فرض تأليفي — الرياضيات

📚 السنة التاسعة أساسي⏱ المدّة: ساعتان📝 المصدر: Brevet05 (الحصة رقم 5)
التمرين 1
العمليات في ℝ — الترتيب والمقارنة

📝 نصّ التمرين

نعتبر العددين \(a=\dfrac{2}{\sqrt5}(\sqrt{80}-\sqrt{10})+9-2\sqrt{50}\) و \(b=(1-\sqrt2)^2+\dfrac{\sqrt8\times\sqrt{128}}{\sqrt{32}}\).

  1. أ- بيّن أنّ \(a=17-12\sqrt2\) و \(b=3+2\sqrt2\). ب- استنتج أنّ \(a=(3-2\sqrt2)^2\). ج- بيّن أنّ \(a\) هو مقلوب \(b^2\).
  2. لتكن العبارة \(c=a-b\). أ- حدّد علامة \(c\) ثمّ استنتج مقارنة \(a\) و \(b\). ب- رتّب تصاعديًّا \(\dfrac1a,\ \dfrac1b,\ \dfrac1c\). ت- قارن \(\dfrac{1}{a^2+a}\) و \(\dfrac{1}{b^2+b}\). ث- بيّن أنّ \(\dfrac{1-a^{-2}}{b^2}+24\sqrt2\) عدد صحيح.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. بسّط الجذور: \(\sqrt{80}=4\sqrt5,\ \sqrt{50}=5\sqrt2,\ \sqrt8\sqrt{128}=\sqrt{1024}=32\). ولاحظ أنّ \(a=(3-2\sqrt2)^2\).
س2. \(a=17-12\sqrt2\approx0.03>0\) صغير جدًّا؛ استعمل \(a\cdot b^2=1\) و \(a.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(\dfrac{2}{\sqrt5}(4\sqrt5-\sqrt{10})=8-2\sqrt2\) إذن \(a=8-2\sqrt2+9-10\sqrt2=17-12\sqrt2\). و \(b=(3-2\sqrt2)+4\sqrt2=3+2\sqrt2\). و \((3-2\sqrt2)^2=9-12\sqrt2+8=17-12\sqrt2=a\). و \(a\cdot b^2=(17-12\sqrt2)(17+12\sqrt2)=289-288=1\) فـ\(a=\dfrac{1}{b^2}\).
س2-أ,ب. \(c=a-b=14-14\sqrt2=14(1-\sqrt2)<0\) إذن \(a. وبما أنّ \(0 و \(c<0\): \(\dfrac1c<0<\dfrac1b<\dfrac1a\).
س2-ت. بما أنّ \(0 فإنّ \(a^2+a (كلاهما موجب)، ومنه \(\dfrac{1}{a^2+a}>\dfrac{1}{b^2+b}\).
س2-ث. بما أنّ \(a=\dfrac{1}{b^2}\) فإنّ \(a^{-2}=b^4\)، إذن \(\dfrac{1-a^{-2}}{b^2}=\dfrac{1-b^4}{b^2}=\dfrac{1}{b^2}-b^2=a-b^2=(17-12\sqrt2)-(17+12\sqrt2)=-24\sqrt2\). ومنه المجموع \(-24\sqrt2+24\sqrt2=0\) وهو عدد صحيح.

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. \(a=17-12\sqrt2=(3-2\sqrt2)^2\)، \(b=3+2\sqrt2\)، \(a=\dfrac{1}{b^2}\).
س2. \(a؛ \(\dfrac1c<0<\dfrac1b<\dfrac1a\)؛ \(\dfrac{1}{a^2+a}>\dfrac{1}{b^2+b}\)؛ والمجموع \(=0\). ✓
التمرين 2
المستطيل والمسقط العمودي

📝 نصّ التمرين

في الرسم المرافق \(ABCD\) مستطيل مركزه \(O\) و \(I\) المسقط العمودي لـ \(B\) على \((AC)\) حيث \(IA=2\,IC\) و \(IB=2\sqrt2\) (وحدة القيس اختيارية).

  1. بيّن أنّ \(IC=2\) و \(BC=2\sqrt3\).
  2. المستقيم المارّ من \(D\) والموازي لـ \((AC)\) يقطع \((BC)\) في \(E\)، و \((BI)\cap(AE)=\{F\}\). أ- بيّن أنّ \(C\) منتصف \([BE]\). ب- أحسب \(BF\). ج- بيّن أنّ \(F\) منتصف \([DC]\) ثمّ أحسب \(OF\).
  3. المستقيم \((OF)\) يقطع \((DE)\) في \(J\). بيّن أنّ الرباعي \(CODJ\) معيّن ثمّ أحسب مساحته.
AB CD O I
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. المثلث \(ABC\) قائم في \(B\) و \([BI]\) ارتفاعه، فاستعمل العلاقات المِترية \(IB^2=IA\cdot IC\) و \(BC^2=IC\cdot AC\).
س2–س3. استعمل معيّنًا متعامدًا \(A(0;0),B(2\sqrt6;0),C(2\sqrt6;2\sqrt3),D(0;2\sqrt3)\) واحسب بالإحداثيات.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(IB^2=IA\cdot IC=2IC\cdot IC=2IC^2\)، و \(IB^2=8\) إذن \(IC^2=4\Rightarrow IC=2\) و \(IA=4\)، \(AC=6\). و \(BC^2=IC\cdot AC=2\times6=12\Rightarrow BC=2\sqrt3\).
س2-أ. الموازي لـ\((AC)\) من \(D\) يقطع \((BC)\) في \(E(2\sqrt6;4\sqrt3)\)، ومنتصف \([BE]\) هو \((2\sqrt6;2\sqrt3)=C\).
س2-ب,ج. \(F=(BI)\cap(AE)=(\sqrt6;2\sqrt3)\)، إذن \(BF=3\sqrt2\). ومنتصف \([DC]\) هو \((\sqrt6;2\sqrt3)=F\)، و \(OF=|2\sqrt3-\sqrt3|=\sqrt3\).
س3. \(J=(OF)\cap(DE)=(\sqrt6;3\sqrt3)\). أضلاع \(CODJ\) كلّها تساوي \(3\) فهو معيّن، ومساحته \(=\dfrac{CD\times OJ}{2}=\dfrac{2\sqrt6\times2\sqrt3}{2}=6\sqrt2\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. \(IC=2\)، \(BC=2\sqrt3\).
س2–س3. \(C\) منتصف \([BE]\)، \(BF=3\sqrt2\)، \(F\) منتصف \([DC]\)، \(OF=\sqrt3\)؛ \(CODJ\) معيّن مساحته \(6\sqrt2\). ✓
التمرين 3
العمليات في ℝ — المقارنة

📝 نصّ التمرين

نعتبر العددين \(a=7\sqrt3-11\) و \(b=(\sqrt{11}-5)(1-\sqrt3)\).

  1. أ- قارن \(7\sqrt3\) و \(11\). ب- قارن \(\sqrt{11}\) و \(5\). ج- استنتج أنّ \(a\) و \(b\) موجبان.
  2. أ- بيّن أنّ \(a=(2\sqrt3-5)(1-\sqrt3)\). ب- قارن العددين \(2\sqrt3-5\) و \(\sqrt{11}-5\). ج- استنتج أنّ \(b>a\).
  3. أ- قارن العددين \(\dfrac{\sqrt2}{a^2}-\sqrt{11}\) و \(\dfrac{\sqrt2}{ab}-5\). ب- رتّب الأعداد \(\dfrac{a}{b},\ \dfrac{b}{a},\ 1\).
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. قارن بالتربيع: \((7\sqrt3)^2=147>121\) و \((\sqrt{11})^2=11<25\).
س2–س3. جميع العوامل سالبة فالجداءات موجبة؛ قارن القيم المطلقة.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(147>121\Rightarrow 7\sqrt3>11\) فـ\(a>0\). و \(11<25\Rightarrow\sqrt{11}<5\)، و \(1<\sqrt3\)، فـ\(b=(\sqrt{11}-5)(1-\sqrt3)=(-)(-)>0\).
س2. \((2\sqrt3-5)(1-\sqrt3)=2\sqrt3-2\cdot3-5+5\sqrt3=7\sqrt3-11=a\). وبما أنّ \((2\sqrt3)^2=12>11=(\sqrt{11})^2\) فإنّ \(2\sqrt3>\sqrt{11}\) ومنه \(2\sqrt3-5>\sqrt{11}-5\) (وكلاهما سالب).
س2-ج. بضرب المتراجحة \(2\sqrt3-5>\sqrt{11}-5\) في العدد السالب \((1-\sqrt3)\) ينقلب الاتجاه: \((2\sqrt3-5)(1-\sqrt3)<(\sqrt{11}-5)(1-\sqrt3)\) أي \(a.
س3. بالحساب \(\dfrac{\sqrt2}{a^2}-\sqrt{11}>\dfrac{\sqrt2}{ab}-5\) (الفرق موجب). وبما أنّ \(0 فإنّ \(\dfrac{a}{b}<1<\dfrac{b}{a}\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س2. \(a,b>0\) و \(b>a\).
س3. \(\dfrac{\sqrt2}{a^2}-\sqrt{11}>\dfrac{\sqrt2}{ab}-5\)؛ \(\dfrac{a}{b}<1<\dfrac{b}{a}\). ✓
التمرين 4
المجالات والحصر

📝 نصّ التمرين

نعتبر المجالين \(J=\left[-\dfrac52\,;\,-1\right]\) و \(I=[-2\,;\,3]\).

  1. ليكن \(x\) و \(y\) عددين حقيقيين حيث \(x\in I\) و \(y\in J\). أوجد حصرًا لـ \(x+y\) و \(x-y\).
  2. أ- بيّن أنّ \(0\le(2x-1)^2\le25\). ب- استنتج أنّ \(-\dfrac14\le x^2-x\le6\).
  3. أ- مثّل على المستقيم العددي المجالين \(I\) و \(J\) ثمّ حدّد \(I\cap J\) و \(I\cup J\). ب- بيّن أنّ \(-\dfrac{\sqrt7}{2}\in I\cap J\).
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. استعمل قواعد جمع وطرح المتراجحات (اقلب مجال \(y\) عند الطرح).
س2. \(x\in[-2;3]\Rightarrow 2x-1\in[-5;5]\)، ثمّ \((2x-1)^2=4x^2-4x+1\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(-2\le x\le3\) و \(-\tfrac52\le y\le-1\). بالجمع: \(-\dfrac92\le x+y\le2\). وبما أنّ \(1\le -y\le\tfrac52\) فإنّ \(-1\le x-y\le\dfrac{11}{2}\).
س2. \(2x-1\in[-5;5]\Rightarrow(2x-1)^2\in[0;25]\). ومنه \(0\le4x^2-4x+1\le25\Rightarrow-1\le4x^2-4x\le24\Rightarrow-\dfrac14\le x^2-x\le6\).
س3. \(I\cap J=[-2;-1]\) و \(I\cup J=\left[-\dfrac52;3\right]\). و \(-\dfrac{\sqrt7}{2}\approx-1.32\) يحقّق \(-2\le-\dfrac{\sqrt7}{2}\le-1\) (لأنّ \(4\le7\le16\)) فهو ينتمي إلى \(I\cap J\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س2. \(-\dfrac92\le x+y\le2\)، \(-1\le x-y\le\dfrac{11}{2}\)، \(-\dfrac14\le x^2-x\le6\).
س3. \(I\cap J=[-2;-1]\)، \(I\cup J=[-\tfrac52;3]\) و \(-\dfrac{\sqrt7}{2}\in I\cap J\). ✓
التمرين 5
القيمة المطلقة والحصر

📝 نصّ التمرين

لتكن \(x\) عددًا حقيقيًّا حيث \(-5<3x-5<-2\).

  1. بيّن أنّ \(x\) تنتمي إلى المجال \(\,]0;1[\,\).
  2. لتكن العبارة \(A=|3x-5|-|x-4|\). أ- اختصر العبارة \(A\). ب- استنتج أنّ \(|A|<1\).
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. أضف \(5\) ثمّ اقسم على \(3\).
س2. على المجال \(]0;1[\): \(3x-5<0\) و \(x-4<0\) فارفع القيمتين المطلقتين حسب الإشارة.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(-5<3x-5<-2\Rightarrow0<3x<3\Rightarrow0 إذن \(x\in\,]0;1[\).
س2. \(3x-5<0\Rightarrow|3x-5|=5-3x\) و \(x-4<0\Rightarrow|x-4|=4-x\)، إذن \(A=(5-3x)-(4-x)=1-2x\). وبما أنّ \(0 فإنّ \(-1<1-2x<1\) أي \(|A|<1\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س2. \(x\in\,]0;1[\)، \(A=1-2x\) و \(|A|<1\). ✓
التمرين 6
الهندسة الفضائية — موشور قائم

📝 نصّ التمرين

\(ABCDEFGH\) موشور مستقيم قائم قاعدتاه شبه المنحرف \(ABCD\) ذو القاعدتين \([BC]\) و \([AD]\)، بحيث \(BC=CD\)، و \(I\) نقطة من \([BC]\) حيث \(IC=\dfrac{AD}{2}\)، و \((AI)\) يقطع \((CD)\) في \(M\).

  1. بيّن أنّ \((BF)\perp(ABC)\).
  2. استنتج أنّ \((BF)\perp(MB)\).
  3. بيّن أنّ \(H\in(FBD)\).
  4. بيّن أنّ \(C\) منتصف \([MD]\).
  5. استنتج أنّ المثلث \(MBD\) قائم الزاوية في \(B\).
  6. بيّن أنّ \((BM)\) و \((BH)\) متعامدان.
  7. لتكن \(N\) منتصف \([MH]\). بيّن أنّ المثلث \(NBD\) متقايس الضلعين.
AB CD EF GH I
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1–س3. في الموشور القائم الأحرف الجانبية عمودية على القاعدة. ولإثبات \(H\in(FBD)\) لاحظ أنّ \((BF)//(DH)\).
س4. بما أنّ \((IC)//(AD)\) و \(IC=\dfrac{AD}{2}\) استعمل طاليس في التقاطع \(M=(AI)\cap(CD)\).
س5. \(CB=CD=CM\) ⇐ \(C\) مركز دائرة قطرها \([MD]\) تمرّ بـ\(B\).
س7. المثلث \(MBH\) قائم في \(B\)، و \(N\) منتصف الوتر.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1–س2. \([BF]\) حرف جانبي في موشور قائم فهو \(\perp(ABC)\). وبما أنّ \((MB)\subset(ABC)\) فإنّ \((BF)\perp(MB)\).
س3. \((BF)//(DH)\) (حرفان جانبيّان)، فالمستوي \((FBD)\) يحوي الاتجاه \((BF)\) والنقطة \(D\)، ومنه يحوي المستقيم العمودي على القاعدة المارّ من \(D\) أي \((DH)\)، فـ\(H\in(FBD)\).
س4. \((IC)//(AD)\) ومن طاليس: \(\dfrac{MC}{MD}=\dfrac{IC}{AD}=\dfrac12\)، إذن \(MD=2MC\) فـ\(C\) منتصف \([MD]\).
س5. \(CM=CD\) (لأنّ \(C\) منتصف \([MD]\)) و \(CD=CB\)، إذن \(CB=CM=CD=\dfrac{MD}{2}\) فـ\(B\) على الدائرة التي قطرها \([MD]\)، ومنه \(\widehat{MBD}=90^\circ\).
س6. \((BM)\perp(BD)\) (من س5) و \((BM)\perp(BF)\) (من س2)، إذن \((BM)\perp(BDF)\)، وبما أنّ \((BH)\subset(FBD)\) فإنّ \((BM)\perp(BH)\).
س7. المثلث \(MBH\) قائم في \(B\) و \(N\) منتصف وتره \([MH]\) فـ\(NB=\dfrac{MH}{2}\). وبالإحداثيات (\(B\) أصلًا، \((BD),(BM)\) والاتجاه الرأسي محاور) نجد \(NB=ND\)، فالمثلث \(NBD\) متقايس الضلعين.

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س4. \((BF)\perp(ABC)\) و \((BF)\perp(MB)\)؛ \(H\in(FBD)\)؛ \(C\) منتصف \([MD]\).
س5–س7. \(MBD\) قائم في \(B\)؛ \((BM)\perp(BH)\)؛ \(NBD\) متقايس الضلعين (\(NB=ND\)). ✓
التمرين 7
العبارة الجبرية والمساحات

📝 نصّ التمرين

I- لتكن العبارة \(M=3x^2-2x-5\) حيث \(x\in\mathbb{R}\).
  1. أ- أحسب \(M\) إذا كان \(x=\dfrac53\). ب- بيّن أنّ \(M=3(x^2-1)-2(x+1)\). ج- استنتج تفكيكًا للعبارة \(M\). د- أوجد \(x\) إذا كان \(3x^2-2x-5=0\).
II- يمثّل الرسم مثلثًا \(ECD\) متقايس الأضلاع طول ضلعه \(2x\) وشبه منحرف \(ABCD\) قاعدتاه \(AB=5\) و \(DC=2x\) وارتفاعه \(BC=2\) (وحدة القيس \(cm\)، \(x\in\mathbb{R}_+^*\)). نعتبر \(S_1\) مساحة شبه المنحرف \(ABCD\) و \(S_2\) مساحة المثلث \(ECD\). أوجد \(x\) إذا علمت أنّ \(S_1=\sqrt3\,S_2\).
ملاحظة أمانة: كُتب في المصدر «\(ABCD\) مستطيل» ثمّ «مساحة شبه المنحرف \(ABCD\)»؛ ولاتّساق المعطيات مع القسم I اعتُمد أنّ \(ABCD\) شبه منحرف قاعدتاه \(5\) و \(2x\) وارتفاعه \(2\).
AB CD E AB=5 DC=2x 2 2x
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

I. \(3(x^2-1)-2(x+1)=3(x-1)(x+1)-2(x+1)=(x+1)(3x-5)\).
II. \(S_1=\dfrac{(AB+DC)\times h}{2}\) و \(S_2=\dfrac{\sqrt3}{4}(2x)^2\)؛ عوّض في \(S_1=\sqrt3\,S_2\) فتظهر عبارة القسم I.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

I. \(M\left(\tfrac53\right)=3\cdot\tfrac{25}{9}-2\cdot\tfrac53-5=0\). و \(3(x^2-1)-2(x+1)=3x^2-2x-5=M\). ومنه التفكيك \(M=(x+1)(3x-5)\)، والحلول \(3x^2-2x-5=0\Leftrightarrow x=-1\ \text{أو}\ x=\dfrac53\).
II. \(S_1=\dfrac{(5+2x)\times2}{2}=5+2x\) و \(S_2=\dfrac{\sqrt3}{4}(2x)^2=\sqrt3\,x^2\). من \(S_1=\sqrt3\,S_2\): \(5+2x=\sqrt3\cdot\sqrt3\,x^2=3x^2\) أي \(3x^2-2x-5=0\)، فـ\(x=\dfrac53\) (موجب).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

I. \(M=(x+1)(3x-5)\)، الحلول \(-1\) و \(\dfrac53\).
II. \(x=\dfrac53\). ✓
التمرين 8
المثلث القائم والمربّع (براهم وعفاس)

📝 نصّ التمرين

(وحدة القيس هي الصنتمتر) في الرسم المرافق \(ABC\) مثلث قائم في \(A\) بحيث \(AB=8\) و \(AC=4\)، و \(T\) نقطة من \([AC]\) و \(M\) نقطة من \([BA]\) حيث \(MATH\) مربّع. المستقيم \((HT)\) يقطع \([BC]\) في \(E\). ليكن \(x\) عددًا حقيقيًّا حيث \(x\in[0;4[\) و \(AT=x\).

  1. أ- بيّن أنّ \(TE=2(4-x)\). ب- لتكن \(S\) مساحة المربّع \(MATH\) و \(S'\) مساحة المثلث \(CTE\). جد \(x\) في حالة \(S=\dfrac14 S'\). ج- استنتج في هذه الحالة إحداثيات \(T\) و \(H\) في المعيّن \((A;C;M)\).
  2. لتكن \(S_b\) المساحة المشطوبة أي \(S_b=S+S'\). أ- بيّن أنّ \(S_b=2(x-2)^2+8\). ب- استنتج أنّ \(S_b\ge8\). ج- إلى أيّ مجال ينتمي \(x\) إذا كان \(S_b\le12\).
  3. جد \(x\) لكي يصبح الرباعي \(HCEA\) معيّنًا.
ملاحظة أمانة: في المصدر كُتب «مساحة المربّع \(CTE\)» والمقصود مساحة المثلث \(CTE\) (القائم في \(T\)). والسؤال 3: مع مواضع النقاط في الشكل (\(H(x;x),C(0;4),E(8-2x;x),A(0;0)\)) لا تُشكّل هذه النقاط متوازي أضلاع لأيّة قيمة، فالشرط كما هو غير محقّق تمامًا؛ نُقل كما ورد، والمنهجية أدناه توضّح تكافؤ الأضلاع.
ABC AB=8AC=4 M T H MATH
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

الإحداثيات. ضع \(A(0;0),B(8;0),C(0;4)\)؛ عندئذٍ \(T(0;x),M(x;0),H(x;x)\).
س1. \((HT)\) أفقي \((y=x)\) ويقطع \((BC)\) في \(E(8-2x;x)\).
س2. \(S=x^2\) و \(S'=(4-x)^2\)؛ جمّعهما لتظهر الصيغة القانونية.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1-أ. \(E(8-2x;x)\) و \(T(0;x)\)، إذن \(TE=|8-2x|=2(4-x)\) (لأنّ \(x<4\)).
س1-ب. \(S=x^2\) و \(S'=\dfrac{CT\cdot TE}{2}=\dfrac{(4-x)\cdot2(4-x)}{2}=(4-x)^2\). من \(S=\dfrac14 S'\): \(x^2=\dfrac{(4-x)^2}{4}\Rightarrow2x=4-x\Rightarrow x=\dfrac43\).
س1-ج. في هذه الحالة \(x=\tfrac43\) و \(AC=4,AM=\tfrac43\)؛ في المعيّن \((A;C;M)\) نجد \(T\left(\dfrac13;0\right)\) و \(H\left(\dfrac13;1\right)\).
س2. \(S_b=x^2+(4-x)^2=2x^2-8x+16=2(x-2)^2+8\). وبما أنّ \((x-2)^2\ge0\) فإنّ \(S_b\ge8\). و \(S_b\le12\Leftrightarrow(x-2)^2\le2\Leftrightarrow x\in[2-\sqrt2\,;\,2+\sqrt2]\).
س3. شرط المعيّن هو تساوي الأضلاع الأربعة. بحساب \(AH=x\sqrt2\) و \(AE=\sqrt{(8-2x)^2+x^2}\): يعطي \(AH=AE\) القيمة \(x=\dfrac83\)؛ لكنّ تكافؤ بقيّة الأضلاع مع مواضع النقاط في الشكل غير متحقّق تمامًا (انظر ملاحظة الأمانة).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. \(TE=2(4-x)\)؛ \(x=\dfrac43\)؛ \(T\left(\tfrac13;0\right),H\left(\tfrac13;1\right)\).
س2. \(S_b=2(x-2)^2+8\ge8\)؛ و \(S_b\le12\Rightarrow x\in[2-\sqrt2;2+\sqrt2]\). ✓
→ الموضوع السابق (Brevet04) 🏠 القائمة الموضوع التالي (Brevet06) ←