التمرين 008 — شجرة الاختيار — التتويج

🌳 شجرة الاختيار⭐ التاسعة أساسي📘 تصحيح في 3 مراحل

نص التمرين

4 سيارات مرقّمة 1 و2 و3 و4 تصطفّ أمام خطّ الانطلاق. ما هو عدد إمكانيات تتويج السيارات الثلاث الأولى في سباقٍ تُجريه هذه السيارات؟ (دون الحصول على سيارتين في نفس الرتبة)

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

المطلوب ليس «كم سيارة تفوز» بل كم منصّة تتويجٍ مختلفة يمكن أن نراها: من الأوّل، من الثاني، من الثالث.

سؤالٌ حاسم: هل التتويج \((1,2,3)\) هو نفسه \((3,2,1)\)؟ لا — الترتيب مهمّ. المركز الأوّل ليس كالثالث.

وبعد أن تُتوَّج سيارةٌ في المركز الأوّل، هل يمكنها أن تُتوَّج في الثاني أيضًا؟

المرحلة 2: منهجية الحل

  1. اِبنِ الشجرة على ثلاثة مستويات: المركز 1 ، المركز 2 ، المركز 3.
  2. عند كلّ مستوى، اِحذف السيارات المتوّجة سابقًا.
  3. اُحسب الجداء، ثمّ تحقّق بعدّ أوراق الشجرة.

المرحلة 3: التصحيح المفصل

بناء الشجرة

المركز الأوّل: أيّ سيارةٍ من الأربع ⟶ 4 اختيارات.
المركز الثاني: سيارةٌ واحدة صارت متوَّجة ⟶ 3 اختيارات.
المركز الثالث: ⟶ 2 اختيار.

\(4\times 3\times 2=\mathbf{24}\) إمكانيّة تتويج

القائمة الكاملة (الأربع فروع)

الأوّل = 1123 · 124 · 132 · 134 · 142 · 143
الأوّل = 2213 · 214 · 231 · 234 · 241 · 243
الأوّل = 3312 · 314 · 321 · 324 · 341 · 342
الأوّل = 4412 · 413 · 421 · 423 · 431 · 432

\(4\times 6=24\) ✓ — العدّ على الشجرة يُطابق الجداء.

لماذا نُنقص 1 في كلّ مرّة؟ لأنّ سيارةً واحدةً لا تحتلّ مركزين. لو كان السؤال «كم من طريقةٍ لاختيار ثلاث سيارات فائزة دون ترتيب» لكان الجواب \(24\div 6=4\) فقط، لأنّ كلّ ثلاثيّةٍ تُعدّ 6 مرّات (\(3\times 2\times 1\)).
«الترتيب مهمّ» أو «الترتيب غير مهمّ» — اقرأ النصّ جيّدًا، فالجواب يتغيّر بمعامل 6.