فرض تأليفي — الرياضيات

📚 السنة التاسعة أساسي⏱ المدّة: ساعتان📝 المصدر: Brevet06 (الحصة رقم 6)
التمرين 1
المستطيل والعبارة الجبرية

📝 نصّ التمرين

(وحدة القيس هي الصنتمتر) قطعة مستقيم \([AB]\) بحيث \(AB=10\)، ونصف مستقيم \([At)\) عموديّ على \((AB)\) في \(A\). \(M\) نقطة من \([AB]\) حيث \(AM=x\) و \(x\in\,]0;10[\)، و \(K\) نقطة من \([At)\) حيث \(AK=MB\)، و \(P\) النقطة التي تجعل \(AMPK\) مستطيلًا مساحته \(S\).

  1. أ- بيّن أنّ \(S=10x-x^2\). ب- أحسب \(S\) إذا كان \(x=5+\sqrt2\).
  2. أ- بيّن أنّ \(S=9-(x-9)(x-1)\). ب- استنتج كلّ الأعداد الحقيقية \(x\) حيث \(S=9\).
  3. أ- بيّن أنّ مجموعة الأعداد الحقيقية \(x\) بحيث \(|x-5|\le3\) هي المجال \([2;8]\). ب- بيّن أنّ \(MK^2+2S=100\).
  4. نعتبر النقطتين \(C\) و \(D\) من \([AB]\) حيث \(AC=2\) و \(AD=8\). أ- بيّن أنّ \(S=25-(x-5)^2\). ب- استنتج مجموعة النقاط \(M\) حيث \(MK\le2\sqrt{17}\).
AB t M K P x 10−x
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. \(AM=x\) و \(AK=MB=10-x\)، والمساحة \(=AM\times AK\).
س2–س4. استعمل النشر والتفكيك والصيغة القانونية؛ ولاحظ أنّ \(MK^2=AM^2+AK^2\) (المثلث \(AMK\) قائم في \(A\)).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(S=AM\times AK=x(10-x)=10x-x^2\). وعند \(x=5+\sqrt2\): \(S=10(5+\sqrt2)-(5+\sqrt2)^2=50+10\sqrt2-27-10\sqrt2=23\).
س2. \(9-(x-9)(x-1)=9-(x^2-10x+9)=10x-x^2=S\). و \(S=9\Leftrightarrow(x-9)(x-1)=0\Leftrightarrow x=1\ \text{أو}\ x=9\).
س3. \(|x-5|\le3\Leftrightarrow-3\le x-5\le3\Leftrightarrow2\le x\le8\). و \(MK^2+2S=(x^2+(10-x)^2)+2(10x-x^2)=100\).
س4. \(25-(x-5)^2=25-x^2+10x-25=10x-x^2=S\). ومن \(MK^2=100-2S=2(x-5)^2+50\): \(MK\le2\sqrt{17}\Leftrightarrow MK^2\le68\Leftrightarrow(x-5)^2\le9\Leftrightarrow x\in[2;8]\)، أي \(M\in[CD]\) (لأنّ \(AC=2,AD=8\)).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س2. \(S=10x-x^2\)، \(S(5+\sqrt2)=23\)، و \(S=9\Rightarrow x\in\{1;9\}\).
س3–س4. \(\{|x-5|\le3\}=[2;8]\)، \(MK^2+2S=100\)، \(S=25-(x-5)^2\) و \(MK\le2\sqrt{17}\Rightarrow M\in[CD]\). ✓
التمرين 2
العمليات في ℝ — الأعداد المقلوبة

📝 نصّ التمرين

نعتبر العددين \(a=\dfrac{5\sqrt6-12}{\sqrt6}\) و \(b=\sqrt{150}+\sqrt{\dfrac{75}{3}}-\sqrt{54}\).

  1. اختصر \(a\) و \(b\).
  2. أحسب \(\dfrac{\sqrt2}{a}-\dfrac{\sqrt2}{b}\).
  3. بيّن أنّ \((1-a)(2+\sqrt6)\) هو مربّع لعدد صحيح.
  4. بيّن أنّ \(a\) و \(b\) مقلوبان.
  5. أحسب \(E=b^3-ab^2\)، \(F=\sqrt{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2}\)، \(G=b-\dfrac{a+2}{a}\) و \(H=\dfrac{1}{a}\left(\dfrac{2}{b}-1\right)\).
  6. ليكن العددان \(c=-(3-\sqrt{20})-\sqrt{(1-\sqrt5)^2}\) و \(d=\dfrac{\sqrt{60}+\sqrt{48}}{4\sqrt3}\). أ- بيّن أنّ \(c=\sqrt5-2\) و \(d=1+\dfrac{\sqrt5}{2}\). ب- بيّن أنّ \(c\) هو مقلوب \(2d\). ت- أوجد أصغر قيمة للعدد \(m\) حتى يصبح العدد \(\sqrt{\dfrac{1-d^2}{d^2}+m}\) عددًا صحيحًا طبيعيًّا.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. \(\sqrt{150}=5\sqrt6,\ \sqrt{75/3}=5,\ \sqrt{54}=3\sqrt6\)؛ و \(\dfrac{5\sqrt6-12}{\sqrt6}=5-2\sqrt6\).
س4–س5. بيّن أنّ \(ab=1\) ثمّ استعمله؛ لاحظ أنّ \(\dfrac1a=b\).
س6-ت. \(\dfrac{1-d^2}{d^2}=\dfrac{1}{d^2}-1\) عدد سالب؛ اختر \(m\) ليصبح الجذر \(0\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(a=\dfrac{5\sqrt6-12}{\sqrt6}=5-\dfrac{12}{\sqrt6}=5-2\sqrt6\). و \(b=5\sqrt6+5-3\sqrt6=5+2\sqrt6\).
س2–س3. \(\dfrac{\sqrt2}{a}-\dfrac{\sqrt2}{b}=\sqrt2\cdot\dfrac{b-a}{ab}=\sqrt2\cdot\dfrac{4\sqrt6}{1}=8\sqrt3\) (إذ \(ab=1\)). و \((1-a)(2+\sqrt6)=(2\sqrt6-4)(2+\sqrt6)=2(\sqrt6-2)(\sqrt6+2)=2\times2=4=2^2\).
س4. \(ab=(5-2\sqrt6)(5+2\sqrt6)=25-24=1\) فـ\(a\) و \(b\) مقلوبان.
س5. \(E=b^2(b-a)=(49+20\sqrt6)(4\sqrt6)=480+196\sqrt6\)؛ \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=a^2+b^2=98\) فـ\(F=\sqrt{96}=4\sqrt6\)؛ \(G=b-1-\dfrac2a=b-1-2b=-b-1=-6-2\sqrt6\)؛ \(H=b(2a-1)=2-b=-3-2\sqrt6\).
س6. \(c=-(3-2\sqrt5)-(\sqrt5-1)=\sqrt5-2\) و \(d=\dfrac{2\sqrt{15}+4\sqrt3}{4\sqrt3}=1+\dfrac{\sqrt5}{2}\). و \(c\cdot2d=(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)=1\) فـ\(c=\dfrac{1}{2d}\). ولأنّ \(\dfrac{1}{d^2}=36-16\sqrt5\) فإنّ \(\dfrac{1-d^2}{d^2}=35-16\sqrt5<0\)، وأصغر \(m\) يجعل الجذر \(0\) هو \(m=16\sqrt5-35\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س4. \(a=5-2\sqrt6\)، \(b=5+2\sqrt6\)، \(ab=1\)؛ \(\dfrac{\sqrt2}{a}-\dfrac{\sqrt2}{b}=8\sqrt3\)؛ \((1-a)(2+\sqrt6)=4=2^2\).
س5–س6. \(E=480+196\sqrt6\)، \(F=4\sqrt6\)، \(G=-6-2\sqrt6\)، \(H=-3-2\sqrt6\)؛ \(c=\sqrt5-2\), \(d=1+\tfrac{\sqrt5}{2}\), \(m=16\sqrt5-35\). ✓
التمرين 3
الهندسة التحليلية والدائرة

📝 نصّ التمرين

المستوي منسوب إلى معيّن متعامد \((O,I,J)\) حيث \(OI=OJ=1\,cm\). نعتبر \(A(6;0)\)، \(B(0;8)\) و \(M\) من \([AB]\) حيث \(BM=6.4\,cm\).

  1. أحسب \(AM\).
  2. لتكن \(H\) المسقط العمودي لـ \(M\) على \((OI)\) و \(K\) المسقط العمودي لـ \(M\) على \((OJ)\). أحسب \(OM\).
  3. بيّن أنّ \((OM)\perp(AB)\) ثمّ حدّد إحداثيات \(M\).
  4. المستقيمان \((HK)\) و \((OM)\) يتقاطعان في \(P\)، و \(E\) منتصف \([BM]\). بيّن أنّ \((OE)\perp(AP)\).
  5. لتكن \(Q\) نقطة تقاطع \((OE)\) و \((AP)\). بيّن أنّ \(Q,O,A,M\) نقاط من نفس الدائرة، وحدّد مركزها وشعاعها.
  6. \((EP)\cap(OI)=\{L\}\). أحسب \(LH\) و \(BK\) ومساحة المثلث \(OBE\).
  7. نضع \(F\) مناظرة \(E\) بالنسبة إلى \(O\) و \(G\) مناظرة \(F\) بالنسبة إلى \((OJ)\). أ- أوجد إحداثيات \(G\). ب- بيّن أنّ \(E,L,G\) على استقامة واحدة.
IJO A B M
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1–س3. \(AB=\sqrt{6^2+8^2}=10\)؛ و \(M\) هي المسقط العمودي لـ\(O\) على \((AB)\) فـ\(OM\) بُعد \(O\) عن المستقيم.
س4–س5. استعمل الجداء السلّمي للتعامد، والزاوية القائمة المحيطية لإثبات التواقع على الدائرة.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1–س3. \(AB=10\) فـ\(AM=10-6.4=3.6\). بُعد \(O\) عن \((AB):4x+3y=24\) هو \(OM=\dfrac{24}{5}=4.8\). و \((OM)\perp(AB)\) (بُعد = مسقط عمودي)، و \(M\left(\dfrac{96}{25};\dfrac{72}{25}\right)=(3.84;2.88)\).
س4. \(H(3.84;0),K(0;2.88)\)، \(P=(HK)\cap(OM)=(1.92;1.44)\) (منتصف \([OM]\))، و \(E(1.92;5.44)\). عندئذٍ \(\vec{OE}\cdot\vec{AP}=0\) فـ\((OE)\perp(AP)\).
س5. \(\widehat{OMA}=90^\circ\) و \(\widehat{OQA}=90^\circ\) فـ\(M\) و \(Q\) يريان \([OA]\) بزاوية قائمة، إذن \(O,A,M,Q\) على الدائرة التي قطرها \([OA]\): مركزها \((3;0)\) وشعاعها \(3\).
س6–س7. \((EP):x=1.92\) فـ\(L(1.92;0)\): \(LH=1.92\)، \(BK=5.12\)، ومساحة \(OBE=\dfrac12\times OB\times x_E=\dfrac12\times8\times1.92=7.68\). و \(F=-E=(-1.92;-5.44)\)، \(G(1.92;-5.44)\)؛ والنقاط \(E,L,G\) لها نفس الفاصلة \(1.92\) فهي على استقامة واحدة.

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س3. \(AM=3.6\)، \(OM=4.8\)، \(M(3.84;2.88)\) و \((OM)\perp(AB)\).
س4–س7. \((OE)\perp(AP)\)؛ دائرة قطرها \([OA]\) مركزها \((3;0)\) شعاعها \(3\)؛ \(LH=1.92,\ BK=5.12,\ \mathcal{A}(OBE)=7.68\)؛ \(G(1.92;-5.44)\) و \(E,L,G\) مستقيمة. ✓
التمرين 4
العدد الذهبي — نموذجية المنزه

📝 نصّ التمرين

I- نعتبر العددين \(b=\dfrac12-\dfrac{6-(1+\sqrt5)^2}{4}\) و \(a=\dfrac{\sqrt{10}-\sqrt{20}}{2\sqrt2-4}-\dfrac12\).
  1. أ- بيّن أنّ \(b=\dfrac{\sqrt5+1}{2}\) و \(a=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\). ب- استنتج أنّ \(a\) و \(b\) مقلوبان. ج- بيّن أنّ \(a^2+\dfrac{\sqrt5}{2}\in\mathbb{Q}\).
  2. أ- قارن \(a^2\) و \(b^2\). ب- بيّن أنّ \(a^2. ج- استنتج ترتيبًا للأعداد \(a^2,\ b^2,\ ab\).
II- في الرسم المقابل \(ABCD\) مربّع طول ضلعه \(1\) و \(I\) منتصف \([CD]\). الدائرة \((\mathcal{C})\) التي مركزها \(I\) وتمرّ من \(B\) تقطع \([IC)\) في \(E\) و \([ID)\) في \(F\).
  1. أ- بيّن أنّ \(CE=a\). ب- بيّن أنّ المثلث \(BFE\) قائم. ت- استنتج أنّ \(CF=b=\dfrac{\sqrt5+1}{2}\).
AB CD I E F
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

I. \(6-(1+\sqrt5)^2=-2\sqrt5\) و \(\sqrt{10}-\sqrt{20}=\sqrt5(\sqrt2-2)\)؛ \(a\) هو النسبة الذهبية \((a^2=a+1)\).
II. شعاع الدائرة \(IB=IE=IF\)؛ احسب بمعيّن مناسب.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

I.1. \(b=\dfrac12-\dfrac{-2\sqrt5}{4}=\dfrac12+\dfrac{\sqrt5}{2}=\dfrac{\sqrt5+1}{2}\)؛ \(a=\dfrac{\sqrt5(\sqrt2-2)}{2(\sqrt2-2)}-\dfrac12=\dfrac{\sqrt5}{2}-\dfrac12=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\). و \(ab=\dfrac{5-1}{4}=1\) (مقلوبان). و \(a^2+\dfrac{\sqrt5}{2}=\dfrac{3-\sqrt5}{2}+\dfrac{\sqrt5}{2}=\dfrac32\in\mathbb{Q}\).
I.2. \(a^2=\dfrac{3-\sqrt5}{2}\approx0.38\)، \(b^2=\dfrac{3+\sqrt5}{2}\approx2.62\) فـ\(a^2. و \(a^2 (لأنّ \(0). ومنه الترتيب \(a^2 (\(0.38<1<2.62\)).
II. بوضع \(D(0;0),C(1;0),B(1;1),I(\tfrac12;0)\): الشعاع \(IB=\dfrac{\sqrt5}{2}\)، فـ\(E\left(\dfrac{1+\sqrt5}{2};0\right)\) و \(CE=\dfrac{\sqrt5-1}{2}=a\). و \(F\left(\dfrac{1-\sqrt5}{2};0\right)\) مع \(EF=\sqrt5\)؛ وبما أنّ \(BE^2+BF^2=\dfrac{5-\sqrt5}{2}+\dfrac{5+\sqrt5}{2}=5=EF^2\) فالمثلث \(BFE\) قائم في \(B\). ومنه \(CF=\dfrac{\sqrt5+1}{2}=b\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

I. \(a=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\)، \(b=\dfrac{\sqrt5+1}{2}\)، \(ab=1\)، \(a^2+\tfrac{\sqrt5}{2}=\tfrac32\)، والترتيب \(a^2.
II. \(CE=a\)، \(BFE\) قائم في \(B\)، و \(CF=b\). ✓
التمرين 5
الهندسة الفضائية — متوازي المستطيلات

📝 نصّ التمرين

\(ABCDEFGH\) متوازي مستطيلات بحيث \(AEHD\) مربّع قيس ضلعه \(4\) و \(AB=2\sqrt3\). \(N\) نقطة من \([FG]\) بحيث \(ENH\) مثلث متقايس الأضلاع.

  1. بيّن أنّ \((AE)\perp(EFH)\).
  2. استنتج أنّ \((EN)\perp(AE)\).
  3. لتكن \(I\) منتصف \([AN]\). المستقيم الموازي لـ \((IH)\) والمارّ من \(A\) يقطع \((NH)\) في \(M\). بيّن أنّ \(H\) منتصف \([MN]\).
  4. استنتج أنّ \((EN)\perp(AEM)\).
  5. أحسب \(AH\).
  6. لتكن \(J\) منتصف \([AM]\). بيّن أنّ \((IJ)\subset(AMN)\).
  7. \((IJ)\) يقطع \((AH)\) في \(K\). أحسب \(KN\).
AB CD EF GH
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

الإحداثيات. ضع \(A(0;0;0),E(0;0;4),H(4;0;4),B(0;2\sqrt3;0),F(0;2\sqrt3;4),G(4;2\sqrt3;4)\).
س1–س2. \((AE)\) عموديّ على وجه \((EFH)\) (المستوي \(z=4\)).
س3–س7. \(I,J\) منتصفان فـ\((IJ)\) قطعة متوسّطة؛ والتعامد بالجداء السلّمي.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1–س2. \((AE)\perp(EFH)\) لأنّ \([AE]\) حرف جانبي عموديّ على الوجه \((EFGH)\). و \(N(2;2\sqrt3;4)\) (من تقايس أضلاع \(ENH\))، و \(\vec{EN}\cdot\vec{AE}=0\) فـ\((EN)\perp(AE)\).
س3–س4. \(M(6;-2\sqrt3;4)\)، ومنتصف \([MN]\) هو \((4;0;4)=H\). و \(\vec{EN}\cdot\vec{AM}=0\) مع \((EN)\perp(AE)\) يعطي \((EN)\perp(AEM)\).
س5. \(AH\) قطر المربّع \(AEHD\): \(AH=4\sqrt2\).
س6–س7. \(I,J\) منتصفا \([AN],[AM]\) فـ\((IJ)\) القطعة المتوسّطة في المثلث \(AMN\) ومنه \((IJ)\subset(AMN)\). و \(K=(IJ)\cap(AH)=(2;0;2)\)، إذن \(KN=\sqrt{0+12+4}=4\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س4. \((AE)\perp(EFH)\)، \((EN)\perp(AE)\)، \(H\) منتصف \([MN]\)، \((EN)\perp(AEM)\).
س5–س7. \(AH=4\sqrt2\)؛ \((IJ)\subset(AMN)\) و \(KN=4\). ✓
→ الموضوع السابق (Brevet05) 🏠 القائمة الموضوع التالي (Brevet07) ←