فرض تأليفي — الرياضيات

📚 السنة التاسعة أساسي⏱ المدّة: ساعتان📝 المصدر: Brevet10 (الحصة رقم 10)
التمرين 1
العمليات في ℝ — المقارنة

📝 نصّ التمرين

نعتبر العددين \(a=\dfrac{\sqrt{24}-4\sqrt{18}}{\sqrt6}+5\) و \(b=\dfrac{1}{2-\sqrt3}-\dfrac{3}{2+\sqrt3}+1\).

  1. بيّن أنّ \(a=7-4\sqrt3\) و \(b=2\sqrt3-3\).
  2. حدّد علامة الجداء \(ab\).
  3. بيّن أنّ \(b<1\) و أنّ \(a.
  4. استنتج مقارنة للعددين \(ab^2\) و \(a^2b\).
  5. رتّب تصاعديًّا \(\sqrt{\dfrac{a}{b}},\ \sqrt{\dfrac{b}{a}},\ 1\).
  6. بيّن أنّ \(a=(2-\sqrt3)^2\) ثمّ أوجد قيس طول ضلع مربّع مساحته \(a+b\).
  7. استنتج مقارنة لـ \(\dfrac{-5}{3b-4}\) و \(\dfrac{5}{2-3a}\).
  8. بيّن أنّ \(\dfrac{b}{a}>1\).
ملاحظة أمانة: تعريف \(b\) كما هو مكتوب في المصدر يُبسّط إلى \(4\sqrt3-3\)، غير أنّ بقيّة التمرين (خاصّة «\(b<1\)») تتطلّب القيمة \(b=2\sqrt3-3\)؛ اعتُمدت القيمة المقصودة \(b=2\sqrt3-3\) (يُرجّح خطأ مطبعيّ في أحد حدّي التعريف).
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. \(\sqrt{24}=2\sqrt6,\sqrt{18}=3\sqrt2\)؛ ونسّب مقامات \(b\).
س3–س8. \(0؛ استعمل هذا في المقارنات، وانتبه لإشارة \(3b-4\) و \(2-3a\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(\dfrac{2\sqrt6-12\sqrt2}{\sqrt6}=2-4\sqrt3\) فـ\(a=2-4\sqrt3+5=7-4\sqrt3\). و \(b=2\sqrt3-3\) (القيمة المقصودة).
س2–س3. \(a=7-4\sqrt3\approx0.07>0\) و \(b=2\sqrt3-3\approx0.46>0\) فـ\(ab>0\). و \(b<1\) (لأنّ \(2\sqrt3<4\))؛ و \(a-b=10-6\sqrt3<0\) فـ\(a.
س4–س5. \(ab^2-a^2b=ab(b-a)>0\) فـ\(ab^2>a^2b\). وبما أنّ \(0 فإنّ \(\dfrac{a}{b}<1<\dfrac{b}{a}\) ومنه \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}<1<\sqrt{\dfrac{b}{a}}\).
س6. \((2-\sqrt3)^2=7-4\sqrt3=a\). و \(a+b=(7-4\sqrt3)+(2\sqrt3-3)=4-2\sqrt3=(\sqrt3-1)^2\)، فطول ضلع المربّع \(=\sqrt{a+b}=\sqrt3-1\).
س7–س8. \(3b-4=6\sqrt3-13<0\) و \(2-3a=12\sqrt3-19>0\)؛ بالحساب \(\dfrac{-5}{3b-4}\approx1.92<\dfrac{5}{2-3a}\approx2.80\). و \(\dfrac{b}{a}>1\) (لأنّ \(0).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س5. \(a=7-4\sqrt3\)، \(b=2\sqrt3-3\)، \(ab>0\)، \(a، \(ab^2>a^2b\) و \(\sqrt{a/b}<1<\sqrt{b/a}\).
س6–س8. \(a=(2-\sqrt3)^2\)، الضلع \(\sqrt3-1\)؛ \(\dfrac{-5}{3b-4}<\dfrac{5}{2-3a}\) و \(\dfrac{b}{a}>1\). ✓
التمرين 2
مبرهنة طاليس والمثلثات

📝 نصّ التمرين

\(ABC\) مثلث بحيث \(BC=6\,cm\)، \(AC=5\,cm\)، \(AB=3\,cm\). عيّن النقطة \(M\) من \([BC]\) بحيث \(BM=1\,cm\). المستقيم المارّ من \(M\) والموازي لـ \((AB)\) يقطع \((AC)\) في \(N\).

  1. بيّن أنّ \(MN=2.5\,cm\).
  2. أحسب \(\dfrac{NA}{NC}\) ثمّ استنتج حسابًا للبعد \(AN\).
  3. المستقيم الموازي لـ \((AB)\) والمارّ من \(C\) يقطع \((BN)\) في \(D\)، و \((MN)\cap(AD)=\{P\}\). أ- بيّن أنّ \(\dfrac{CM}{CB}=\dfrac{DP}{DA}\). ب- استنتج أنّ \(N\) منتصف \([MP]\) وأنّ \(MP=5\,cm\).
  4. ابن \(R\) مناظرة \(M\) بالنسبة إلى \(B\). المستقيم المارّ من \(R\) والموازي لـ \((AB)\) يقطع \((AD)\) في \(J\). أحسب \(RJ\).
ملاحظة أمانة: السؤال 4 مكتوب في المصدر «أحسب \(IJ\)» والنقطة \(I\) غير مُعرّفة؛ المقصود \(RJ\).
A B C AB=3 AC=5 BC=6
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1–س2. \((MN)//(AB)\) في المثلث: طاليس \(\dfrac{CM}{CB}=\dfrac{CN}{CA}=\dfrac{MN}{AB}\).
س4. \(BR=BM=1\)؛ استعمل التوازي.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(CM=6-1=5\)، و \(\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{CM}{CB}=\dfrac56\Rightarrow MN=3\times\dfrac56=2.5\) صم.
س2. \(\dfrac{CN}{CA}=\dfrac56\Rightarrow CN=\dfrac{25}{6}\) و \(AN=5-\dfrac{25}{6}=\dfrac56\)، إذن \(\dfrac{NA}{NC}=\dfrac15\).
س3. بطاليس \(\dfrac{DP}{DA}=\dfrac{CM}{CB}=\dfrac56\)، و \(N\) منتصف \([MP]\) و \(MP=2MN=5\) صم.
س4. بوضع إحداثيات مناسبة نجد \(RJ=1\) صم.

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س3. \(MN=2.5\)، \(\dfrac{NA}{NC}=\dfrac15\)، \(AN=\dfrac56\)، \(N\) منتصف \([MP]\) و \(MP=5\).
س4. \(RJ=1\,cm\). ✓
التمرين 3
العبارة الجبرية والمثلث القائم

📝 نصّ التمرين

1) نعتبر العبارة \(E=x^2+\sqrt6\,x-3\) حيث \(x\) عدد حقيقي.
  1. أحسب القيمة العددية لـ \(E\) في حالة \(x=\dfrac{3\sqrt2-\sqrt6}{2}\).
  2. أ- بيّن أنّ \(E=\left(x+\dfrac{\sqrt6}{2}\right)^2-\dfrac92\). ب- استنتج تفكيكًا لـ \(E\). ج- حلّ في \(\mathbb{R}\) المعادلة \(E=0\).
2) \(ABC\) مثلث قائم في \(A\) و \([AH]\) ارتفاعه، بحيث \(AC=\sqrt6\) و \(AB=\sqrt3\). و \(M\) نقطة من \([AC]\) مخالفة لـ \(A,C\)، و \(K\) المسقط العمودي لـ \(M\) على \([BC]\)، و \(AM=x\).
  1. بيّن أنّ \(AH=\sqrt2\).
  2. أ- جد حصرًا لـ \(x\). ب- بيّن أنّ \(MK=\sqrt2-\dfrac{x}{\sqrt3}\) ثمّ استنتج أنّ \(\dfrac{CM}{CA}=\dfrac{MK}{AH}\).
  3. استنتج \(BM^2\) بدلالة \(x\) ثمّ بيّن أنّ \(BK^2=\dfrac13(2x^2+2\sqrt6\,x+3)\). جد \(x\) إذا كان \(BK=\sqrt3\).
ملاحظة أمانة: في المصدر «\(\dfrac{MK}{MH}\)» والمقصود \(\dfrac{MK}{AH}\) (تشابه المثلثين \(CMK\) و \(CAH\)).
BAC √3√6 H
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

1. الصيغة القانونية \(E=(x+\tfrac{\sqrt6}{2})^2-\tfrac92\) تعطي التفكيك بفرق مربّعين.
2. \(BC=3\)، \(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}\)؛ والمثلثان \(CMK,CAH\) متشابهان.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

1. \(E=(x+\tfrac{\sqrt6}{2})^2-\tfrac92\) فالتفكيك \(E=\left(x+\dfrac{\sqrt6-3\sqrt2}{2}\right)\left(x+\dfrac{\sqrt6+3\sqrt2}{2}\right)\)، والحلول \(x=\dfrac{3\sqrt2-\sqrt6}{2}\) أو \(x=\dfrac{-3\sqrt2-\sqrt6}{2}\). وعند \(x=\dfrac{3\sqrt2-\sqrt6}{2}\) يكون \(E=0\).
2-1. \(BC=\sqrt{3+6}=3\)، و \(AH=\dfrac{\sqrt3\cdot\sqrt6}{3}=\sqrt2\).
2-2. \(0. و \(MK=\sqrt2-\dfrac{x}{\sqrt3}\)؛ ومن تشابه \(CMK,CAH\): \(\dfrac{CM}{CA}=\dfrac{MK}{AH}\).
2-3. \(BM^2=AB^2+AM^2=x^2+3\)، و \(BK^2=BM^2-MK^2=\dfrac13(2x^2+2\sqrt6\,x+3)\). و \(BK=\sqrt3\Leftrightarrow x^2+\sqrt6\,x-3=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3\sqrt2-\sqrt6}{2}\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

1. \(E=0\) عند \(x=\dfrac{3\sqrt2-\sqrt6}{2}\)، والحلول \(\dfrac{\pm3\sqrt2-\sqrt6}{2}\).
2. \(AH=\sqrt2\)، \(MK=\sqrt2-\dfrac{x}{\sqrt3}\)، \(BK^2=\dfrac13(2x^2+2\sqrt6x+3)\) و \(BK=\sqrt3\Rightarrow x=\dfrac{3\sqrt2-\sqrt6}{2}\). ✓
التمرين 4
العبارة الجبرية والمثلث المتقايس الأضلاع

📝 نصّ التمرين

نعتبر العبارة \(A=x^2-\dfrac{10}{3}x+1\) حيث \(x\in\mathbb{R}\).

  1. أحسب \(A\) إذا علمت أنّ \(x=-\sqrt3\).
  2. أ- بيّن أنّ \(A=\left(x-\dfrac53\right)^2-\dfrac{16}{9}\). ب- استنتج تفكيك العبارة \(A\).
  3. (وحدة القيس الصنتمتر) في الشكل المقابل \(ABD\) مثلث متقايس الأضلاع و \(C\) مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(D\) و \(H\) منتصف \([BD]\)، حيث \(AH=\sqrt3(x-1)\) و \(x\) عدد حقيقي أكبر من \(1\). أ- بيّن أنّ \(AB=2x-2\). ب- بيّن أنّ \(ABC\) مثلث قائم الزاوية. ج- أوجد \(x\) إذا علمت أنّ \(AC=\sqrt3(x+1)\).
AB HDC √3(x−1)
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

2. الصيغة القانونية تعطي التفكيك بفرق مربّعين.
3. ارتفاع المثلث المتقايس الأضلاع طول ضلعه \(s\) هو \(\dfrac{s\sqrt3}{2}\). استعمل الإحداثيات لإثبات الزاوية القائمة.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

1–2. \(A(-\sqrt3)=3+\dfrac{10\sqrt3}{3}+1=4+\dfrac{10\sqrt3}{3}\). و \(A=\left(x-\dfrac53\right)^2-\dfrac{16}{9}=\left(x-3\right)\left(x-\dfrac13\right)\).
3-أ. ارتفاع المثلث المتقايس \(\dfrac{AB\sqrt3}{2}=\sqrt3(x-1)\Rightarrow AB=2(x-1)=2x-2\).
3-ب. بوضع \(B(-(x-1);0),D(x-1;0),C(3(x-1);0),A(0;\sqrt3(x-1))\): \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0\) فـ\(ABC\) قائم في \(A\).
3-ج. \(AC=2\sqrt3(x-1)\)، و \(AC=\sqrt3(x+1)\Rightarrow2(x-1)=x+1\Rightarrow x=3\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

1–2. \(A(-\sqrt3)=4+\dfrac{10\sqrt3}{3}\) و \(A=(x-3)\left(x-\dfrac13\right)\).
3. \(AB=2x-2\)، \(ABC\) قائم في \(A\) و \(x=3\). ✓
التمرين 5
العدد الذهبي وطاليس

📝 نصّ التمرين

نعتبر العددين \(a=\dfrac{1}{\sqrt5-1}-\left(\dfrac{\sqrt{10}-\sqrt2}{2}\right)^2+3\left(\dfrac{3-\sqrt5}{4}\right)\) و \(b=\sqrt{\dfrac{6-2\sqrt5}{4}}+1\).

  1. أ- انشر واختصر \((\sqrt5-1)^2\). ب- بيّن أنّ \(b=\dfrac{\sqrt5+1}{2}\). ج- بيّن أنّ \(a=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\).
  2. أ- بيّن أنّ \(a\) و \(b\) مقلوبان ثمّ استنتج علامة \(a\). ب- بيّن أنّ \(a<1\) و \(b>1\). ج- استنتج مقارنة للعددين \(b\) و \(a^2\).
  3. نعتبر العبارة \(A=x^2-\sqrt5\,x+1\). أ- أحسب \(a+b\). ب- استنتج أنّ \(a^2\) و \((1-\sqrt5\,a)\) متقابلان وأنّ \(b^2\) و \((1-\sqrt5\,b)\) متقابلان.
  4. في الرسم المرافق \(AJ=1\)، \(AC=\sqrt5\)، \(AB=p^2\)، \(AI=p-\dfrac{\sqrt5}{5}\) و \((IJ)//(BC)\) و \(p\) عدد حقيقي أكبر من \(1\). علمًا أنّ \(\{a;b\}\) مجموعة حلول المعادلة \(A=0\)، بيّن أنّ \(p=\dfrac{\sqrt5+1}{2}\).
A BC I J (IJ)//(BC)
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

1. \(6-2\sqrt5=(\sqrt5-1)^2\)؛ و \(a\) هو النسبة الذهبية.
3–4. \(a,b\) جذرا \(x^2-\sqrt5x+1=0\)؛ وبطاليس \(\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{AJ}{AC}\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

1. \((\sqrt5-1)^2=6-2\sqrt5\) فـ\(b=\dfrac{\sqrt5-1}{2}+1=\dfrac{\sqrt5+1}{2}\). وبالحساب \(a=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\).
2. \(ab=\dfrac{5-1}{4}=1\) (مقلوبان) و \(a>0\). و \(a=\dfrac{\sqrt5-1}{2}<1، ومنه \(a^2 أي \(a^2.
3. \(a+b=\sqrt5\). وبما أنّ \(a,b\) جذرا \(x^2-\sqrt5x+1=0\) فإنّ \(a^2-\sqrt5a+1=0\) أي \(a^2+(1-\sqrt5a)=0\) (متقابلان)، وكذلك \(b^2+(1-\sqrt5b)=0\).
4. بطاليس \(\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{AJ}{AC}\): \(\dfrac{p-\tfrac{\sqrt5}{5}}{p^2}=\dfrac{1}{\sqrt5}\Rightarrow\sqrt5\,p-1=p^2\Rightarrow p^2-\sqrt5\,p+1=0\). وبما أنّ \(p>1\) فـ\(p=b=\dfrac{\sqrt5+1}{2}\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

1–3. \(a=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\)، \(b=\dfrac{\sqrt5+1}{2}\)، \(ab=1\)، \(a^2، \(a+b=\sqrt5\) و \(a^2,(1-\sqrt5a)\) متقابلان.
4. \(p=\dfrac{\sqrt5+1}{2}\). ✓
التمرين 6
شبه المنحرف القائم والمركز القائم

📝 نصّ التمرين

(وحدة القيس الصنتمتر) \(ABMN\) شبه منحرف قائم في \(A\) و \(N\)، \(I\) منتصف \([AN]\) و \(J\) منتصف \([BM]\)، حيث \(MN=6\sqrt2\)، \(AB=2\sqrt2\) و \(BI=BJ=4\).

  1. بيّن أنّ المثلث \(BIJ\) قائم في \(B\).
  2. أ- عيّن \(C\) من \([JM)\) حيث \(JC=6\) ثمّ \(D\) مسقط \(C\) على \((AN)\) وفقًا لمنحى \((IJ)\). ب- أحسب \(DI\).
  3. أ- عيّن \(G\) من \([IJ]\) حيث \(\dfrac{IG}{2}=JG\). ب- \((BG)\) يقطع \((IM)\) في \(K\). أحسب \(KG\).
  4. لتكن \(H\) المسقط العمودي لـ \(B\) على \((IM)\). أحسب \(BH\).
  5. العمودي على \((BM)\) من \(J\) يقطع \((BH)\) في \(F\). أ- بيّن أنّ \(F,K,J\) على استقامة واحدة. ب- استنتج أنّ \(K\) المركز القائم للمثلث \(BMF\).
  6. الدائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(J\) وشعاعها \(4\). \((BK)\) يقطع \([MF]\) في \(L\). بيّن أنّ \(L\in(\mathcal{C})\).
AB MN I J
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

الإحداثيات. من \(BI=4\): \(AN=4\sqrt2\)؛ \(A(0;0),B(2\sqrt2;0),N(0;-4\sqrt2),M(6\sqrt2;-4\sqrt2)\)، \(I(0;-2\sqrt2),J(4\sqrt2;-2\sqrt2)\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(\vec{BI}\cdot\vec{BJ}=-8+8=0\) فـ\(BIJ\) قائم في \(B\).
س2–س4. \(C(7\sqrt2;-5\sqrt2),D(0;-5\sqrt2)\) فـ\(DI=3\sqrt2\)؛ \(K(3\sqrt2;-3\sqrt2)\) فـ\(KG=\dfrac{2\sqrt5}{3}\)؛ و \(BH=\dfrac{8\sqrt5}{5}\).
س5–س6. \(F(0;-6\sqrt2)\)، \(F,K,J\) على المستقيم ذي الميل \(1\) فهي مستقيمة، و \(K\) المركز القائم للمثلث \(BMF\)، و \(L=(BK)\cap[MF]\) يحقّق \(JL=4\) فـ\(L\in(\mathcal{C})\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س4. \(BIJ\) قائم في \(B\)، \(DI=3\sqrt2\)، \(KG=\dfrac{2\sqrt5}{3}\)، \(BH=\dfrac{8\sqrt5}{5}\).
س5–س6. \(F,K,J\) مستقيمة، \(K\) المركز القائم لـ\(BMF\)، و \(L\in(\mathcal{C})\). ✓
→ الموضوع السابق (Brevet09) 🏠 القائمة الموضوع التالي (Brevet11) ←