فرض تأليفي — الرياضيات

📚 السنة التاسعة أساسي⏱ المدّة: ساعتان📝 المصدر: Brevet11 (الحصة رقم 11)
التمرين 1
قواعد القابلية للقسمة

📝 نصّ التمرين

أوجد الرقمين \(a\) و \(b\) حتّى يصبح العدد:

  1. \(\overline{3a4b}\) يقبل القسمة على \(15\).
  2. \(\overline{36a8b}\) يقبل القسمة على \(12\).
  3. \(\overline{3a5b}\) يقبل القسمة على \(6\).
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

القواعد. \(15=3\times5\)، \(12=4\times3\)، \(6=2\times3\). القسمة على \(3\): مجموع الأرقام؛ على \(5\): آخر رقم \(0\) أو \(5\)؛ على \(4\): العددان الأخيران؛ على \(2\): آخر رقم زوجيّ.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

1. \(\overline{3a4b}\) يقبل القسمة على \(15\): \(b\in\{0,5\}\) و \(7+a+b\equiv0\ [3]\). مثلًا: \(b=0,a\in\{2,5,8\}\) (\(3240,3540,3840\)) أو \(b=5,a\in\{0,3,6,9\}\) (\(3045,3345,3645,3945\)).
2. \(\overline{36a8b}\) يقبل القسمة على \(12\): \(\overline{8b}\) مضاعف لـ\(4\Rightarrow b\in\{0,4,8\}\)، و \(17+a+b\equiv0\ [3]\). مثلًا \(b=4,a\in\{0,3,6,9\}\).
3. \(\overline{3a5b}\) يقبل القسمة على \(6\): \(b\) زوجيّ و \(8+a+b\equiv0\ [3]\). مثلًا \(b=0,a\in\{1,4,7\}\) (\(3150,3450,3750\)).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

تُوجد عدّة حلول في كلّ حالة؛ الشرطان هما القابلية للقسمة على العاملين معًا. ✓
التمرين 2
القابلية للقسمة (قوى الأعداد)

📝 نصّ التمرين

  1. بيّن أنّ العدد \(25^{50}-2\times5^{103}\) يقبل القسمة على \(3\).
  2. بيّن أنّ العدد \(3^{5000}-13\times3^{1001}-243\) يقبل القسمة على \(3\) و \(2\) في نفس الوقت.
  3. بيّن أنّ العدد \(2^{2000}+5\times2^{666}+8\) يقبل القسمة على \(21\) و \(4\) في نفس الوقت.
  4. بيّن أنّ العدد \(3^{2013}+3^{2015}\) يقبل القسمة على \(15\).
  5. بيّن أنّ العدد \(3^{2038}+9^{1020}\) يقبل القسمة على \(15\).
  6. بيّن أنّ العدد \(3^{204}+9^{100}\) يقبل القسمة على \(42\).
  7. بيّن أنّ العدد \(125^{111}+7\times5^{336}\) يقبل القسمة على \(11\).
ملاحظة أمانة: أُسُس هذا التمرين مكتوبة في المصدر ككائنات معادلات صعبة القراءة، ونُقلت كما ظهرت. المنهجية المطلوبة هي إخراج أكبر قوّة مشتركة ثمّ التحليل. وبالتحقّق الحسابيّ الدقيق: القواسم في (1)، (4)، (5) تتحقّق تمامًا؛ أمّا القسمة على \(2\) في (2)، وعلى \(21\) في (3)، وعلى \(7\) (من \(42\)) في (6)، وعلى \(11\) في (7) فلا تتحقّق بالأسس كما قُرئت (يُرجّح خطأ في نقل بعض الأسس بالمصدر). يُعرض أدناه القاسم المتحقّق فعليًّا في كلّ بند.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

أخرج أكبر قوّة مشتركة من الحدود، ثمّ حلّل العامل المتبقّي إلى عوامل أوّلية لتقرأ القواسم.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

1. \(25^{50}-2\times5^{103}=5^{100}(1-2\times5^{3})=5^{100}(1-250)=-249\times5^{100}\)، و \(249=3\times83\) فالعدد يقبل القسمة على \(3\). ✓
2. كلّ الحدود مضاعفات لـ\(3\) (\(243=3^{5}\)) فالعدد يقبل القسمة على \(3\) ✓. (القسمة على \(2\): العدد فرديّ لأنّه فرق ثلاثة أعداد فردية، فلا يقبلها — انظر الملاحظة.)
3. \(2^{2000},\ 5\times2^{666},\ 8=2^{3}\) كلّها مضاعفات لـ\(4\) فالعدد يقبل القسمة على \(4\) ✓. (القسمة على \(21\) لا تتحقّق بالأسس كما قُرئت — انظر الملاحظة.)
4. \(3^{2013}+3^{2015}=3^{2013}(1+9)=3^{2013}\times10=2\times3\times5\times3^{2012}\) يقبل القسمة على \(15\). ✓
5. \(3^{2038}+9^{1020}=3^{2038}+3^{2040}=3^{2038}(1+9)=3^{2038}\times10\) يقبل القسمة على \(15\). ✓
6. \(3^{204}+9^{100}=3^{204}+3^{200}=3^{200}(81+1)=3^{200}\times82=2\times41\times3^{200}\) يقبل القسمة على \(6\) ✓. (القسمة على \(7\) — ومنه على \(42\) — لا تتحقّق — انظر الملاحظة.)
7. \(125^{111}+7\times5^{336}=5^{333}(1+7\times5^{3})=5^{333}\times876\)، و \(876=2^{2}\times3\times73\) فيقبل القسمة على \(3\) و \(4\). (القسمة على \(11\) لا تتحقّق — انظر الملاحظة.)

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

المنهجية: إخراج القوّة المشتركة ثمّ تحليل العامل. البنود \((1),(4),(5)\) تامّة؛ والبقيّة يُعرض فيها القاسم المتحقّق فعليًّا مع الإشارة إلى ما لا يتحقّق. ✓
التمرين 3
العبارة الجبرية والمثلث القائم

📝 نصّ التمرين

I) نعتبر العبارة \(a=x^2-8x+11\) حيث \(x\) عدد حقيقي.
  1. أحسب القيمة العددية لـ \(a\) في حالة \(x=4-\sqrt5\).
  2. أ- بيّن أنّ \(a=(x-4-\sqrt5)(x-4+\sqrt5)\). ب- حلّ في \(\mathbb{R}_+\) المعادلة \(x^2-8x+11=0\).
II) ليكن \(ABC\) مثلث حيث \(AB=4\,cm\)، \(AC=2\sqrt5\) و \(BC=6\).
  1. أ- بيّن أنّ \(ABC\) مثلث قائم. ب- ارسم المثلث \(ABC\).
  2. عيّن نقطة \(M\) من \([AB]\)، المستقيم المارّ من \(M\) والموازي لـ \((BC)\) يقطع \((AC)\) في \(N\)، ونضع \(BM=x\). أ- بيّن أنّ \(x\in[0;4]\) ثمّ أحسب \(AN\) بدلالة \(x\). ب- بيّن أنّ \(S_{AMN}=\dfrac{\sqrt5}{4}(4-x)^2\). ت- بيّن أنّ \(S_{AMN}\in[0;4\sqrt5]\).
  3. هل توجد نقطة \(M\) من \([AB]\) بحيث \(S_{AMN}=4\sqrt5+1\)؟ علّل.
  4. أ- بيّن أنّ \(S_{AMN}=\dfrac{5\sqrt5}{4}\) يعني \(x^2-8x+11=0\). ب- استنتج حسابًا للبعد \(AN\).
ABC 462√5
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

I. \(a=(x-4)^2-5\).
II. \(4^2+(2\sqrt5)^2=6^2\) فالمثلث قائم في \(A\)؛ و \(AMN\sim ABC\) بنسبة \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{4-x}{4}\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

I. \(a=(x-4)^2-5=(x-4-\sqrt5)(x-4+\sqrt5)\)؛ وعند \(x=4-\sqrt5\) يكون \(a=0\). والحلول \(x=4\pm\sqrt5\) (كلاهما موجب).
II-1. \(AB^2+AC^2=16+20=36=BC^2\) فـ\(ABC\) قائم في \(A\). مساحته \(\dfrac{AB\cdot AC}{2}=4\sqrt5\).
II-2. \(AM=4-x\)، بطاليس \(AN=\dfrac{AC(4-x)}{4}=\dfrac{\sqrt5(4-x)}{2}\). و \(S_{AMN}=\left(\dfrac{4-x}{4}\right)^2\times4\sqrt5=\dfrac{\sqrt5}{4}(4-x)^2\)، وهي في \([0;4\sqrt5]\) عندما \(x\in[0;4]\).
II-3. القيمة القصوى لـ\(S_{AMN}\) هي \(4\sqrt5\)، و \(4\sqrt5+1>4\sqrt5\) فلا توجد نقطة \(M\) تحقّق ذلك.
II-4. \(S_{AMN}=\dfrac{5\sqrt5}{4}\Leftrightarrow(4-x)^2=5\Leftrightarrow x^2-8x+11=0\Leftrightarrow x=4-\sqrt5\) (في المجال)، ومنه \(AN=\dfrac{\sqrt5\cdot\sqrt5}{2}=\dfrac52\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

I. \(a=(x-4-\sqrt5)(x-4+\sqrt5)\)، الحلول \(4\pm\sqrt5\).
II. \(ABC\) قائم في \(A\)، \(S_{AMN}=\dfrac{\sqrt5}{4}(4-x)^2\in[0;4\sqrt5]\)، ولا نقطة لـ\(4\sqrt5+1\)؛ و \(AN=\dfrac52\). ✓
التمرين 4
النشر والتفكيك والمعادلات

📝 نصّ التمرين

لتكن العبارتان \(A=(2x+1)^2-(x-2)^2\) و \(B=(2x+1)(3x+2)-4x^2+1\) حيث \(x\) عدد حقيقي.

  1. أ- بيّن أنّ \(A=3x^2+8x-3\). ب- أحسب \(A\) إذا علمت أنّ \(x=2-\sqrt3\).
  2. فكّك إلى جداء عوامل \(4x^2-1\) ثمّ استنتج أنّ \(B=(2x+1)(x+3)\).
  3. أ- فكّك \(A\) إلى جداء عوامل. ب- استنتج أنّ \(A-B=(x+3)(x-2)\).
  4. أوجد مجموعة الأعداد الحقيقية \(x\) حيث \(A=B\).
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

1. استعمل \(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\).
2. \(4x^2-1=(2x-1)(2x+1)\) واستخرج العامل المشترك \((2x+1)\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

1. \(A=(4x^2+4x+1)-(x^2-4x+4)=3x^2+8x-3\). و \(A(2-\sqrt3)=3(7-4\sqrt3)+8(2-\sqrt3)-3=34-20\sqrt3\).
2. \(4x^2-1=(2x-1)(2x+1)\)، و \(B=(2x+1)(3x+2)-(2x-1)(2x+1)=(2x+1)(x+3)\).
3. \(A=(3x-1)(x+3)\)، و \(A-B=(x+3)[(3x-1)-(2x+1)]=(x+3)(x-2)\).
4. \(A=B\Leftrightarrow A-B=0\Leftrightarrow(x+3)(x-2)=0\Leftrightarrow x\in\{-3;2\}\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

1–3. \(A=(3x-1)(x+3)\)، \(A(2-\sqrt3)=34-20\sqrt3\)، \(B=(2x+1)(x+3)\)، \(A-B=(x+3)(x-2)\).
4. \(x\in\{-3;2\}\). ✓
التمرين 5
العبارة الجبرية والمستطيل

📝 نصّ التمرين

نعتبر العبارة \(A=4x^2+12x-7\) حيث \(x\in\mathbb{R}\).

  1. أحسب \(A\) إذا علمت أنّ \(x=\dfrac{\sqrt3-1}{2}\).
  2. أ- بيّن أنّ \(A=(2x+3)^2-16\). ب- استنتج أنّ \(A=(2x+7)(2x-1)\).
  3. في الشكل المقابل \(ABCD\) مستطيل، \(\{E\}=(AB)\cap(DG)\)، \(BC=x+1\)، \(DC=2x+3\) و \(x>0\). أ- بيّن أنّ مساحة المثلث \(DCG\) تُكتب \(\dfrac12(2x+3)^2\). ب- جد \(x\) إذا علمت أنّ مساحة المثلث \(DCG\) تساوي \(8\,cm^2\).
ملاحظة أمانة: بعض قيسات الشكل في المصدر (\(AE=EB=x+1\) و \(BG=x+1\)) لا تتوافق مع \(DC=2x+3\) (إذ يعطي \(AB=2x+2\))؛ اعتُمد \(DC=2x+3\) لأنّ مساحة \(DCG=\dfrac12(2x+3)^2=8\) تُكافئ \((2x+3)^2=16\) أي \(A=0\) (ربط مباشر مع السؤال 2).
AB CD E G 2x+3x+1
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

2. الصيغة القانونية \(A=(2x+3)^2-16\) تعطي التفكيك بفرق مربّعين.
3. المثلث \(DCG\) قائم؛ مساحته نصف جداء ضلعي القائمة.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

1–2. \(A\left(\tfrac{\sqrt3-1}{2}\right)=4\sqrt3-9\). و \(A=(2x+3)^2-16=(2x+3-4)(2x+3+4)=(2x-1)(2x+7)\).
3. مساحة \(DCG=\dfrac12(2x+3)^2\). و \(=8\Leftrightarrow(2x+3)^2=16\Leftrightarrow A=0\Leftrightarrow x=\dfrac12\) (موجب).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

1–2. \(A\left(\tfrac{\sqrt3-1}{2}\right)=4\sqrt3-9\) و \(A=(2x-1)(2x+7)\).
3. \(x=\dfrac12\). ✓
التمرين 6
الدائرة والمثلث القائم

📝 نصّ التمرين

(وحدة القيس الصنتمتر) \((\mathcal{C})\) دائرة مركزها \(O\) وقطرها \(AB=8\)، و \(C\) نقطة منها حيث \(BC=4\)، و \(H\) المسقط العمودي لـ \(C\) على \((AB)\).

  1. أ- بيّن أنّ المثلث \(OBC\) متقايس الأضلاع. ب- بيّن أنّ \(AH=6\) و \(CH=2\sqrt3\).
  2. أ- برهن أنّ المثلث \(ABC\) قائم في \(C\). ب- استنتج أنّ \(AC=4\sqrt3\).
  3. المستقيم المارّ من \(B\) والعمودي على \((AB)\) يقطع \((AC)\) في \(D\). أ- بيّن أنّ \((BD)//(CH)\). ب- أحسب \(BD\) و \(AD\).
  4. لتكن \(E\) مناظرة \(C\) بالنسبة إلى \(B\). أ- (المصدر) بيّن أنّ المثلث \(OEB\) قائم. ب- \((OE)\) يقطع \((AC)\) في \(G\)؛ بيّن أنّ \(G\) مركز ثقل المثلث \(ABE\).
  5. \((BG)\) يقطع \((AE)\) في \(F\).
ملاحظة أمانة: مع \(E\) مناظرة \(C\) بالنسبة إلى \(B\) نجد \(OB=BE=4\) والزاوية في \(B\) تساوي \(120^\circ\)، فالمثلث \(OEB\) متساوي الساقين لا قائم (يُرجّح تعريفًا مختلفًا لـ\(E\) في المصدر). حُلّت البنود 1–3 بدقّة؛ وبند 4 نُقل كما ورد مع هذه الملاحظة.
ABO C H
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

الإحداثيات. \(A(0;0),B(8;0),O(4;0),C(6;2\sqrt3),H(6;0)\).
س2. \(C\) على الدائرة قطرها \([AB]\Rightarrow\widehat{ACB}=90^\circ\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(OB=OC=4\) (شعاعان) و \(BC=4\) فـ\(OBC\) متقايس الأضلاع. وبالعلاقات المِترية \(BH=\dfrac{BC^2}{AB}=2\) فـ\(AH=6\)، و \(CH=\dfrac{AC\cdot BC}{AB}=2\sqrt3\).
س2. \(\widehat{ACB}=90^\circ\) (زاوية على قطر)، و \(AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{64-16}=4\sqrt3\).
س3. \((BD)\perp(AB)\) و \((CH)\perp(AB)\) فـ\((BD)//(CH)\). وبطاليس \(BD=\dfrac{8\sqrt3}{3}\) و \(AD=\dfrac{16\sqrt3}{3}\).
س4. \(E=2B-C=(10;-2\sqrt3)\). (المثلث \(OEB\) متساوي الساقين \(OB=BE=4\) — انظر الملاحظة.) والمستقيم \((OE)\) — وهو حامل الوسيط الصادر من \(E\) في المثلث \(ABE\) لأنّ \(O\) منتصف \([AB]\) — يقطع \((AC)\) في \(G\) مركز ثقل \(ABE\) عند تحقّق الشروط.

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س3. \(OBC\) متقايس الأضلاع، \(AH=6\)، \(CH=2\sqrt3\)، \(ABC\) قائم في \(C\)، \(AC=4\sqrt3\)، \((BD)//(CH)\)، \(BD=\dfrac{8\sqrt3}{3}\) و \(AD=\dfrac{16\sqrt3}{3}\).
س4. نُقل كما ورد مع ملاحظة الأمانة أعلاه. ✓
→ الموضوع السابق (Brevet10) 🏠 القائمة الموضوع التالي (Brevet12) ←