فرض تأليفي — الرياضيات

📚 السنة التاسعة أساسي⏱ المدّة: ساعتان📝 المصدر: Brevet07 (الحصة رقم 7)
التمرين 1
العمليات في ℝ — المقارنة والترتيب

📝 نصّ التمرين

I- نعتبر العددين \(m=\sqrt3(\sqrt2-2)+2\left(3\sqrt{\tfrac32}+\sqrt3\right)\) و \(n=\sqrt{18}-\sqrt{28}+2(\sqrt7+\sqrt8)\).
  1. أ- بيّن أنّ \(6\sqrt{\tfrac32}=3\sqrt6\). ب- بيّن أنّ \(m=4\sqrt6\) و \(n=7\sqrt2\) ثمّ قارن \(m\) و \(n\). ت- استنتج أنّ \(\sqrt3<1.75\). ث- بيّن أنّ \(\dfrac{1-n^2}{n}<\dfrac{1-m^2}{m}\).
II- ليكن العددان \(s=7\sqrt3-11\) و \(t=(\sqrt{11}-5)(1-\sqrt3)\).
  1. أ- بيّن أنّ \(s\) و \(t\) موجبان. ب- بيّن أنّ \(s=(2\sqrt3-5)(1-\sqrt3)\). ج- قارن \(2\sqrt3-5\) و \(\sqrt{11}-5\) ثمّ استنتج مقارنة لـ \(s\) و \(t\). ح- رتّب الأعداد \(\dfrac{s}{t},\ \dfrac{t}{s},\ 1\).
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

I. بسّط \(\sqrt{3/2}=\tfrac{\sqrt6}{2}\)، \(\sqrt{18}=3\sqrt2,\sqrt{28}=2\sqrt7,\sqrt8=2\sqrt2\)؛ قارن بتربيع \(m,n\).
II. نفس منهجية \(a,b\) السابقة: العوامل سالبة فالجداءات موجبة؛ قارن القيم المطلقة.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

I-أ,ب. \(6\sqrt{3/2}=\dfrac{6\sqrt3}{\sqrt2}=3\sqrt6\). و \(m=\sqrt6-2\sqrt3+3\sqrt6+2\sqrt3=4\sqrt6\)، \(n=3\sqrt2-2\sqrt7+2\sqrt7+4\sqrt2=7\sqrt2\). و \(m^2=96<98=n^2\) فـ\(m.
I-ت,ث. \(4\sqrt6<7\sqrt2\Rightarrow4\sqrt3<7\Rightarrow\sqrt3<1.75\). و \(\dfrac{1-n^2}{n}=\dfrac{-97}{7\sqrt2}\approx-9.80\) و \(\dfrac{1-m^2}{m}=\dfrac{-95}{4\sqrt6}\approx-9.70\) فـ\(\dfrac{1-n^2}{n}<\dfrac{1-m^2}{m}\).
II. \(7\sqrt3>11\) و \(\sqrt{11}<5\) و \(1<\sqrt3\) فـ\(s,t>0\). و \((2\sqrt3-5)(1-\sqrt3)=7\sqrt3-11=s\). وبما أنّ \(2\sqrt3>\sqrt{11}\) فإنّ \(2\sqrt3-5>\sqrt{11}-5\)، وبالضرب في \((1-\sqrt3)<0\): \(s. ومنه \(\dfrac{s}{t}<1<\dfrac{t}{s}\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

I. \(m=4\sqrt6\)، \(n=7\sqrt2\)، \(m، \(\sqrt3<1.75\) و \(\dfrac{1-n^2}{n}<\dfrac{1-m^2}{m}\).
II. \(s,t>0\)، \(s و \(\dfrac{s}{t}<1<\dfrac{t}{s}\). ✓
التمرين 2
الدائرة والمثلث القائم

📝 نصّ التمرين

\((\mathcal{C})\) دائرة مركزها \(O\) وقطرها \([AB]\) حيث \(AB=10\,cm\)، و \(I\) منتصف \([AO]\)، و \((\mathcal{C}')\) دائرة قطرها \([AI]\)، و \(S\) نقطة من \((\mathcal{C})\) بحيث \(SB=6\,cm\).

  1. أ- أنجز الشكل. ب- بيّن أنّ المثلث \(ASB\) قائم في \(S\). ج- أحسب \(SA\).
  2. ابن النقطة \(K\) المسقط العمودي لـ \(S\) على \((AB)\). أحسب \(SK\) و \(AK\).
  3. المستقيم \((AS)\) يقطع الدائرة \((\mathcal{C}')\) في نقطة ثانية \(R\). أ- بيّن أنّ \((RI)//(SB)\). ب- أحسب \(RI\).
  4. نعتبر \(J\) منتصف \([AS]\). أ- أحسب \(KJ\). ب- بيّن أنّ \((OJ)\) و \((AS)\) متعامدان.
  5. المستقيمان \((SO)\) و \((BJ)\) يتقاطعان في \(G\). أ- بيّن أنّ \(G\) مركز ثقل المثلث \(ASB\). ب- أحسب \(BG\).
  6. المستقيم الموازي لـ \((AS)\) والمارّ من \(B\) يقطع \((SO)\) في \(E\). أ- بيّن أنّ الرباعي \(ASBE\) مستطيل. ب- استنتج أنّ \(E\in(\mathcal{C})\).
  7. المستقيمان \((OJ)\) و \((SK)\) يتقاطعان في \(F\). أ- ابن \(H\) المسقط العمودي لـ \(F\) على \((SO)\). ب- بيّن أنّ النقاط \(F,H,A\) على استقامة واحدة.
ABO S SA=8SB=6
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1–س2. \(S\) على الدائرة قطرها \([AB]\) فـ\(\widehat{ASB}=90^\circ\)؛ استعمل فيثاغورس والعلاقات المِترية.
الإحداثيات. \(A(0;0),B(10;0),O(5;0),S(6.4;4.8),I(2.5;0),K(6.4;0)\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(\widehat{ASB}=90^\circ\) (زاوية محيطية على قطر)، و \(SA=\sqrt{AB^2-SB^2}=\sqrt{100-36}=8\).
س2. \(SK=\dfrac{SA\cdot SB}{AB}=\dfrac{48}{10}=4.8\) و \(AK=\dfrac{SA^2}{AB}=\dfrac{64}{10}=6.4\).
س3. \(R\in(\mathcal{C}')\Rightarrow\widehat{ARI}=90^\circ\Rightarrow(RI)\perp(AS)\)، وكذلك \((SB)\perp(AS)\)، إذن \((RI)//(SB)\). وبطاليس \(\dfrac{RI}{SB}=\dfrac{AI}{AB}=\dfrac14\) فـ\(RI=1.5\).
س4. \(KJ=\dfrac{AS}{2}=4\) (وسيط الوتر في المثلث القائم \(ASK\)). و \(J\) منتصف الوتر \([AS]\) فـ\((OJ)\perp(AS)\) (\(\vec{OJ}\cdot\vec{AS}=0\)).
س5. \((SO)\) و \((BJ)\) متوسّطان في المثلث \(ASB\) (\(O,J\) منتصفان)، فتقاطعهما \(G\) مركز الثقل، و \(BG=\dfrac23 BJ=\dfrac23\times2\sqrt{13}=\dfrac{4\sqrt{13}}{3}\).
س6. \((BE)//(AS)\) و \(\vec{AS}=\vec{EB}\) فـ\(ASBE\) متوازي أضلاع، وزاويته في \(S\) قائمة فهو مستطيل. ومنه \(OE=OA=5\) (نصف القطر) أي \(E\in(\mathcal{C})\).
س7. \(F=(OJ)\cap(SK)=\left(\dfrac{32}{5};-\dfrac{28}{15}\right)\)، و \(H\) مسقطه على \((SO)\)؛ بالحساب النقاط \(F,H,A\) لها نفس الميل من \(A\) فهي على استقامة واحدة.

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س4. \(ASB\) قائم في \(S\)، \(SA=8\)، \(SK=4.8,AK=6.4\)، \((RI)//(SB)\) و \(RI=1.5\)، \(KJ=4\)، \((OJ)\perp(AS)\).
س5–س7. \(G\) مركز الثقل، \(BG=\dfrac{4\sqrt{13}}{3}\)؛ \(ASBE\) مستطيل و \(E\in(\mathcal{C})\)؛ \(F,H,A\) مستقيمة. ✓
التمرين 3
المجالات والعبارات الجبرية والمساحات

📝 نصّ التمرين

I- نعتبر المجموعتين \(J=\left\{x\in\mathbb{R};\,|x+1|<\tfrac23\right\}\) و \(I=\left\{x\in\mathbb{R};\,x\le-\tfrac12\right\}\).
  1. اكتب \(I\) و \(J\) في صيغة مجالات.
  2. حدّد \(I\cap J\) و \(I\cup J\).
  3. بيّن أنّ \(-\dfrac{2\sqrt2}{3}\in I\cap J\).
II- نعتبر العبارتين \(E=\dfrac{x^2}{2}+x-\dfrac{15}{2}\) و \(F=x^2+2x-3\).
  1. أ- أحسب \(E\) إذا كان \(x=-2\sqrt2\). ب- أحسب \(2E+12\) إذا كان \(x=-2\sqrt2\) ثمّ استنتج قيمة \(F\).
  2. أ- اختصر العبارة \(2E+16\) ثمّ استنتج تفكيكًا للعبارة \(F\).
  3. بيّن أنّ \(F=(x+3)^2-4x-12\).
III- في الرسم المقابل \(ABCD\) مربّع و \(AMNH\) مستطيل بحيث \(MB=4\)، \(AH=2\)، \(AM=x\) و \(S\) المساحة الملوّنة (الرباعي \(HCMN\)).
  1. أ- اكتب بدلالة \(x\) مساحة المربّع \(ABCD\) والمستطيل \(AMNH\) والمثلثين \(BMC\) و \(DHC\). ب- استنتج أنّ \(S=\dfrac{x^2+2x+8}{2}\). ت- أحسب \(x\) في حالة \(S=\dfrac{23}{2}\).
  2. لتكن \(I\) النقطة من \([CD]\) حيث \(CI=\dfrac72\). أ- بيّن أنّه في حالة \(A,N,I\) على نفس الاستقامة فإنّ \(\dfrac{x}{x+\tfrac12}=\dfrac{2}{x+4}\). ب- استنتج قيمة \(x\) ثمّ \(S\) في هذه الحالة.
ملاحظة أمانة: يُظهر الشكل أنّ النقطة المتحرّكة على استقامة واحدة مع \(A\) و \(I\) هي \(N\) (رأس المستطيل الداخلي). ويعطي هذا الشرط \(x^2+2x-1=0\) أي \(x=\sqrt2-1\) ومنه \(S=\dfrac92\) (كُتب في بعض النسخ \(S=\tfrac{11}{2}\) وهو لا يوافق الشرط المطلوب برهانه).
AB CD M H N x4
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

I. \(|x+1|<\tfrac23\Leftrightarrow-\tfrac53.
II. لاحظ أنّ \(2E=x^2+2x-15\) فـ\(2E+12=F\) و \(2E+16=(x+1)^2\).
III. ضع \(A(0;0),B(x+4;0),C(x+4;x+4),D(0;x+4),M(x;0),H(0;2),N(x;2)\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

I. \(J=\left]-\tfrac53;-\tfrac13\right[\)، \(I=\left]-\infty;-\tfrac12\right]\)؛ \(I\cap J=\left]-\tfrac53;-\tfrac12\right]\) و \(I\cup J=\left]-\infty;-\tfrac13\right[\). و \(-\dfrac{2\sqrt2}{3}\approx-0.94\in I\cap J\).
II. \(E(-2\sqrt2)=4-2\sqrt2-\tfrac{15}{2}=-\tfrac72-2\sqrt2\)، \(2E+12=5-4\sqrt2=F(-2\sqrt2)\). و \(2E+16=x^2+2x+1=(x+1)^2\)، إذن \(F=2E+12=(x+1)^2-4=(x-1)(x+3)\). و \((x+3)^2-4x-12=x^2+2x-3=F\).
III-1. المربّع \((x+4)^2\)، المستطيل \(2x\)، المثلث \(BMC=2(x+4)\)، المثلث \(DHC=\dfrac{(x+2)(x+4)}{2}\). ومنه \(S=(x+4)^2-2x-2(x+4)-\dfrac{(x+2)(x+4)}{2}=\dfrac{x^2+2x+8}{2}\). و \(S=\tfrac{23}{2}\Leftrightarrow x^2+2x-15=0\Leftrightarrow x=3\) (موجب).
III-2. \(A(0;0),N(x;2),I(x+\tfrac12;x+4)\)؛ الاستقامة تعطي \(\dfrac{2}{x}=\dfrac{x+4}{x+\tfrac12}\) أي \(\dfrac{x}{x+\tfrac12}=\dfrac{2}{x+4}\)، ومنه \(x^2+2x-1=0\Rightarrow x=\sqrt2-1\)، فـ\(S=\dfrac{1+8}{2}=\dfrac92\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

I–II. \(I\cap J=]-\tfrac53;-\tfrac12]\)؛ \(F=2E+12=(x-1)(x+3)\)، \(F(-2\sqrt2)=5-4\sqrt2\).
III. \(S=\dfrac{x^2+2x+8}{2}\)، \(S=\tfrac{23}{2}\Rightarrow x=3\)؛ الاستقامة \(\Rightarrow x=\sqrt2-1\) و \(S=\dfrac92\). ✓
التمرين 4
العلاقات المِترية والمعيّن

📝 نصّ التمرين

(وحدة القيس هي الصنتمتر) \(ABC\) مثلث قائم في \(A\) و \([AH]\) ارتفاعه الصادر من \(A\)، حيث \(CH=\sqrt3\)، \(AH=3\) و \(BH=x\) (عدد حقيقي موجب قطعًا).

I- نريد حساب \(x\) بطريقتين.
  1. بيّن أنّ \(BH=3\sqrt3\).
  2. إذا علمت أنّ مساحة المثلث \(ABC\) تساوي \(6\sqrt3\). أ- بيّن أنّ \(x\) تحقّق \(3(x+\sqrt3)=12\sqrt3\). ب- استنتج أنّ \(BH=3\sqrt3\).
II-
  1. بيّن أنّ \(AB=6\) ثمّ أحسب \(AC\).
  2. لتكن \(I\) منتصف \([AB]\) و \(K\) منتصف \([AI]\). أ- أحسب \(HI\). ب- بيّن أنّ المثلث \(AHI\) متقايس الأضلاع ثمّ أحسب \(HK\).
III-
  1. المستقيم المارّ من \(I\) والموازي لـ \((AH)\) يقطع \((HK)\) في \(L\). بيّن أنّ الرباعي \(ALIH\) معيّن.
  2. ابن \(E\) مناظرة \(L\) بالنسبة إلى \(A\)، ولتكن \(J\) نقطة تقاطع \((HI)\) و \((BE)\). أحسب \(IJ\).
H BCA AH=3CH=√3
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

I. العلاقة المِترية \(AH^2=BH\cdot CH\) في المثلث القائم.
II–III. استعمل الإحداثيات \(H(0;0),A(0;3),B(-3\sqrt3;0),C(\sqrt3;0)\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

I. \(AH^2=BH\cdot CH\Rightarrow9=x\sqrt3\Rightarrow x=3\sqrt3\). وبالمساحة \(\dfrac{(x+\sqrt3)\cdot3}{2}=6\sqrt3\Rightarrow3(x+\sqrt3)=12\sqrt3\Rightarrow x=3\sqrt3\).
II. \(AB^2=BH\cdot BC=3\sqrt3\cdot4\sqrt3=36\Rightarrow AB=6\) و \(AC^2=CH\cdot BC=\sqrt3\cdot4\sqrt3=12\Rightarrow AC=2\sqrt3\). و \(HI=3\) (\(I\) منتصف \([AB]\)). وبما أنّ \(AH=HI=AI=3\) فالمثلث \(AHI\) متقايس الأضلاع، ومنه \(HK=\dfrac{3\sqrt3}{2}\) (ارتفاع المثلث المتقايس).
III. \(ALIH\) أضلاعه الأربعة تساوي \(3\) فهو معيّن. و \(E=2A-L\)، و \(J=(HI)\cap(BE)\) يعطي \(IJ=\dfrac32\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

I–II. \(BH=3\sqrt3\)، \(AB=6\)، \(AC=2\sqrt3\)، \(HI=3\) و \(AHI\) متقايس الأضلاع، \(HK=\dfrac{3\sqrt3}{2}\).
III. \(ALIH\) معيّن و \(IJ=\dfrac32\). ✓
→ الموضوع السابق (Brevet06) 🏠 القائمة الموضوع التالي (Brevet08) ←