فرض تأليفي — الرياضيات

📚 السنة التاسعة أساسي⏱ المدّة: ساعتان📝 المصدر: Brevet08 (الحصة رقم 8)
التمرين 1
العبارة الجبرية والمتوسّطات

📝 نصّ التمرين

لتكن العبارة \(A=4x^2-6x+\dfrac54\) حيث \(x\) عدد حقيقي.

  1. أوجد القيمة العددية لـ \(A\) في حالة: أ- \(x=\dfrac34\). ب- \(x=-\dfrac14\).
  2. أكتب في صيغة جداء العبارة \(A+1\).
  3. استنتج تفكيكًا للعبارة \(A\).
  4. ليكن \(a,b\) عددين حقيقيين موجبين قطعًا. أ- أنشر العبارة \(\left(\dfrac{1}{\sqrt a}-\dfrac{1}{\sqrt b}\right)^2\). ب- استنتج مقارنة لـ \(\dfrac{2}{\tfrac1a+\tfrac1b}\) و \(\sqrt{ab}\). ج- قارن \(\dfrac{a+b}{2}\) و \(\sqrt{ab}\). د- نضع \(h=\dfrac{2ab}{a+b},\ n=\sqrt{ab},\ m=\dfrac{a+b}{2}\)؛ رتّب تنازليًّا \(m,n,h\). ز- بيّن أنّ \(m,n,h\) تكوّن (بهذا الترتيب) تناسبًا.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س2–س3. \(A+1=4x^2-6x+\tfrac94\) مربّع كامل؛ ثمّ \(A=(A+1)-1\) بفرق مربّعين.
س4. من \(\left(\tfrac{1}{\sqrt a}-\tfrac{1}{\sqrt b}\right)^2\ge0\) ينتج \(h\le n\)، ومن \((\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0\) ينتج \(n\le m\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(A\left(\tfrac34\right)=\tfrac94-\tfrac{18}{4}+\tfrac54=-1\)، \(A\left(-\tfrac14\right)=\tfrac14+\tfrac64+\tfrac54=3\).
س2–س3. \(A+1=\left(2x-\tfrac32\right)^2\)، إذن \(A=\left(2x-\tfrac32\right)^2-1=\left(2x-\tfrac52\right)\left(2x-\tfrac12\right)\).
س4-أ,ب,ج. \(\left(\tfrac{1}{\sqrt a}-\tfrac{1}{\sqrt b}\right)^2=\tfrac1a-\tfrac{2}{\sqrt{ab}}+\tfrac1b\ge0\) فـ\(\tfrac1a+\tfrac1b\ge\tfrac{2}{\sqrt{ab}}\) ومنه \(\dfrac{2}{\tfrac1a+\tfrac1b}\le\sqrt{ab}\) أي \(h\le n\). وبالمثل \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) أي \(m\ge n\).
س4-د,ز. الترتيب التنازلي \(m\ge n\ge h\). و \(m\cdot h=\dfrac{a+b}{2}\cdot\dfrac{2ab}{a+b}=ab=n^2\)، أي \(\dfrac{m}{n}=\dfrac{n}{h}\) فـ\(n\) متوسّط هندسيّ (تناسب).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س3. \(A(\tfrac34)=-1\)، \(A(-\tfrac14)=3\)؛ \(A+1=(2x-\tfrac32)^2\) و \(A=(2x-\tfrac52)(2x-\tfrac12)\).
س4. \(m\ge n\ge h\) و \(n^2=mh\). ✓
التمرين 2
المجالات والقيمة المطلقة

📝 نصّ التمرين

نعتبر المجالين \(J=\left[-\dfrac52;-1\right]\) و \(I=[-2;3]\).

  1. ليكن \(x\in I\) و \(y\in J\). أوجد حصرًا لـ \(y-x\) و \(x+y\).
  2. أ- بيّن أنّ \(0\le(2x-1)^2\le25\). ب- استنتج أنّ \(-\dfrac14\le x^2-x\le6\).
  3. أ- مثّل \(I\) و \(J\) ثمّ حدّد \(I\cap J\) و \(I\cup J\). ب- بيّن أنّ \(-\dfrac{\sqrt7}{2}\in I\cap J\).
  4. لتكن \(x\) حيث \(-5<3x-5<-2\). أ- بيّن أنّ \(x\in\,]0;1[\). ب- لتكن \(A=|3x-5|-|x-4|\)؛ اختصر \(A\) ثمّ استنتج أنّ \(|A|<1\).
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1–س2. قواعد جمع وطرح المتراجحات؛ و \(2x-1\in[-5;5]\).
س4. على \(]0;1[\): \(3x-5<0\) و \(x-4<0\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(-\dfrac92\le x+y\le2\)، و \(-\dfrac{11}{2}\le y-x\le1\).
س2. \((2x-1)^2\in[0;25]\Rightarrow-\dfrac14\le x^2-x\le6\).
س3. \(I\cap J=[-2;-1]\)، \(I\cup J=\left[-\dfrac52;3\right]\)؛ و \(-\dfrac{\sqrt7}{2}\approx-1.32\in[-2;-1]\).
س4. \(-5<3x-5<-2\Rightarrow0؛ \(A=(5-3x)-(4-x)=1-2x\) و \(|1-2x|<1\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س3. \(-\tfrac92\le x+y\le2\)، \(-\tfrac14\le x^2-x\le6\)، \(I\cap J=[-2;-1]\) و \(-\tfrac{\sqrt7}{2}\in I\cap J\).
س4. \(x\in\,]0;1[\)، \(A=1-2x\) و \(|A|<1\). ✓
التمرين 3
المثلث المتقايس الأضلاع والمركز القائم

📝 نصّ التمرين

\(OBC\) مثلث متقايس الأضلاع بحيث \(BC=4\,cm\).

  1. ابن النقطة \(I\) من \([BC]\) بحيث \(\dfrac{BI}{2}=\dfrac{BC}{3}\) (أي \(BI=\dfrac{2\,BC}{3}\)).
  2. ابن النقطة \(A\) مناظرة \(O\) بالنسبة إلى \(C\). بيّن أنّ \(OAB\) مثلث قائم في \(B\).
  3. بيّن أنّ \(I\) هو مركز ثقل المثلث \(OAB\).
  4. الدائرة \((\mathcal{C})\) التي قطرها \([AC]\) تقطع \([AB]\) في \(M\) و \(A\). أ- حدّد طبيعة المثلث \(AMC\) معلّلًا. ب- بيّن أنّ \(M\) منتصف \([AB]\).
  5. المستقيم المارّ من \(M\) والموازي لـ \((AC)\) يقطع \((OB)\) في \(N\). بيّن أنّ \(N\in(AI)\).
  6. لتكن \(J\) منتصف \([OC]\). المستقيمان \((MC)\) و \((BJ)\) يتقاطعان في \(H\). بيّن أنّ \((AH)\perp(BC)\).
  7. \((AH)\) و \((BC)\) يتقاطعان في \(K\). بيّن أنّ \(K\in(\mathcal{C})\).
  8. لتكن \(G\) منتصف \([CH]\). بيّن أنّ \(G\) متساوية البعد عن \(H\) و \(K\) و \(J\).
OBC A
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

الإحداثيات. \(O(0;0),B(4;0),C(2;2\sqrt3),A(4;4\sqrt3)\) (\(C\) منتصف \([OA]\)).
س4. \(M\in(\mathcal{C})\Rightarrow\widehat{AMC}=90^\circ\)؛ و \((CM)//(OB)\) مع \(C\) منتصف \([OA]\).
س6–س8. استعمل التعامد بالجداء السلّمي والزوايا القائمة المحيطية.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1–س3. \(BI=\dfrac{2BC}{3}=\dfrac83\). و \(A=2C-O=(4;4\sqrt3)\)؛ \(\vec{BO}\cdot\vec{BA}=0\) فـ\(OAB\) قائم في \(B\). ومركز ثقل \(OAB=\left(\dfrac83;\dfrac{4\sqrt3}{3}\right)=I\).
س4. \(\widehat{AMC}=90^\circ\) فـ\(AMC\) قائم في \(M\). وبما أنّ \((CM)//(OB)\) و \(C\) منتصف \([OA]\) فإنّ \(M\) منتصف \([AB]\).
س5. الموازي لـ\((AC)\) من \(M\) يقطع \((OB)\) في \(N(2;0)\) (منتصف \([OB]\))، وهي على المستقيم \((AI)\) بالتناسب.
س6–س7. \(H(-2;2\sqrt3)\) و \(\vec{AH}\cdot\vec{BC}=0\) فـ\((AH)\perp(BC)\). و \(K(1;3\sqrt3)\) يرى \([AC]\) بزاوية قائمة فـ\(K\in(\mathcal{C})\).
س8. \(G(0;2\sqrt3)\) منتصف \([CH]\)، و \(GH=GK=GJ=2\) فـ\(G\) متساوية البعد عن \(H,K,J\) (تقع على دائرة قطرها \([CH]\)).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س4. \(BI=\tfrac83\)، \(OAB\) قائم في \(B\)، \(I\) مركز الثقل، \(AMC\) قائم في \(M\) و \(M\) منتصف \([AB]\).
س5–س8. \(N\in(AI)\)؛ \((AH)\perp(BC)\) و \(K\in(\mathcal{C})\)؛ \(GH=GK=GJ=2\). ✓
التمرين 4
الهندسة الفضائية — الهرم المنتظم

📝 نصّ التمرين

(وحدة القيس هي الصنتمتر) \(SABC\) هرم ثلاثي قمته \(S\) وقاعدته المثلث المتقايس الأضلاع \(ABC\) مركز ثقله \(G\)، و \([SA]\) ارتفاع الهرم، و \(I\) منتصف \([BC]\) حيث \(AB=2\sqrt3\) و \(SA=4\).

  1. أ- بيّن أنّ \(SAI\) مثلث قائم في \(A\). ب- استنتج أنّ \(SI=5\).
  2. المستقيم المارّ من \(G\) والعمودي على \((ABC)\) يقطع \((SBC)\) في \(J\). أ- بيّن أنّ \((SAI)\cap(SBC)=(SI)\). ب- بيّن أنّ \(J\in(SI)\). ج- استنتج أنّ \(JG=\dfrac43\).
  3. أ- بيّن أنّ الهرم \(JABC\) هرم ثلاثي منتظم قمته \(J\). ب- أحسب حرفه الجانبي \(JB\). ج- أحسب حجم الهرم \(JABC\).
S ABC SA=4
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

الإحداثيات. \(A(0;0;0),I(3;0;0),S(0;0;4),B(3;\sqrt3;0),C(3;-\sqrt3;0),G(2;0;0)\).
س1. \(AI\) ارتفاع المثلث المتقايس \(=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot2\sqrt3=3\).
س3. \(J\) فوق مركز الثقل \(G\) فالهرم \(JABC\) منتظم.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \([SA]\perp(ABC)\) و \((AI)\subset(ABC)\) فـ\(SAI\) قائم في \(A\). و \(SI=\sqrt{SA^2+AI^2}=\sqrt{16+9}=5\).
س2. \(S\) و \(I\) نقطتان مشتركتان بين \((SAI)\) و \((SBC)\) فتقاطعهما \((SI)\). والعمودي من \(G\) يقع في \((SAI)\) (لأنّ \(G\in(AI)\)) فـ\(J\in(SI)\). وبالحساب \(J(2;0;\tfrac43)\) فـ\(JG=\dfrac43\).
س3. \(J\) فوق \(G\) عموديًّا فالهرم \(JABC\) منتظم. و \(JB=\sqrt{1+3+\tfrac{16}{9}}=\dfrac{2\sqrt{13}}{3}\). والحجم \(V=\dfrac13\times\mathcal{A}(ABC)\times JG=\dfrac13\times3\sqrt3\times\dfrac43=\dfrac{4\sqrt3}{3}\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س2. \(SAI\) قائم في \(A\)، \(SI=5\)، \(J\in(SI)\) و \(JG=\dfrac43\).
س3. \(JABC\) منتظم، \(JB=\dfrac{2\sqrt{13}}{3}\) و \(V=\dfrac{4\sqrt3}{3}\). ✓
التمرين 5
العمليات في ℝ — المقارنة

📝 نصّ التمرين

نعتبر العددين \(b=2\times\dfrac{3(1-\sqrt3)+\sqrt6-3\sqrt2}{3+\sqrt6}\) و \(a=|1-\sqrt5|-2\,|2-2\sqrt5|\).

  1. أكتب العبارة \(3\sqrt2-\sqrt6\) في صيغة جداء.
  2. بيّن أنّ \(a=3-3\sqrt5\) و \(b=2-2\sqrt3\).
  3. أ- حدّد علامة \(2\sqrt3-2\sqrt5\). ب- استنتج أنّ \(a\le b\).
  4. بيّن أنّ \(a\) و \(b\) سالبان.
  5. قارن \(3b^2-\dfrac5a-\sqrt2\) و \(3a^2-\dfrac5b+1\).
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1–س2. بسّط بسط \(b\) بتعميله: \(3(1-\sqrt3)+\sqrt6-3\sqrt2=(3+\sqrt6)(1-\sqrt3)\)؛ وارفع القيم المطلقة في \(a\).
س3–س5. قارن بالتربيع؛ العددان سالبان فالإشارات تنقلب عند الضرب.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1–س2. \(3\sqrt2-\sqrt6=\sqrt6(\sqrt3-1)\). و \(a=(\sqrt5-1)-2(2\sqrt5-2)=3-3\sqrt5\). و بما أنّ \(3(1-\sqrt3)+\sqrt6-3\sqrt2=(3+\sqrt6)(1-\sqrt3)\) فإنّ \(b=2(1-\sqrt3)=2-2\sqrt3\).
س3. \((2\sqrt3)^2=12<20=(2\sqrt5)^2\) فـ\(2\sqrt3-2\sqrt5<0\). ومنه \(a-b=(3-3\sqrt5)-(2-2\sqrt3)=1+2\sqrt3-3\sqrt5<0\) (لأنّ \(3\sqrt5>2\sqrt3+1\)) أي \(a\le b\).
س4. \(a=3-3\sqrt5<0\) (\(\sqrt5>1\)) و \(b=2-2\sqrt3<0\) (\(\sqrt3>1\)).
س5. بالحساب \(3b^2-\dfrac5a-\sqrt2\approx-13.5\) و \(3a^2-\dfrac5b+1\approx25.8\)، إذن \(3b^2-\dfrac5a-\sqrt2<3a^2-\dfrac5b+1\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س4. \(3\sqrt2-\sqrt6=\sqrt6(\sqrt3-1)\)، \(a=3-3\sqrt5\)، \(b=2-2\sqrt3\)، \(a\le b\) وكلاهما سالب.
س5. \(3b^2-\dfrac5a-\sqrt2<3a^2-\dfrac5b+1\). ✓
→ الموضوع السابق (Brevet07) 🏠 القائمة الموضوع التالي (Brevet09) ←