)، ولتكن: \[E = 27^{669} + n \times 9^{1003}\] أوجد كلّ القيم الممكنة لـ\(n\) حتّى يقبل \(E\) القسمة على \(15\).
⚠️ بعض الرموز في النسخة الأصلية غير واضحة بسبب استخراج PDF. يجب مقارنة العبارة بالصورة الأصلية قبل اعتماد نتيجة عددية نهائية.

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

الأُسس مخيفة — تجاهلها. المهمّ: \(27\) و\(9\) قوى لأيّ أساس؟

\(27=3^{3}\) و\(9=3^{2}\). كلاهما قوّة لـ\(3\).

وحّد الأساس، ثمّ أخرج العامل المشترك. سترى أنّ \(E\) يصبح جداءً فيه \(n\).

ثمّ اسأل: \(15=3\times 5\). أيّ العاملين ستحصل عليه مجّانًا؟ وأيّهما يفرض شرطًا على \(n\)؟

المرحلة 2: منهجية الحل

  1. وحّد الأساس: \(27^{669}=3^{?}\) و\(9^{1003}=3^{?}\).
  2. أخرج القوّة الأصغر عاملاً مشتركًا.
  3. فكّك \(15=3\times 5\) وابحث عن كلّ عامل.
  4. لا تنسَ الشرط \(n<50\) في النهاية.

المرحلة 3: التصحيح المفصل

توحيد الأساس

\(27^{669}=\left(3^{3}\right)^{669}=3^{2007}\)  ·  \(9^{1003}=\left(3^{2}\right)^{1003}=3^{2006}\)

\(E = 3^{2007} + n\times 3^{2006} = 3^{2006}\left(3 + n\right)\)

البحث عن العاملين

نريد \(15=3\times 5\).

العامل \(3\): موجود مجّانًا داخل \(3^{2006}\) ✓ — مهما كان \(n\).

العامل \(5\): القوّة \(3^{2006}\) أساسها \(3\) (أوّليّ) ⟹ لا تحتوي على أيّ عامل \(5\).
إذن العامل \(5\) يجب أن يأتي من \(\left(3+n\right)\).

الشرط: \(3+n\) يجب أن يقبل القسمة على \(5\)

حلّ الشرط مع \(n<50\)

\(3+n\) مضاعف لـ\(5\) ⟹ \(3+n \in \{5;10;15;\dots\}\) ⟹ \(n \in \{2;7;12;\dots\}\)

الحلول: \(n \in \{2\;;\;7\;;\;12\;;\;17\;;\;22\;;\;27\;;\;32\;;\;37\;;\;42\;;\;47\}\)
أي 10 قيم.

نلاحظ أنّها تتباعد بـ\(5\) — وهذا طبيعيّ: الشرط دوريّ بدورة \(5\).

الفكرة الكبرى: عوامل \(15\) لم تُعامَل بنفس الطريقة.
العامل \(3\) جاء من القوّة — بلا شرط.
العامل \(5\) لا يمكن أن يأتي من قوّة أساسها \(3\) — فهو الذي فرض الشرط على \(n\).
عندما تبحث عن قابلية القسمة، اسأل دائمًا: من أين يأتي كلّ عامل؟