التمرين 005 — صواب أم خطأ

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

ابدأ بكلّ جملةٍ هكذا: «هل أشمّ فيها رائحةَ استثناء؟» إن نعم ⟶ اِبحث عن المثال المضادّ. إن لا ⟶ اِبحث عن التحليل.

وفي الجملة 5، اسأل نفسك سؤالاً قبل أيّ حساب: هل يمكن أن يكون الباقي 7 عند القسمة على 4؟

المرحلة 2: منهجية الحل

1. لكلّ جملة: هل هي «مهما يكن…»؟ إذن مثالٌ مضادٌّ واحد يهدمها.
2. عند الشكّ في الأوّليّة فيما بينهما، اِبحث عن قاسمٍ مشتركٍ ظاهر (حلّل!).
3. عند القسمة الإقليدية، تحقّق دائمًا من الشرط \(0\le r
4. عند «قائمة الحلول»، تحقّق أنّها كاملة، لا فقط صحيحة.

المرحلة 3: التصحيح المفصل

1) \(3n+6\) و\(6n+3\) أوليان فيما بينهما — خطأ

نحلّل: \(3n+6=3\,(n+2)\)  و  \(6n+3=3\,(2n+1)\).

العدد 3 يقسم كليهما، مهما كان \(n\). إذن قاسمهما المشترك الأكبر ≥ 3، وليس 1.

2) زوجيّ وفرديّ ⟹ أوليان فيما بينهما — خطأ

مثالٌ مضادّ: \(6\) زوجيّ و\(9\) فرديّ، لكنّ \(\text{ق.م.أ}(6;9)=3\neq 1\).

3) \(n^{3}-n\) عددٌ أوّليّ — خطأ

\(n^{3}-n=n\,(n^{2}-1)=n\,(n-1)(n+1)\) ⟶ جداءُ ثلاثة أعدادٍ متتالية.

مثالٌ مضادّ: \(n=2\) ⟶ \(8-2=6\)، و6 ليس أوّليًّا.

بل إنّ العدد لا يكون أوّليًّا أبدًا (لأنّه مضاعفٌ لـ6، كما سنرى في 4).

4) \(n^{3}-n\) يقبل القسمة على 6 — صواب

\(n^{3}-n=(n-1)\,n\,(n+1)\) ⟶ ثلاثة أعدادٍ متتالية.

على 2: من بين عددين متتاليين يوجد واحدٌ زوجيّ ⟶ الجداء زوجيّ ✓
على 3: من بين ثلاثة أعدادٍ متتالية يوجد واحدٌ مضاعفٌ لـ3 ⟶ الجداء مضاعفٌ لـ3 ✓

و2 و3 أوليان فيما بينهما ⟶ الجداء مضاعفٌ لـ\(2\times 3=6\). ✓

5) \(x=8y+7\) ⟹ باقي \(x\) على 4 هو 7 — خطأ

والحساب يؤكّد: \(x=8y+7=8y+4+3=4\,(2y+1)+3\) ⟶ الباقي هو 3.

6) قائمة حلول \(xy=52\) — خطأ

قواسم 52: \(52=2^{2}\times 13\) ⟶ القواسم هي \(\{1\,;\,2\,;\,4\,;\,13\,;\,26\,;\,52\}\) ⟶ ستّة قواسم.

القائمة المُعطاة تنسى الزوجين \(\mathbf{(4\,;\,13)}\) و\(\mathbf{(13\,;\,4)}\).

الحلول الكاملة (ستّة): \((1;52)\,,\,(2;26)\,,\,(4;13)\,,\,(13;4)\,,\,(26;2)\,,\,(52;1)\)

7) \(36n+48\) يقبل القسمة على 6 — صواب

\(36=6\times 6\) و\(48=6\times 8\) ⟶ \(36n+48=6\,(6n+8)\) ✓ مهما كان \(n\).

8) عددٌ من ثلاثة أرقامٍ متتالية مضاعفٌ لـ3 — صواب

الأرقام: \(a\) ، \(a+1\) ، \(a+2\). مجموعها \(=3a+3=3\,(a+1)\) ⟶ مضاعفٌ لـ3.

ومعيار القسمة على 3 يقول: العدد مضاعفٌ لـ3 إذا كان مجموع أرقامه مضاعفًا لـ3. ✓

أمثلة: 123 (مجموع 6) ، 456 (مجموع 15) ، 789 (مجموع 24) — كلّها مضاعفاتٌ لـ3.

9) نفس العدد يقبل القسمة على 9 — خطأ

مجموع الأرقام هو \(3(a+1)\). وهو مضاعفٌ لـ9 فقط إذا كان \(a+1\) مضاعفًا لـ3.

مثالٌ مضادّ: \(123\) ⟶ مجموع الأرقام \(=6\)، و6 ليس مضاعفًا لـ9 ⟶ \(123\) لا يقبل القسمة على 9.

10) باقي 2078 على 8 هو 3 — خطأ

معيار 8: نُقسم آخر ثلاثة أرقام. \(078=78\)، و\(78=8\times 9+6\).

وبالحساب المباشر: \(2078=8\times 259+\mathbf{6}\).

الباقي هو 6، لا 3.