التمرين 09 — قابلية القسمة

🔢 قابلية القسمة⭐ التاسعة أساسي📘 تصحيح في 3 مراحل

نص التمرين

تمرين — بيّن أنّ:
1) \(2^{2011}-2^{2008}\) يقبل القسمة على \(7\)
2) \(3\times 8^{21}-9\times 4^{30}\) يقبل القسمة على \(15\)
3) \(3^{250}-81^{62}\) يقبل القسمة على \(12\)
4) \(125^{22}-7\times 25^{32}\) يقبل القسمة على \(15\)
⚠️ بعض الرموز في النسخة الأصلية غير واضحة بسبب استخراج PDF. يجب مقارنة العبارة بالصورة الأصلية قبل اعتماد نتيجة عددية نهائية.

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

الأُسس ضخمة: \(2011\), \(250\), \(2^{2008}\)… لا تفكّر أبدًا في حساب هذه الأعداد. لن ينفعك أيّ حاسوب.

السرّ في هذا الباب كلّه: حجم العدد لا علاقة له بصعوبة التمرين.

سؤال يوجّهك في كلّ حالة: هل الأساسان متساويان؟ إن لم يكونا كذلك، هل يمكن ردّهما إلى أساس واحد؟

لاحظ: \(8=2^{3}\) و\(4=2^{2}\) و\(81=3^{4}\) و\(125=5^{3}\) و\(25=5^{2}\). كلّها قوى لأساس بسيط.

المرحلة 2: منهجية الحل

  1. وحّد الأساس أوّلاً. استعمل \(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\times n}\) — نضرب الأُسّين، لا نجمعهما.
  2. أخرج القوّة الأصغر عاملاً مشتركًا.
  3. احسب ما بين القوسين — إنّه عدد صغير دائمًا.
  4. فكّك القاسم المطلوب وابحث عن كلّ عامل من عوامله في الجداء النهائي.
تنبيه: وجود عامل واحد لا يكفي. لتقبل القسمة على \(15=3\times 5\) يجب أن تجد العامل \(3\) والعامل \(5\) معًا.

المرحلة 3: التصحيح المفصل

1) \(2^{2011}-2^{2008}\) على \(7\)

الأساس واحد. الفارق بين الأُسّين هو \(2011-2008=3\).

\(2^{2011}-2^{2008}=2^{2008}\left(2^{3}-1\right)=2^{2008}\times 7=7\times 2^{2008}\)

العامل \(7\) ظاهر ⟹ يقبل القسمة على \(7\). الأُسّ \(2008\) لم يُستعمل أبدًا في الحساب — الفارق \(3\) وحده هو المهمّ.

2) \(3\times 8^{21}-9\times 4^{30}\) على \(15\)

وحّد الأساس: \(8^{21}=\left(2^{3}\right)^{21}=2^{63}\) و\(4^{30}=\left(2^{2}\right)^{30}=2^{60}\).

\(3\times 2^{63}-9\times 2^{60}=2^{60}\left(3\times 2^{3}-9\right)=2^{60}\left(24-9\right)=15\times 2^{60}\)

العامل \(15\) ظهر مباشرة ✓

3) \(3^{250}-81^{62}\) على \(12\)

\(81=3^{4}\) إذن \(81^{62}=\left(3^{4}\right)^{62}=3^{248}\).

\(3^{250}-3^{248}=3^{248}\left(3^{2}-1\right)=8\times 3^{248}\)

الآن نفكّك: \(12=4\times 3\). العامل \(4\) موجود داخل \(8=4\times 2\)، والعامل \(3\) موجود داخل \(3^{248}\).

إذن \(3^{250}-81^{62}=12\times \left(2\times 3^{247}\right)\) ✓

4) \(125^{22}-7\times 25^{32}\) على \(15\)

\(125=5^{3}\) و\(25=5^{2}\) ⟹ \(125^{22}=5^{66}\) و\(25^{32}=5^{64}\).

\(5^{66}-7\times 5^{64}=5^{64}\left(5^{2}-7\right)=5^{64}\times 18=18\times 5^{64}\)

\(15=3\times 5\) : العامل \(3\) داخل \(18=2\times 9\)، والعامل \(5\) داخل \(5^{64}\) ✓

فخّ مهمّ في السؤال 4: العدد \(7\) يظهر في الكتابة الأولى — لكنّه اختفى تمامًا بعد التبسيط.
لا تستنتج من وجود عدد في الكتابة أنّ العبارة تقبل القسمة عليه. بسّط أوّلاً، ثمّ احكم.