فرض تأليفي — الرياضيات

📚 السنة التاسعة أساسي⏱ المدّة: ساعتان📝 المصدر: Brevet12 (الحصة رقم 12)
التمرين 1
اختيار الإجابة الصحيحة (QCM)

📝 نصّ التمرين

أختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الاقتراحات المقدّمة (الإجابة الصحيحة مظلَّلة بالأخضر في الإصلاح).

السؤالإجابة 1إجابة 2إجابة 3
\(a,b,c\) بحيث \(a-2\sqrt2=b+2\sqrt3=c+3\) \(c \(b \(a
أعمار رضّع بالشهر: \(9,7,1,4,3,4,5\)؛ العدد \(4\) يمثّل المعدّل الحسابي المدى المنوال
إذا كان \(ABCDEFGH\) مكعّبًا فإنّ المثلث \(BED\) متقايس الأضلاع قائم الزاوية مثلّث عامّ
ملاحظة أمانة (السؤال الأوّل): بوضع \(a-2\sqrt2=b+2\sqrt3=c+3=k\) نجد \(a=k+2\sqrt2,\ b=k-2\sqrt3,\ c=k-3\)، وبما أنّ \(2\sqrt3\approx3.46>3\) فإنّ الترتيب الصحيح هو \(b وهو غير مدرَج ضمن الاقتراحات الثلاثة (يُرجّح خطأً في المصدر؛ أقرب اقتراح \(c يفترض خطأً أنّ \(2\sqrt3<3\)).
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

المنوال هو الأكثر تكرارًا، المدى هو الفرق بين الأكبر والأصغر، والمعدّل هو مجموع القيم على عددها. وفي المكعّب أقطار الأوجه متساوية.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س2. المعدّل \(=\dfrac{33}{7}\approx4.71\)، المدى \(=9-1=8\)، المنوال \(=4\) (الأكثر تكرارًا). إذن \(4\) يمثّل المنوال.
س3. في المكعّب \(BE,ED,DB\) أقطار أوجه متساوية \((=a\sqrt2)\)، فالمثلث \(BED\) متقايس الأضلاع.

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. \(b (انظر الملاحظة). س2. المنوال. س3. متقايس الأضلاع. ✓
التمرين 2
العبارة الجبرية والهندسة التحليلية

📝 نصّ التمرين

I) نعتبر العبارة \(M=a^2+2a-2\) حيث \(a\) عدد حقيقي.
  1. أحسب \(M\) إذا كان \(a=\dfrac{\sqrt3}{2}\).
  2. أ- بيّن أنّ \(M+3=(a+1)^2\). ب- استنتج أنّ \(M=(a+1-\sqrt3)(a+1+\sqrt3)\). ج- حلّ في \(\mathbb{R}\) المعادلة \(M=0\).
II) في معيّن متعامد \((O,I,J)\) حيث \(OI=OJ=1\)، والنقطة \(M(a+1\,;\,0)\).
  1. أ- حدّد بقراءة الرسم إحداثيات \(B,C,D\). ب- أحسب \(BC\) و \(OM\).
  2. المستقيم المارّ من \(C\) والموازي لـ \((OI)\) يقطع \((MB)\) في \(E\). أ- بيّن أنّ \(M\) منتصف \([BE]\) واستنتج أنّ \(CE=2a+2\). ب- جد إحداثيات \(E\).
  3. أ- بيّن أنّ \(BE^2=4a^2+8a+40\) و \(DE^2=4a^2+8a+8\). ب- جد \(a\) ليكون المثلث \(BED\) قائمًا في \(E\).
  4. لتكن \(F\) مناظرة \(E\) بالنسبة إلى \(C\). بيّن أنّ \(M,J,F\) على استقامة واحدة.
ملاحظة أمانة: كُتب في المصدر «\(CE=2a+4\)» والمقصود \(CE=2a+2\) (يؤكّده \(BE^2=4a^2+8a+40\) الموافق لـ\(E(2a+2\,;\,3)\)).
IJO D C B M
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

I. \(M+3\) مربّع كامل.
II. \(B(0;-3),C(0;3),D(0;5),M(a+1;0)\)؛ استعمل الإحداثيات.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

I. \(M\left(\tfrac{\sqrt3}{2}\right)=\sqrt3-\dfrac54\). و \(M=(a+1)^2-3=(a+1-\sqrt3)(a+1+\sqrt3)\)، والحلول \(a=-1\pm\sqrt3\).
II-1,2. \(BC=6\)، \(OM=|a+1|\). و \(E(2a+2;3)\)، ومنتصف \([BE]\) هو \((a+1;0)=M\)، و \(CE=2a+2\).
II-3. \(BE^2=(2a+2)^2+36=4a^2+8a+40\)، \(DE^2=(2a+2)^2+4=4a^2+8a+8\). و \(BED\) قائم في \(E\Leftrightarrow BE^2+DE^2=BD^2=64\Leftrightarrow a^2+2a-2=0\Leftrightarrow a=\sqrt3-1\).
II-4. \(F=2C-E=(-2a-2;3)\)، و \(\vec{MF}=3\vec{MJ}\) فـ\(M,J,F\) على استقامة واحدة.

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

I. \(M=(a+1-\sqrt3)(a+1+\sqrt3)\)، الحلول \(-1\pm\sqrt3\).
II. \(E(2a+2;3)\)، \(BED\) قائم في \(E\Rightarrow a=\sqrt3-1\)؛ و \(M,J,F\) مستقيمة. ✓
التمرين 3
العمليات في ℝ والمثلث القائم

📝 نصّ التمرين

I) نعتبر العبارتين \(a=\dfrac{4-\sqrt7}{3-\sqrt7}-\dfrac{1}{3+\sqrt7}\) و \(b=3\,|-\sqrt7-1|-\dfrac{6}{\sqrt7-2}\).
  1. بيّن أنّ \(a=\sqrt7+1\) و \(b=\sqrt7-1\).
  2. بيّن أنّ \(a\) هو مقلوب \(\dfrac{b}{6}\).
II) نعتبر مثلّث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) بحيث \(AB=\sqrt7+1\) و \(AC=\sqrt7-1\).
  1. أحسب \(AB^2\) و \(AC^2\).
  2. استنتج أنّ \(BC=4\).
  3. لتكن \(H\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BC)\). بيّن أنّ \(AH=\dfrac32\).
ملاحظة أمانة: كُتب في المصدر «\(a=\sqrt7-1\)» في السؤال 1 والمقصود \(b=\sqrt7-1\). و \(ab=6\) فـ\(a\) مقلوب \(\dfrac{b}{6}\).
CAB √7−1√7+1 H
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

I. نسّب المقامات وارفع القيمة المطلقة.
II. فيثاغورس، والعلاقة المِترية \(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

I. \(\dfrac{4-\sqrt7}{3-\sqrt7}=\dfrac{5+\sqrt7}{2}\) و \(\dfrac{1}{3+\sqrt7}=\dfrac{3-\sqrt7}{2}\) فـ\(a=\sqrt7+1\). و \(b=3(\sqrt7+1)-(2\sqrt7+4)=\sqrt7-1\). و \(a\cdot\dfrac{b}{6}=\dfrac{(\sqrt7+1)(\sqrt7-1)}{6}=\dfrac{6}{6}=1\) فـ\(a\) مقلوب \(\dfrac{b}{6}\).
II. \(AB^2=8+2\sqrt7\)، \(AC^2=8-2\sqrt7\)، فـ\(BC^2=AB^2+AC^2=16\Rightarrow BC=4\). و \(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{6}{4}=\dfrac32\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

I. \(a=\sqrt7+1\)، \(b=\sqrt7-1\)، \(a\) مقلوب \(\dfrac{b}{6}\).
II. \(BC=4\) و \(AH=\dfrac32\). ✓
التمرين 4
المثلث المتقايس الساقين والمعيّن

📝 نصّ التمرين

ليكن \(ABO\) مثلثًا متقايس الساقين قمّته الرئيسية \(O\) حيث \(AB=6\,cm\) و \(OA=5\,cm\).

  1. عيّن \(C\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(O\) و \(I\) منتصف \([AB]\). أ- حدّد معلّلًا طبيعة المثلث \(ABC\). ب- أحسب \(BC\) و \(OI\).
  2. لتكن \(G\) نقطة تقاطع \((CI)\) و \((BO)\). أ- الدائرة \((\mathcal{C})\) قطرها \([BC]\) ومركزها \(M\)، تقطع \([AC]\) في نقطة ثانية \(K\). أحسب \(BK\). ب- لتكن \(J\) المسقط العمودي لـ \(G\) على \([BI]\). بيّن أنّ \(\dfrac{IJ}{IB}=\dfrac13\).
  3. أ- المستقيم المارّ من \(A\) والموازي لـ \((OB)\) يقطع \((OI)\) في \(N\). بيّن أنّ \(AOBN\) معيّن. ب- بيّن أنّ \(J\) مركز ثقل المثلث \(BON\). ج- \((OJ)\) يقطع \([BN]\) في \(P\). أحسب مساحة المثلث \(ONP\).
ABO I C
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

الإحداثيات. \(A(-3;0),B(3;0),I(0;0),O(0;4),C(3;8),N(0;-4)\).
س1. \(O\) منتصف \([AC]\) و \(OB=OA=OC=5\) فـ\(B\) على الدائرة قطرها \([AC]\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(OB=OA=OC=5\) فـ\(B\) يرى القطر \([AC]\) بزاوية قائمة، فـ\(ABC\) قائم في \(B\). و \(BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{100-36}=8\)، \(OI=\sqrt{OA^2-AI^2}=\sqrt{25-9}=4\).
س2. \(K\in(\mathcal{C})\Rightarrow(BK)\perp(AC)\) فـ\(BK=\dfrac{AB\cdot BC}{AC}=\dfrac{48}{10}=\dfrac{24}{5}\). و \(G\) مركز ثقل \(ABC\)، ومسقطه \(J\) يعطي \(\dfrac{IJ}{IB}=\dfrac13\).
س3. \(N(0;-4)\) و \(AOBN\) أضلاعه تساوي \(5\) فهو معيّن. و \(J\left(1;0\right)\) مركز ثقل \(BON\)؛ و \(P\left(\dfrac32;-2\right)\) فمساحة \(ONP=6\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س2. \(ABC\) قائم في \(B\)، \(BC=8\)، \(OI=4\)، \(BK=\dfrac{24}{5}\)، \(\dfrac{IJ}{IB}=\dfrac13\).
س3. \(AOBN\) معيّن، \(J\) مركز ثقل \(BON\)، مساحة \(ONP=6\). ✓
التمرين 5
المثلث المتقايس الأضلاع والمعيّن

📝 نصّ التمرين

(وحدة القيس الصنتمتر) \(ABC\) مثلث متقايس الأضلاع، \(I\) منتصف \([BC]\) و \(AB=6\).

  1. بيّن أنّ \(AI=3\sqrt3\).
  2. ابن \(O\) مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(A\). أ- بيّن أنّ المثلث \(OBC\) قائم في \(C\). ب- أحسب \(OC\).
  3. أ- ابن \(G\) من \([AC]\) حيث \(\dfrac{GA}{GC}=\dfrac12\). ب- بيّن أنّ \(CG=4\). ج- استنتج أنّ \(G\) مركز ثقل المثلث \(OBC\). د- أحسب \(IG\).
  4. لتكن \(J\) منتصف \([AC]\)، المستقيم \((JI)\) يقطع \((OC)\) في \(M\). أ- بيّن أنّ \(O,G,I\) على استقامة واحدة. ب- بيّن أنّ الرباعي \(AMCI\) مستطيل.
  5. المستقيم الموازي لـ \((AB)\) والمارّ من \(C\) يقطع \((AI)\) في \(D\). بيّن أنّ الرباعي \(ABDC\) معيّن.
ملاحظة أمانة: كُتب في السؤال 4-أ «\(O,G,M\)» والمقصود \(O,G,I\) على استقامة واحدة (لأنّ \(G\) مركز ثقل \(OBC\) و \(I\) منتصف \([BC]\)، فـ\(G\) على المتوسّط \((OI)\)).
ABC I O
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

الإحداثيات. \(A(0;0),B(6;0),C(3;3\sqrt3),I(\tfrac92;\tfrac32\sqrt3),O(-6;0)\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1–س2. \(AI=\dfrac{AB\sqrt3}{2}=3\sqrt3\). و \(A\) منتصف \([OB]\) و \(AC=AO=AB=6\) فـ\(C\) يرى القطر \([OB]\) بزاوية قائمة، إذن \(OBC\) قائم في \(C\). و \(OC=\sqrt{OB^2-BC^2}=\sqrt{144-36}=6\sqrt3\).
س3. \(GA=\tfrac13 AC=2,\ GC=4\). و \(G\) مركز ثقل \(OBC\) (يقع على \([AC]\) عند \(\tfrac13\) من \(A\)). و \(IG=\sqrt{13}\).
س4. \(G\) مركز ثقل و \(I\) منتصف \([BC]\) فـ\(O,G,I\) على المتوسّط. و \(AMCI\) له زوايا قائمة فهو مستطيل.
س5. \(D(9;3\sqrt3)\) و \(ABDC\) أضلاعه تساوي \(6\) فهو معيّن.

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س3. \(AI=3\sqrt3\)، \(OBC\) قائم في \(C\)، \(OC=6\sqrt3\)، \(CG=4\)، \(IG=\sqrt{13}\).
س4–س5. \(O,G,I\) مستقيمة، \(AMCI\) مستطيل، \(ABDC\) معيّن. ✓
التمرين 6
الهندسة الفضائية — الهرم المنتظم

📝 نصّ التمرين

يمثّل الرسم هرمًا منتظمًا \(SABCD\) قمّته \(S\) و \(O\) مركز قاعدته المربّع \(ABCD\) و \([SO]\) ارتفاعه، حيث \(AB=3\sqrt2\) و \(\sqrt2\times SO=3\sqrt2\) (أي \(SO=3\)).

  1. أ- أحسب \(OA\). ب- بيّن أنّ المثلث \(SAO\) قائم في \(O\). ج- بيّن أنّ \(SO=OA\). د- استنتج أنّ \(SA=3\sqrt2\).
  2. لتكن \(K\) المسقط العمودي للنقطة \(O\) على \([SB]\). أحسب \(OK\).
  3. أ- بيّن أنّ \((AC)\perp(SBD)\). ب- استنتج حسابًا للبعد \(CK\).
ملاحظة أمانة: كُتب في المصدر «\(SA=6\)» في السؤال 1-د؛ لكنّ الشرط \(SO=OA=3\) يعطي \(SA=\sqrt{SO^2+OA^2}=3\sqrt2\) (=\(AB\)، فالهرم نصف ثماني منتظم). اعتُمدت القيمة المتّسقة \(SA=3\sqrt2\).
S AB CD O
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

الإحداثيات. \(O(0;0;0),A(3;0;0),B(0;3;0),C(-3;0;0),D(0;-3;0),S(0;0;3)\).
س1. \(OA=\dfrac{AB\sqrt2}{2}=3\) (نصف قطر المربّع).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(OA=3\). و \([SO]\perp(ABC)\) فـ\(SAO\) قائم في \(O\). و \(SO=3=OA\)، ومنه \(SA=\sqrt{SO^2+OA^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2\).
س2. في المثلث \(SOB\) القائم في \(O\) (\(SO=OB=3,\ SB=3\sqrt2\)): \(OK=\dfrac{SO\cdot OB}{SB}=\dfrac{9}{3\sqrt2}=\dfrac{3\sqrt2}{2}\).
س3. \((AC)\perp(SO)\) و \((AC)\perp(BD)\) (قطرا المربّع) فـ\((AC)\perp(SBD)\). و \(K\left(0;\dfrac32;\dfrac32\right)\) فـ\(CK=\sqrt{9+\dfrac94+\dfrac94}=\dfrac{3\sqrt6}{2}\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. \(OA=3\)، \(SAO\) قائم في \(O\)، \(SO=OA=3\)، \(SA=3\sqrt2\).
س2–س3. \(OK=\dfrac{3\sqrt2}{2}\)؛ \((AC)\perp(SBD)\) و \(CK=\dfrac{3\sqrt6}{2}\). ✓
→ الموضوع السابق (Brevet11) 🏠 القائمة الموضوع التالي (Brevet13) ←