نص التمرين
1) بيّن أنّ العدد 9876543210 يقبل القسمة على 15.
2) حدّد باقي وخارج القسمة الإقليدية للجذاء \(\left(25^{21}-5^{41}\right)\times 81\) على 12، وعلّل جوابك.
المرحلة 1: توجيهات للتفكير
1: \(15=3\times 5\)، و3 و5 أوليان فيما بينهما. إذن يكفي معياران بسيطان لا حسابٌ طويل.
2: لا تحسب \(25^{21}\) — له 30 رقمًا. وحّد الأساس أوّلاً: \(25=5^{2}\).
«حدّد الباقي والخارج» يعني كتابة العدد على شكل \(12\times q+r\) مع \(0\le r<12\). لا يكفي أن تقول «قابلٌ للقسمة».
المرحلة 2: منهجية الحل
- 1) طبّق معيار القسمة على 5 (رقم الآحاد) ثمّ على 3 (مجموع الأرقام)، ثمّ اِستنتج.
- 2) اُكتب \(25^{21}\) بأساس 5، ثمّ أخرِج أصغر قوّة كعاملٍ مشترك.
- 3) اُضرب في 81 وحاول إبراز العامل 12.
المرحلة 3: التصحيح المفصل
1) العدد 9876543210
على 5: رقم الآحاد هو 0 ⟶ قابلٌ للقسمة على 5 ✓
على 3: \(9+8+7+6+5+4+3+2+1+0=45=3\times 15\) ⟶ قابلٌ للقسمة على 3 ✓
و3 و5 أوليان فيما بينهما ⟶ العدد قابلٌ للقسمة على \(3\times 5=\mathbf{15}\).
شرط «أوليان فيما بينهما» ليس زخرفة. القابليّة للقسمة على 2 وعلى 4 لا تُعطي القابليّة للقسمة على 8: العدد 12 يقبل القسمة على 2 وعلى 4، ولا يقبلها على 8.
2) الجذاء \(\left(25^{21}-5^{41}\right)\times 81\)
توحيد الأساس: \(25^{21}=\left(5^{2}\right)^{21}=5^{42}\).
تحليل: \(5^{42}-5^{41}=5^{41}\left(5-1\right)=4\times 5^{41}\).
الجذاء: \(4\times 5^{41}\times 81=324\times 5^{41}\).
و\(324=12\times 27\). إذن:
الجذاء \(=12\times\left(27\times 5^{41}\right)+0\)
الباقي \(=0\) · الخارج \(=27\times 5^{41}\)
التعليل: الباقي 0 يُحقّق \(0\le 0<12\)، والكتابة \(12\times q+0\) هي بالضبط شكل القسمة الإقليدية على 12.
لم نحسب أيّ عددٍ ضخم. \(4\times 81=324\) ثمّ \(324=12\times 27\): كلّ العمل جرى على أعدادٍ صغيرة، بينما بقي \(5^{41}\) ساكنًا لم نلمسه. القاعدة: احسب فقط ما تحتاج إلى حسابه.