فرض تأليفي — الرياضيات

📚 السنة التاسعة أساسي⏱ المدّة: ساعتان📝 المصدر: Brevet09 (الحصة رقم 9)
التمرين 1
العمليات في ℝ — الحصر والمتراجحات

📝 نصّ التمرين

نعتبر العدد الحقيقي \(a=\sqrt3^{\,1001}\times\sqrt3^{\,-1000}+\sqrt{(\sqrt2-\sqrt3)^2}\).

  1. بيّن أنّ \(a=2\sqrt3-\sqrt2\).
  2. أوجد كتابةً مقامها عدد صحيح للعدد \(\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3}\).
  3. نعتبر العدد \(b=\dfrac{1}{\sqrt3+\sqrt2}-\sqrt{48}+\sqrt8\). بيّن أنّ \(b=\sqrt2-3\sqrt3\).
  4. أ- أوجد حصرًا مداه \(10^{-1}\) لكلّ من \(\sqrt2\) و \(\sqrt3\). ب- بيّن أنّ \(a\in\,]1.9;2.2[\) و \(b\in\,]-4;-3.6[\). ج- استنتج حصرًا للعدد \(ab\).
  5. نعتبر المتراجحة \((I):\ ax\le\sqrt3\,a-bx\). أ- حلّ في \(\mathbb{R}\) المتراجحة \((I)\). ب- حدّد مجموعة حلول \((I)\) في المجال \([-3;-2]\).
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1–س3. \(\sqrt3^{1001}\cdot\sqrt3^{-1000}=\sqrt3\) و \(\sqrt{(\sqrt2-\sqrt3)^2}=\sqrt3-\sqrt2\)؛ نسّب المقام \(\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\sqrt3-\sqrt2\).
س4–س5. استعمل الحصر بجمع/ضرب المتراجحات؛ ولاحظ أنّ \(a+b=-\sqrt3<0\) فينقلب اتجاه المتراجحة.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1–س3. \(a=\sqrt3+(\sqrt3-\sqrt2)=2\sqrt3-\sqrt2\)؛ \(\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{3-2}=\sqrt3-\sqrt2\)؛ \(b=(\sqrt3-\sqrt2)-4\sqrt3+2\sqrt2=\sqrt2-3\sqrt3\).
س4. \(1.4<\sqrt2<1.5\) و \(1.7<\sqrt3<1.8\). ومنه \(a=2\sqrt3-\sqrt2\in\,]1.9;2.2[\) و \(b=\sqrt2-3\sqrt3\in\,]-4;-3.6[\). وبما أنّ \(a>0,b<0\): \(-8.8.
س5. \(ax\le\sqrt3a-bx\Leftrightarrow(a+b)x\le\sqrt3a\). وبما أنّ \(a+b=-\sqrt3<0\): \(-\sqrt3\,x\le\sqrt3a\Rightarrow x\ge-a=\sqrt2-2\sqrt3\)، فالحلول \(\left[\sqrt2-2\sqrt3;+\infty\right[\). وفي \([-3;-2]\) (إذ \(\sqrt2-2\sqrt3\approx-2.05\)): \(\left[\sqrt2-2\sqrt3;-2\right]\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س4. \(a=2\sqrt3-\sqrt2\)، \(\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\sqrt3-\sqrt2\)، \(b=\sqrt2-3\sqrt3\) و \(-8.8.
س5. الحلول \(\left[\sqrt2-2\sqrt3;+\infty\right[\) وفي المجال \(\left[\sqrt2-2\sqrt3;-2\right]\). ✓
التمرين 2
شبه المنحرف القائم والمركز القائم

📝 نصّ التمرين

(وحدة القيس الصنتمتر) \(ABCD\) شبه منحرف قائم في \(A\) و \(D\) بحيث \(BD=BC=10\)، \(AD=8\)، \(AB=6\) و \(CD=12\). \(I\) منتصف \([BC]\) و \(K\) مسقط \(I\) على \((AD)\) وفقًا لمنحى \((AB)\).

  1. أحسب \(IK\).
  2. لتكن \(L\) نقطة تقاطع \((AD)\) و \((BC)\). أحسب \(AL\).
  3. الدائرة \((\mathcal{C})\) التي مركزها \(I\) وشعاعها \(5\) تقطع \((CD)\) في \(C\) و \(N\). بيّن أنّ \(N\) منتصف \([CD]\).
  4. أ- ابن النقطة \(M\) من \([ID]\) بحيث \(\dfrac{MI}{MD}=\dfrac12\). ب- بيّن أنّ \(B,M,N\) على استقامة واحدة.
  5. بيّن أنّ \(BM=\dfrac{16}{3}\).
  6. \((BD)\) يقطع الدائرة \((\mathcal{C})\) في \(B\) و \(P\). نضع \((CP)\cap(BN)=\{O\}\) و \((OD)\cap(BC)=\{S\}\). أ- بيّن أنّ \(O\) هي المركز القائم للمثلث \(BCD\). ب- أحسب \(NS\).
AB CD 6812
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

الإحداثيات. \(A(0;0),B(6;0),D(0;-8),C(12;-8)\) (قائم في \(A,D\)).
س6. المركز القائم بتقاطع الارتفاعين؛ استعمل الجداء السلّمي.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1–س2. \(I(9;-4)\) و \(K(0;-4)\) فـ\(IK=9\). و \(L=(AD)\cap(BC)=(0;8)\) فـ\(AL=8\).
س3. الدائرة مركزها \(I(9;-4)\) شعاعها \(5\) تقطع \(y=-8\) في \((12;-8)=C\) و \((6;-8)=N\) منتصف \([CD]\).
س4–س5. \(M\left(6;-\dfrac{16}{3}\right)\)؛ و \(B(6;0),M,N(6;-8)\) لها نفس الفاصلة \(6\) فهي على استقامة واحدة، و \(BM=\dfrac{16}{3}\).
س6. \(P\) النقطة الثانية لتقاطع \((BD)\) مع الدائرة، و \(O\left(6;-\dfrac72\right)\) يحقّق \(\vec{OB}\cdot\vec{CD}=0\) و \(\vec{OC}\cdot\vec{BD}=0\) فهو المركز القائم للمثلث \(BCD\). وبالحساب \(S\left(\dfrac{192}{25};-\dfrac{56}{25}\right)\) فـ\(NS=6\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س5. \(IK=9\)، \(AL=8\)، \(N\) منتصف \([CD]\)، \(B,M,N\) مستقيمة و \(BM=\dfrac{16}{3}\).
س6. \(O\) المركز القائم للمثلث \(BCD\) و \(NS=6\). ✓
التمرين 3
العلاقات المِترية والمعيّن

📝 نصّ التمرين

(وحدة القيس هي الصنتمتر) \(ABC\) مثلث قائم في \(A\) و \([AH]\) ارتفاعه الصادر من \(A\)، حيث \(CH=\sqrt3\)، \(AH=3\) و \(BH=x\) (عدد حقيقي موجب قطعًا).

I- نريد حساب \(x\) بطريقتين.
  1. بيّن أنّ \(BH=3\sqrt3\).
  2. إذا علمت أنّ مساحة المثلث \(ABC\) تساوي \(6\sqrt3\). أ- بيّن أنّ \(3(x+\sqrt3)=12\sqrt3\). ب- استنتج أنّ \(BH=3\sqrt3\).
II-
  1. بيّن أنّ \(AB=6\) ثمّ أحسب \(AC\).
  2. لتكن \(I\) منتصف \([AB]\) و \(K\) منتصف \([AI]\). أ- أحسب \(HI\). ب- بيّن أنّ المثلث \(AHI\) متقايس الأضلاع ثمّ أحسب \(HK\).
III-
  1. المستقيم المارّ من \(I\) والموازي لـ \((AH)\) يقطع \((HK)\) في \(L\). بيّن أنّ الرباعي \(ALIH\) معيّن.
  2. ابن \(E\) مناظرة \(L\) بالنسبة إلى \(A\)، ولتكن \(J\) نقطة تقاطع \((HI)\) و \((BE)\). أحسب \(IJ\).
H BCA AH=3CH=√3
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

I. العلاقة المِترية \(AH^2=BH\cdot CH\).
II–III. إحداثيات \(H(0;0),A(0;3),B(-3\sqrt3;0),C(\sqrt3;0)\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

I. \(9=x\sqrt3\Rightarrow x=3\sqrt3\)؛ وبالمساحة \(\dfrac{3(x+\sqrt3)}{2}=6\sqrt3\Rightarrow x=3\sqrt3\).
II. \(AB^2=BH\cdot BC=36\Rightarrow AB=6\)، \(AC^2=CH\cdot BC=12\Rightarrow AC=2\sqrt3\). و \(HI=AI=AH=3\) فـ\(AHI\) متقايس الأضلاع، و \(HK=\dfrac{3\sqrt3}{2}\).
III. أضلاع \(ALIH\) تساوي \(3\) فهو معيّن. و \(IJ=\dfrac32\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

I–II. \(BH=3\sqrt3\)، \(AB=6\)، \(AC=2\sqrt3\)، \(AHI\) متقايس الأضلاع، \(HK=\dfrac{3\sqrt3}{2}\).
III. \(ALIH\) معيّن و \(IJ=\dfrac32\). ✓
التمرين 4
شبه المنحرف القائم والمركز القائم

📝 نصّ التمرين

(وحدة القيس الصنتمتر) \(ABMN\) شبه منحرف قائم في \(A\) و \(N\)، \(I\) منتصف \([AN]\) و \(J\) منتصف \([BM]\)، حيث \(MN=6\sqrt2\)، \(AB=2\sqrt2\) و \(BI=BJ=4\).

  1. بيّن أنّ المثلث \(BIJ\) قائم الزاوية في \(B\).
  2. أ- عيّن نقطة \(C\) من نصف المستقيم \([JM)\) حيث \(JC=6\) ثمّ \(D\) مسقط \(C\) على \((AN)\) وفقًا لمنحى \((IJ)\). ب- أحسب \(DI\).
  3. أ- عيّن نقطة \(G\) من \([IJ]\) حيث \(\dfrac{IG}{2}=JG\). ب- المستقيم \((BG)\) يقطع \((IM)\) في \(K\). أحسب \(KG\).
  4. لتكن \(H\) المسقط العمودي لـ \(B\) على \((IM)\). أحسب \(BH\).
  5. المستقيم العمودي على \((BM)\) والمارّ من \(J\) يقطع \((BH)\) في \(F\). أ- بيّن أنّ \(F,K,J\) على استقامة واحدة. ب- استنتج أنّ \(K\) هي المركز القائم للمثلث \(BMF\).
  6. الدائرة \((\mathcal{C})\) مركزها \(J\) وشعاعها \(4\). المستقيم \((BK)\) يقطع \([MF]\) في \(L\). بيّن أنّ \(L\in(\mathcal{C})\).
AB MN I J
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

الإحداثيات. من \(BI=4\) نجد \(AN=4\sqrt2\)؛ ضع \(A(0;0),B(2\sqrt2;0),N(0;-4\sqrt2),M(6\sqrt2;-4\sqrt2)\)، \(I(0;-2\sqrt2),J(4\sqrt2;-2\sqrt2)\).
س5. نفس بنية المركز القائم: \((BM)\perp(KM)\) و\((BF)\perp(KM)\)...

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(\vec{BI}\cdot\vec{BJ}=(-2\sqrt2)(2\sqrt2)+(-2\sqrt2)(-2\sqrt2)=-8+8=0\) فـ\(BIJ\) قائم في \(B\).
س2. \(C(7\sqrt2;-5\sqrt2)\) و \(D(0;-5\sqrt2)\) فـ\(DI=3\sqrt2\).
س3. \(G\left(\dfrac{8\sqrt2}{3};-2\sqrt2\right)\)، و \(K=(BG)\cap(IM)=(3\sqrt2;-3\sqrt2)\) فـ\(KG=\dfrac{2\sqrt5}{3}\).
س4. \(BH=\) بُعد \(B\) عن \((IM)=\dfrac{8\sqrt5}{5}\).
س5–س6. \(F(0;-6\sqrt2)\)، والنقاط \(F,K,J\) على المستقيم ذي الميل \(1\) فهي مستقيمة، و \(\vec{KB}\cdot\vec{MF}=0\) و \(\vec{KM}\cdot\vec{BF}=0\) فـ\(K\) المركز القائم للمثلث \(BMF\). و \(L=(BK)\cap[MF]\) يحقّق \(JL=4\) فـ\(L\in(\mathcal{C})\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س4. \(BIJ\) قائم في \(B\)، \(DI=3\sqrt2\)، \(KG=\dfrac{2\sqrt5}{3}\)، \(BH=\dfrac{8\sqrt5}{5}\).
س5–س6. \(F,K,J\) مستقيمة، \(K\) المركز القائم للمثلث \(BMF\)، و \(L\in(\mathcal{C})\) (\(JL=4\)). ✓
→ الموضوع السابق (Brevet08) 🏠 القائمة الموضوع التالي (Brevet10) ←