فرض تأليفي — الرياضيات

📚 السنة التاسعة أساسي⏱ المدّة: ساعتان📝 المصدر: Brevet04 (الحصة رقم 4)
التمرين 1
العبارات الجبرية ومبرهنة طاليس

📝 نصّ التمرين

نعتبر العبارة \(M=x^2+4x-32\) حيث \(x\in\mathbb{R}\).

  1. أحسب \(M\) إذا علمت أنّ \(x=\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\).
  2. بيّن أنّ \(M+36=(x+2)^2\).
  3. استنتج تفكيك العبارة \(M\) إلى جداء عوامل.
  4. (وحدة القيس هي الصنتمتر) في الشكل المقابل \(ABCD\) شبه منحرف قاعدتاه \([AB]\) و \([CD]\)، و \(I\) نقطة من \([BC]\) و \(J\) نقطة من \([AD]\) حيث \(IB=JD=x\) و \(BC=8\) و \(AJ=4\) و \((IJ)//(CD)\) و \(x\) عدد حقيقي موجب.
    • أ- بيّن أنّ \(\dfrac{BI}{BC}=\dfrac{AJ}{AD}\).
    • ب- استنتج أنّ \(I\) منتصف \([BC]\) و \(J\) منتصف \([AD]\).
    • ج- لتكن \(S\) مساحة شبه المنحرف \(ABCD\) و \(h\) قيس ارتفاعه. بيّن أنّ \(S=IJ\times h\) ثمّ أحسبها.
ملاحظة أمانة: طولا القاعدتين \(AB\) و \(CD\) غير مُعطَيَيْن رقميًّا في المصدر، فالبرهان يُثبت \(S=IJ\times h\)، والقيمة العددية تُحسب من قيسَي القاعدتين (أو \(IJ\)) والارتفاع \(h\) المأخوذة من الشكل.
AB CD 4x x8
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1–س3. عوّض قيمة \(x\) وبسّط، ثمّ لاحظ أنّ \(M+36\) مربّع كامل، فينتج التفكيك بفرق مربّعين.
س4-أ. بما أنّ \((IJ)//(CD)//(AB)\) فالنقطتان \(I,J\) تقسمان الساقين بنفس النسبة (مبرهنة طاليس).
س4-ب. النسبة \(\dfrac{BI}{BC}=\dfrac{AJ}{AD}\) تُعطي معادلة في \(x\) هي نفسها \(M=0\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(x^2=\left(\sqrt{2}-\tfrac12\right)^2=\tfrac94-\sqrt2\) و \(4x=4\sqrt2-2\)، إذن \(M=\tfrac94-\sqrt2+4\sqrt2-2-32=3\sqrt2-\dfrac{127}{4}\).
س2–س3. \((x+2)^2=x^2+4x+4=M+36\). إذن \(M=(x+2)^2-36=(x+2-6)(x+2+6)=(x-4)(x+8)\).
س4-أ,ب. \(AD=AJ+JD=4+x\) و \(BC=8\). من \(\dfrac{BI}{BC}=\dfrac{AJ}{AD}\): \(\dfrac{x}{8}=\dfrac{4}{4+x}\Rightarrow x(4+x)=32\Rightarrow x^2+4x-32=0\) أي \((x-4)(x+8)=0\)، ومنه \(x=4\) (موجب). عندئذٍ \(BI=4=\tfrac12 BC\) و \(AJ=4=\tfrac12 AD\) فـ\(I,J\) منتصفان.
س4-ج. بما أنّ \([IJ]\) القطعة المتوسّطة، فطولها \(IJ=\dfrac{AB+CD}{2}\)، ومساحة شبه المنحرف \(S=\dfrac{(AB+CD)\times h}{2}=IJ\times h\). (القيمة العددية تُحسب بعد أخذ \(IJ\) و \(h\) من الشكل.)

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س3. \(M=3\sqrt2-\dfrac{127}{4}\)؛ \(M+36=(x+2)^2\) و \(M=(x-4)(x+8)\).
س4. \(x=4\)، \(I,J\) منتصفان، و \(S=IJ\times h\). ✓
التمرين 2
الهندسة التحليلية في معيّن متعامد

📝 نصّ التمرين

المستوي منسوب إلى معيّن متعامد \((O,I,J)\) حيث \(OI=OJ=1\,cm\)، ونعتبر النقاط \(W(3+\sqrt5;-2)\)، \(R(1-\sqrt5;0)\) و \(S(3+\sqrt5;0)\).

  1. ارسم هذه النقاط ثمّ أحسب \(SR\) و \(OR\).
  2. لتكن \(H\) نقطة تقاطع \((RJ)\) و \((SW)\). بيّن أنّ \(\widehat{HOS}=45^\circ\).
  3. نعتبر النقاط \(C(7;-2)\)، \(D(1;-2)\)، \(A(2;1)\)، \(B(6;1)\) و \(T\) منتصف \([AB]\).
    • أ- أحسب \(AB\) و \(CD\).   ب- بيّن أنّ \((AB)//(CD)\).
    • ت- لتكن \(M\) نقطة تقاطع \((BC)\) و \((AD)\). بيّن أنّ \(3AM=2DM\).
    • ث- لتكن \(N\) مناظرة \(M\) بالنسبة إلى \(T\) و \(P\) مناظرة \(N\) بالنسبة إلى \(D\). بيّن أنّ \(A\) هي مركز ثقل المثلث \(MNP\).
    • ج- بيّن أنّ \(A\) منتصف \([PB]\).
  4. لتكن \(E\) من \([PM]\) بحيث \(AE=AB\) (\(P\neq E\)). المستقيم العمودي على \((AB)\) والمارّ من \(D\) يقطع \((BE)\) في \(F\). بيّن أنّ \((TF)\) و \((BD)\) متعامدان.
IJ O AB CD T
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1–س2. \((SW)\) عموديّ (نفس الفاصلة \(3+\sqrt5\))؛ أوجد معادلة \((RJ)\) ثمّ تقاطعهما \(H\)، ولاحظ اتجاه \((OH)\).
س3. استعمل الإحداثيات: \((AB)//(CD)\) لأنّهما أفقيّان؛ والتقاطع والمناظرات بالحساب الشعاعي.
س4. مركز الثقل \(=\dfrac{M+N+P}{3}\)؛ والتعامد بجداء سلّمي معدوم.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(SR=|(3+\sqrt5)-(1-\sqrt5)|=2+2\sqrt5\)، و \(OR=|1-\sqrt5|=\sqrt5-1\).
س2. \((SW):x=3+\sqrt5\) و \((RJ):y=\dfrac{\sqrt5+1}{4}\,x+1\)، فتقاطعهما \(H(3+\sqrt5\,;\,3+\sqrt5)\). بما أنّ \(x_H=y_H>0\) فإنّ \((OH)\) منصّف الربع الأوّل و \((OS)\) على محور الفواصل، إذن \(\widehat{HOS}=45^\circ\).
س3-أ,ب. \(AB=4\)، \(CD=6\)؛ و \(A,B\) لهما نفس الترتيبة و \(C,D\) كذلك، إذن \((AB)//(CD)\).
س3-ت. بحلّ جملة \((BC)\cap(AD)\) نجد \(M(4;7)\)، ومنه \(AM=2\sqrt{10}\) و \(DM=3\sqrt{10}\) فـ\(3AM=2DM=6\sqrt{10}\).
س3-ث,ج. \(N=2T-M=(4;-5)\)، \(P=2D-N=(-2;1)\). مركز ثقل \(MNP=\dfrac{M+N+P}{3}=(2;1)=A\). و \(\dfrac{P+B}{2}=(2;1)=A\) فـ\(A\) منتصف \([PB]\).
س4. \(E(2;5)\) (إذ \(AE=4\))، والعمودي على \((AB)\) من \(D\) هو \(x=1\) فيقطع \((BE)\) في \(F(1;6)\). عندئذٍ \(\vec{TF}\cdot\vec{BD}=(-3)(-5)+(5)(-3)=0\) فـ\((TF)\perp(BD)\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س2. \(SR=2+2\sqrt5\)، \(OR=\sqrt5-1\)، \(H(3+\sqrt5;3+\sqrt5)\) و \(\widehat{HOS}=45^\circ\).
س3. \(AB=4,\ CD=6\)، \(M(4;7)\)، \(3AM=2DM\)، \(A\) مركز ثقل \(MNP\) ومنتصف \([PB]\).
س4. \(F(1;6)\) و \((TF)\perp(BD)\). ✓
التمرين 3
العمليات في ℝ — العدد الذهبي

📝 نصّ التمرين

نعتبر العبارات التالية: \(c=(3-\sqrt5)^2\)، \(b=\dfrac{5-\sqrt5}{2\sqrt5}\) و \(a=\dfrac{3}{2}\sqrt{20}-\dfrac{5}{6}\sqrt{45}+\dfrac{1}{2}\).

  1. بيّن أنّ \(c=14-6\sqrt5\) و \(b=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\) و \(a=\dfrac{\sqrt5+1}{2}\).
  2. بيّن أنّ \(a\) هو مقلوب \(b\).
  3. استنتج أنّ \(\left(\dfrac{a}{b}+a\right)\left(\dfrac{a}{b}-b\right)=a^4+a^3-a-1\).
  4. ليكن \(x\) عددًا حقيقيًّا سالبًا. اختصر العبارة \(M=\sqrt{14-6\sqrt5}+\sqrt{(2-x)^2}\).
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. بسّط \(\sqrt{20}=2\sqrt5\) و \(\sqrt{45}=3\sqrt5\)، ونسّب مقام \(b\).
س2–س3. \(a\) هو النسبة الذهبية: يحقّق \(a^2=a+1\)؛ استعمل ذلك لتبسيط الجداء.
س4. \(14-6\sqrt5=(3-\sqrt5)^2\) و \(\sqrt{(2-x)^2}=|2-x|\)؛ استعمل إشارة \(x\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(c=(3-\sqrt5)^2=9-6\sqrt5+5=14-6\sqrt5\)؛ \(b=\dfrac{5-\sqrt5}{2\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5(\sqrt5-1)}{2\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\)؛ \(a=3\sqrt5-\dfrac{5}{6}\cdot3\sqrt5+\dfrac12=3\sqrt5-\dfrac{5\sqrt5}{2}+\dfrac12=\dfrac{\sqrt5+1}{2}\).
س2. \(a\cdot b=\dfrac{(\sqrt5+1)(\sqrt5-1)}{4}=\dfrac{5-1}{4}=1\) إذن \(a=\dfrac1b\).
س3. بما أنّ \(a=\tfrac1b\) فإنّ \(\dfrac{a}{b}=a^2\)، و \(a^2=a+1\). إذن \(\left(a^2+a\right)\left(a^2-b\right)=(2+\sqrt5)(2)=4+2\sqrt5\)، وهو نفسه \(a^4+a^3-a-1=4+2\sqrt5\).
س4. \(\sqrt{14-6\sqrt5}=|3-\sqrt5|=3-\sqrt5\)، و \(x<0\Rightarrow 2-x>0\Rightarrow\sqrt{(2-x)^2}=2-x\). إذن \(M=(3-\sqrt5)+(2-x)=5-\sqrt5-x\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س2. \(c=14-6\sqrt5\)، \(b=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\)، \(a=\dfrac{\sqrt5+1}{2}\) و \(ab=1\).
س3–س4. \(\left(\dfrac{a}{b}+a\right)\left(\dfrac{a}{b}-b\right)=a^4+a^3-a-1=4+2\sqrt5\)؛ و \(M=5-\sqrt5-x\). ✓
التمرين 4
العمليات في ℝ — حصر ومقارنة

📝 نصّ التمرين

نعتبر العددين \(a=4+\dfrac{2}{\sqrt5-1}-\dfrac{(1+\sqrt5)^2}{2}\) و \(b=\dfrac{\sqrt{27}+\sqrt{15}}{\sqrt{12}}\).

  1. أثبت أنّ \(a=\dfrac{3-\sqrt5}{2}\) و \(b=\dfrac{3+\sqrt5}{2}\).
  2. أ- بيّن أنّ \(\sqrt5\in[2;3]\). ب- استنتج أنّ \(0\le a\le\dfrac12\) و \(\dfrac52\le b\le 3\). ت- أحسب العبارة \(E=\left|a-\dfrac12\right|+\left|b-\dfrac52\right|\).
  3. رتّب تصاعديًّا الأعداد \(1\) و \(a^2\) و \(b^2\).
  4. أ- بيّن أنّ \(2b=(7+3\sqrt5)a\). ب- استنتج أنّ \(b^2-\dfrac{3\sqrt5}{2}\in\mathbb{Q}\).
  5. في الرسم المقابل \(ABC\) مثلث بحيث \(AB=1\) و \(AC=\dfrac12\)، و \((\mathcal{C})\) الدائرة المحيطة به، و \((\mathcal{C}')\) الدائرة التي مركزها \(B\) وشعاعها \(BD=\dfrac32\)، و \(ACD\) مثلث قائم الزاوية في \(C\) حيث \(EC=1\) و \(E\in(\mathcal{C})\). أ- بيّن أنّ \(DC=a\). ب- بيّن أنّ المثلث \(EFD\) قائم الزاوية. ج- استنتج أنّ \(CF=b\).
ملاحظة أمانة: السؤال 5 (تطبيق هندسي) يعتمد على الشكل المرفق بالمصدر لتحديد مواضع النقاط \(D,E,F\) بدقّة؛ نُقل النصّ كما ورد، والإصلاح أدناه يوضّح المنهجية والعلاقات المِترية المؤدّية إلى \(DC=a\) و \(CF=b\).
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. نسّب \(\dfrac{2}{\sqrt5-1}\) وانشر \((1+\sqrt5)^2\)؛ وبسّط \(\sqrt{27},\sqrt{15},\sqrt{12}\).
س2. من \(2\le\sqrt5\le3\) نحصر \(a\) و \(b\)، ثمّ نرفع القيمة المطلقة حسب الإشارة.
س5. استعمل أنّ \(ACD\) قائم في \(C\) والعلاقات المِترية والزاوية القائمة المحيطية في \((\mathcal{C})\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(\dfrac{2}{\sqrt5-1}=\dfrac{2(\sqrt5+1)}{4}=\dfrac{\sqrt5+1}{2}\) و \((1+\sqrt5)^2=6+2\sqrt5\). إذن \(a=4+\dfrac{\sqrt5+1}{2}-(3+\sqrt5)=\dfrac{3-\sqrt5}{2}\). و \(b=\dfrac{3\sqrt3+\sqrt{15}}{2\sqrt3}=\dfrac32+\dfrac{\sqrt5}{2}=\dfrac{3+\sqrt5}{2}\).
س2. \(4<5<9\Rightarrow 2<\sqrt5<3\). ومنه \(a=\dfrac{3-\sqrt5}{2}\in[0;\tfrac12]\) و \(b=\dfrac{3+\sqrt5}{2}\in[\tfrac52;3]\). و \(a-\tfrac12=\dfrac{2-\sqrt5}{2}<0\)، \(b-\tfrac52=\dfrac{\sqrt5-2}{2}>0\)، إذن \(E=\dfrac{\sqrt5-2}{2}+\dfrac{\sqrt5-2}{2}=\sqrt5-2\).
س3. \(a^2\approx0.15<1، إذن \(a^2<1.
س4. \((7+3\sqrt5)a=(7+3\sqrt5)\dfrac{3-\sqrt5}{2}=\dfrac{6+2\sqrt5}{2}=3+\sqrt5=2b\). و \(b^2=\dfrac{7+3\sqrt5}{2}\)، إذن \(b^2-\dfrac{3\sqrt5}{2}=\dfrac72\in\mathbb{Q}\).
س5. في المثلث \(ACD\) القائم في \(C\) نستعمل \(AC=\tfrac12\) و \(BD=\tfrac32\) فنحصل على \(DC=a=\dfrac{3-\sqrt5}{2}\)؛ ثمّ الزاوية المحيطية في \((\mathcal{C})\) تجعل \(EFD\) قائمًا، ومنه بالعلاقة المِترية \(CF=b=\dfrac{3+\sqrt5}{2}\). (تُستكمل التفاصيل اعتمادًا على الشكل.)

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س2. \(a=\dfrac{3-\sqrt5}{2}\)، \(b=\dfrac{3+\sqrt5}{2}\)، \(E=\sqrt5-2\).
س3–س4. \(a^2<1؛ \(2b=(7+3\sqrt5)a\) و \(b^2-\dfrac{3\sqrt5}{2}=\dfrac72\).
س5. \(DC=a\) و \(CF=b\) (تطبيق هندسي على الشكل). ✓
التمرين 5
المثلثات — المعيّن والمركز القائم

📝 نصّ التمرين

(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر) نعتبر مثلثًا \(ACD\) قائمًا في \(C\) و \(B\) منتصف \([AD]\) حيث \(AC=6\) و \(\widehat{DAC}=60^\circ\).

  1. بيّن أنّ المثلث \(ABC\) متقايس الأضلاع.
  2. لتكن \(I\) المسقط العمودي للنقطة \(B\) على \((AC)\) و \(G\) نقطة من \([BC]\) بحيث \(BG=2\). بيّن أنّ النقاط \(D\) و \(G\) و \(I\) على استقامة واحدة.
  3. لتكن \(J\) منتصف \([AB]\) و \(H\) مناظرة \(C\) بالنسبة إلى \(J\). أ- بيّن أنّ الرباعي \(ACBH\) معيّن. ب- أحسب \(CH\). ج- بيّن أنّ \(B\) المركز القائم للمثلث \(CDH\).
  4. الدائرة \((\mathcal{C}')\) التي قطرها \([BD]\) تقطع \((DH)\) في نقطة ثانية \(K\). بيّن أنّ النقاط \(B\) و \(C\) و \(K\) على استقامة واحدة.
  5. المستقيم المارّ من \(D\) والعمودي على \((HD)\) يقطع \((CH)\) في \(E\). أحسب \(CE\).
CAD B AC=6 60°
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. في المثلث القائم \(ACD\): \(AD=\dfrac{AC}{\cos60^\circ}=12\) فـ\(AB=6=AC\) والزاوية \(60^\circ\).
س2. استعمل الإحداثيات \(C(0;0),A(6;0),D(0;6\sqrt3)\) للتأكّد من الاستقامة.
س3. المعيّن: كلّ الأضلاع متساوية؛ والمركز القائم بتعامد ضلعين مع الارتفاعين.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(AD=\dfrac{6}{\cos60^\circ}=12\) إذن \(AB=\dfrac{AD}{2}=6\). وبما أنّ \(AB=AC=6\) و \(\widehat{BAC}=60^\circ\) فالمثلث \(ABC\) متقايس الأضلاع (\(BC=6\)).
س2. بوضع \(C(0;0),A(6;0),D(0;6\sqrt3)\): \(B(3;3\sqrt3)\)، \(I(3;0)\) (مسقط \(B\))، و \(G=B+\tfrac13(C-B)=(2;2\sqrt3)\). ثمّ \(\vec{DG}=(2;-4\sqrt3)\) و \(\vec{DI}=(3;-6\sqrt3)=\tfrac32\vec{DG}\) فالنقاط \(D,G,I\) على استقامة واحدة.
س3. \(H=2J-C=(9;3\sqrt3)\). أضلاع \(ACBH\): \(AC=CB=BH=HA=6\) فهو معيّن. و \(CH=\sqrt{81+27}=6\sqrt3\). ولأنّ \(\vec{CB}\cdot\vec{DH}=0\) و \(\vec{DB}\cdot\vec{CH}=0\) فـ\(B\) المركز القائم للمثلث \(CDH\).
س4. \(K\in(\mathcal{C}')\Rightarrow\widehat{BKD}=90^\circ\Rightarrow(BK)\perp(DH)\). وأيضًا \((CB)\perp(DH)\)، فالمستقيمان \((BK)\) و \((CB)\) يمرّان من \(B\) وعموديّان على \((DH)\) فينطبقان، ومنه \(B,C,K\) على استقامة واحدة.
س5. بحلّ تقاطع العمودي على \((HD)\) من \(D\) مع \((CH)\) نجد \(E(-9;-3\sqrt3)\)، ومنه \(CE=\sqrt{81+27}=6\sqrt3\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س2. \(ABC\) متقايس الأضلاع (\(6\))؛ \(D,G,I\) على استقامة واحدة.
س3–س4. \(ACBH\) معيّن، \(CH=6\sqrt3\)، \(B\) المركز القائم لـ\(CDH\)؛ \(B,C,K\) على استقامة واحدة.
س5. \(CE=6\sqrt3\). ✓
التمرين 6
الهندسة الفضائية — الهرم

📝 نصّ التمرين

\(SABCD\) هرم قاعدته المربّع \(ABCD\) بحيث \(AB=AS=4\) و \((AS)\perp(ABC)\)، و \(I\) منتصف \([CD]\).

  1. بيّن أنّ المثلث \(ABS\) قائم في \(A\).
  2. بيّن أنّ \(SBD\) مثلث متقايس الأضلاع.
  3. لتكن \(O\) منتصف \([AC]\). بيّن أنّ \((BD)\perp(ASC)\).
  4. لتكن \(K\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((OS)\). أحسب \(BK\).
  5. \(\Delta\) هو المستقيم المارّ من \(O\) والعمودي على \((ABC)\). بيّن أنّ \(\Delta\subset(ASC)\).
  6. \(\Delta\) يقطع \((SC)\) في \(M\). أ- بيّن أنّ الهرم \(MABCD\) منتظم. ب- أحسب حجم الهرم \(MABCD\).
S AB CD 44
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

الإحداثيات. ضع \(A(0;0;0),B(4;0;0),C(4;4;0),D(0;4;0),S(0;0;4)\).
س1–س3. \((AS)\perp(ABC)\) يعطي تعامدات مباشرة؛ للتعامد مع مستوٍ يكفي التعامد مع مستقيمين منه.
س6. الهرم منتظم إذا كان رأسه فوق مركز القاعدة؛ الحجم \(=\tfrac13\times\text{المساحة}\times\text{الارتفاع}\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(\vec{AB}\cdot\vec{AS}=(4,0,0)\cdot(0,0,4)=0\) فالمثلث \(ABS\) قائم في \(A\).
س2. \(SB=SD=BD=4\sqrt2\) فالمثلث \(SBD\) متقايس الأضلاع.
س3. \(\vec{BD}=(-4,4,0)\): \(\vec{BD}\cdot\vec{AS}=0\) و \(\vec{BD}\cdot\vec{AC}=0\)، إذن \((BD)\perp(ASC)\).
س4. \(O(2;2;0)\)، ومسقط \(A\) على \((OS)\) هو \(K\left(\tfrac43;\tfrac43;\tfrac43\right)\)، ومنه \(BK=\sqrt{\left(\tfrac83\right)^2+\left(\tfrac43\right)^2+\left(\tfrac43\right)^2}=\dfrac{4\sqrt6}{3}\).
س5. مستوي \((ASC)\) معادلته \(-x+y=0\)، والنقاط \((2;2;z)\) من \(\Delta\) تحقّقها، إذن \(\Delta\subset(ASC)\).
س6. \(\Delta\cap(SC)=M(2;2;2)\) فوق مركز القاعدة \(O\) على ارتفاع \(2\)، و \(MA=MB=MC=MD=2\sqrt3\) فالهرم \(MABCD\) منتظم. حجمه \(V=\dfrac13\times 4^2\times 2=\dfrac{32}{3}\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س3. \(ABS\) قائم في \(A\)، \(SBD\) متقايس الأضلاع (\(4\sqrt2\))، \((BD)\perp(ASC)\).
س4–س5. \(BK=\dfrac{4\sqrt6}{3}\)؛ \(\Delta\subset(ASC)\).
س6. \(MABCD\) منتظم وحجمه \(\dfrac{32}{3}\). ✓
→ الموضوع السابق (Brevet03) 🏠 القائمة الموضوع التالي (Brevet05) ←