📚 السنة التاسعة أساسي⏱ المدّة: ساعتان📝 المصدر: Brevet03 (الحصة رقم 3)
التمرين 1
مبرهنة طاليس والمثلثات
📝 نصّ التمرين
\(ABC\) مثلث بحيث \(BC=6\,cm\)، \(AC=5\,cm\)، \(AB=3\,cm\). عيّن النقطة \(M\) من \([BC]\) بحيث \(BM=1\,cm\). المستقيم المارّ من \(M\) والموازي لـ \((AB)\) يقطع \((AC)\) في \(N\).
المستقيم الموازي لـ \((AB)\) والمارّ من \(C\) يقطع \((BN)\) في \(D\). المستقيمان \((MN)\) و \((AD)\) يتقاطعان في \(P\). أ- بيّن أنّ \(\dfrac{CM}{CB}=\dfrac{DP}{DA}\). ب- استنتج أنّ \(N\) هي منتصف \([MP]\) وأنّ \(MP=5\,cm\).
ابن النقطة \(R\) مناظرة \(M\) بالنسبة إلى \(B\). المستقيم المارّ من \(R\) والموازي لـ \((AB)\) يقطع \((AD)\) في \(J\). أحسب \(RJ\).
ملاحظة أمانة: السؤال 4 مكتوب في المصدر «أحسب IJ» والنقطة \(I\) غير مُعرّفة؛ المقصود \(RJ\) (نُقل كذلك).
لم تبدأ بعد
💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط
س1–س2. بما أنّ \((MN)\,//\,(AB)\) في المثلث، استعمل مبرهنة طاليس: \(\dfrac{CM}{CB}=\dfrac{CN}{CA}=\dfrac{MN}{AB}\).
س4.\(R\) مناظرة \(M\) بالنسبة إلى \(B\) يعطي \(BR=BM=1\)؛ استعمل التوازي لإيجاد \(RJ\).
📝 الخطوة 2 — التطبيق
س1.\(CM=CB-BM=6-1=5\). حسب طاليس: \(\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{CM}{CB}=\dfrac{5}{6}\) ومنه \(MN=3\times\dfrac{5}{6}=2.5\) صم.
س2.\(\dfrac{CN}{CA}=\dfrac{5}{6}\Rightarrow CN=\dfrac{25}{6}\) و \(AN=AC-CN=5-\dfrac{25}{6}=\dfrac{5}{6}\)، إذن \(\dfrac{NA}{NC}=\dfrac{5/6}{25/6}=\dfrac{1}{5}\).
س3. حسب طاليس في التكوين المعطى: \(\dfrac{DP}{DA}=\dfrac{CM}{CB}=\dfrac{5}{6}\). وبما أنّ \(P\) على \((MN)\) يوافق \(P=2N-M\)، فإنّ \(N\) منتصف \([MP]\) و \(MP=2\,MN=5\) صم.
س4. بوضع إحداثيات مناسبة (\(B\) أصلًا و \((BC)\) محورًا) نجد \(RJ=1\) صم.
س3.\(\dfrac{CM}{CB}=\dfrac{DP}{DA}=\dfrac{5}{6}\)، \(N\) منتصف \([MP]\) و \(MP=5\,cm\).
س4.\(RJ=1\,cm\). ✓
التمرين 2
الهندسة التحليلية في معيّن متعامد
📝 نصّ التمرين
ليكن \((O,I,J)\) معيّنا متعامدا للمستوي حيث \(OI=OJ=1\,cm\).
أ- عيّن النقاط التالية: \(A(2;\sqrt{2})\)، \(B(4;0)\)، \(C(2;-2)\) و \(F(0;-2)\). ب- بيّن أنّ \((AC)\perp(OI)\).
لتكن \(K\) نقطة تقاطع \((AC)\) و \((OI)\)، و \(L\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(K\). أ- أوجد إحداثيات \(K\) معلّلا جوابك. ب- استنتج أنّ \(AOLB\) معيّن. ج- أحسب مساحة \(AOLB\).
المستقيم الموازي لـ \((AC)\) والمارّ من \(B\) يقطع \((FC)\) في النّقطة \(T\). بيّن أنّ إحداثيات \(T\) هي \((4;-2)\).
حدّد مجموعة نقاط المستوي \(M(x;y)\) التي تحقّق: \(y=-2\) و \(0\le x\le 4\).
لم تبدأ بعد
💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط
س1. نقطتان لهما نفس الفاصلة يُحدّدان مستقيمًا عموديًا على محور الفواصل.
س2.\(K\in(AC)\Rightarrow x_K=2\) و \(K\in(OI)\Rightarrow y_K=0\)؛ للمعيّن استعمل تعامد وتناصف القطرين.
س3–س4. استعمل توازي المستقيمات مع المحاور.
📝 الخطوة 2 — التطبيق
س1.\(A\) و \(C\) لهما نفس الفاصلة \(2\)، إذن \((AC)\) عمودي على محور الفواصل \((OI)\).
س2.\(K(2;0)\) و \(L=2K-A=(2;-\sqrt{2})\). قطرا \(AOLB\) هما \([AL]\) (عمودي، طوله \(2\sqrt{2}\)) و \([OB]\) (أفقي، طوله \(4\))، ولهما نفس المنتصف \(K\) وهما متعامدان، إذن \(AOLB\) معيّن.
س3–س4.\(T(4;-2)\)؛ والمجموعة هي القطعة \([FT]\). ✓
التمرين 3
العمليات في ℝ — المقارنة والترتيب
📝 نصّ التمرين
نعتبر العددين الحقيقيين \(a\) و \(b\) حيث: \(a=\dfrac{5-\sqrt{24}}{\sqrt{6}}-\dfrac{18-7\sqrt{6}}{6}\) و \(b=(1+2\sqrt{8})(1-\sqrt{2})\).
بيّن أنّ \(a=2\sqrt{6}-5\) و \(b=3\sqrt{2}-7\).
بيّن أنّ \(a>b\).
استنتج مقارنة لـ \(\dfrac{5}{2-3a}\) و \(\dfrac{-5}{3b-4}\).
بيّن أنّ \(\dfrac{b}{a}>1\).
\(M\) و \(N\) نقطتان من مستقيم مدرّج بالمعيّن \((O,I)\) حيث \(OI=1\)، فاصلة \(M\) هي \(\dfrac{b}{a}\) وفاصلة \(N\) هي \(\dfrac{b^2}{a^2}\). أحسب البعد \(MN\).
س2. ادرس إشارة \(a-b\) بمقارنة \(2\sqrt{6}\) و \(3\sqrt{2}\) عبر تربيعهما.
س4–س5.\(a,b<0\) و \(b؛ استعمل ذلك. \(MN=\left|\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{b}{a}\right|\).
📝 الخطوة 2 — التطبيق
س1.\(\dfrac{5-2\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\dfrac{5\sqrt{6}}{6}-2\)، إذن \(a=\dfrac{5\sqrt{6}}{6}-2-\dfrac{18-7\sqrt{6}}{6}=\dfrac{12\sqrt{6}}{6}-5=2\sqrt{6}-5\). و \(b=(1+4\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1+3\sqrt{2}-8=3\sqrt{2}-7\).
س2.\(a-b=2\sqrt{6}-3\sqrt{2}+2\). وبما أنّ \((2\sqrt{6})^2=24>18=(3\sqrt{2})^2\) فإنّ \(2\sqrt{6}>3\sqrt{2}\)، ومنه \(a-b>0\) أي \(a>b\).
س3.\(2-3a=17-6\sqrt{6}>0\) و \(3b-4=9\sqrt{2}-25<0\). إذن \(\dfrac{5}{2-3a}>0\) و \(\dfrac{-5}{3b-4}>0\)؛ وبالحساب \(\dfrac{5}{2-3a}>\dfrac{-5}{3b-4}\).
س4.\(a<0\) و \(b-a<0\) (لأنّ \(b)، إذن \(\dfrac{b}{a}-1=\dfrac{b-a}{a}>0\)، أي \(\dfrac{b}{a}>1\).
س5. بما أنّ \(\dfrac{b}{a}>1\) فإنّ \(\dfrac{b^2}{a^2}>\dfrac{b}{a}\)، ومنه \(MN=\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{b}{a}=\dfrac{b}{a}\left(\dfrac{b}{a}-1\right)=\dfrac{b(b-a)}{a^2}\).
✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة
س1–س2.\(a=2\sqrt{6}-5\)، \(b=3\sqrt{2}-7\) و \(a>b\).
س3–س4.\(\dfrac{5}{2-3a}>\dfrac{-5}{3b-4}\) و \(\dfrac{b}{a}>1\).
س5.\(MN=\dfrac{b(b-a)}{a^2}\) (بُعد موجب). ✓
التمرين 4
العمليات في ℝ — العددان المقلوبان
📝 نصّ التمرين
نعتبر العددين \(a\) و \(b\) بحيث: \(a=\sqrt{45}+(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})-\sqrt{125}\) و \(b=\dfrac{7-3\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}\).
بيّن أنّ \(a=4-2\sqrt{5}\).
أحسب \((2-\sqrt{5})(1-\sqrt{5})\) ثمّ استنتج أنّ \(b=1-\sqrt{5}\).
أ- بيّن أنّ \(a\) و \(b\) سالبان. ب- قارن \(a^2\) و \(b^2\).
أحسب \(ab\) ثمّ استنتج مقارنة لـ \(14\) و \(6\sqrt{5}\).
بيّن أنّ \((a-b)^2=ab\) ثمّ استنتج أنّ \(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}\) هو مقلوب \(a-b\).
لم تبدأ بعد
💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط
س1–س2. بسّط الجذور واستعمل \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)؛ لاحظ أنّ بسط \(b\) يساوي جداءً من العامل \((2-\sqrt{5})\).
س3.\(a=4-2\sqrt{5}\approx-0.47<0\) و \(b=1-\sqrt{5}\approx-1.24<0\). والقيم المطلقة: \(|a|=2\sqrt{5}-4\)، \(|b|=\sqrt{5}-1\)، و \(|a|-|b|=\sqrt{5}-3<0\) إذن \(a^2.
س4.\(ab=(4-2\sqrt{5})(1-\sqrt{5})=14-6\sqrt{5}\). وبما أنّ \(a,b<0\) فإنّ \(ab>0\)، أي \(14-6\sqrt{5}>0\) ومنه \(14>6\sqrt{5}\).
س5.\(a-b=3-\sqrt{5}\) و \((a-b)^2=14-6\sqrt{5}=ab\). إذن \(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}=\dfrac{a-b}{ab}=\dfrac{a-b}{(a-b)^2}=\dfrac{1}{a-b}\).
✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة
س1–س2.\(a=4-2\sqrt{5}\) و \(b=1-\sqrt{5}\).
س3–س4.\(a,b<0\)، \(a^2، \(ab=14-6\sqrt{5}\) و \(14>6\sqrt{5}\).
س5.\((a-b)^2=ab\) و \(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}\) هو مقلوب \(a-b\). ✓
التمرين 5
التعداد والقسمة الإقليدية
📝 نصّ التمرين
I- نعتبر العدد الصحيح الطبيعي \(S\) مجموع ثلاثة أعداد فردية متتالية أصغرها العدد \(P=2k+1\) حيث \(k\) عدد صحيح طبيعي.
حدّد باقي وخارج قسمة \(S\) على \(6\).
بيّن أنّ \(S+3\) مضاعف لـ \(6\).
بيّن أنّ \(4\times S\) مضاعف لـ \(12\).
أوجد \(P\) في حالة \(S=117\) واستنتج حدود المجموع \(S\).
II- \(E\) مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية ذات ثلاثة أرقام حيث رقم مئاتها عدد أوّلي، ورقم عشراتها من الأرقام الأولية الأصغر من رقم المئات، أمّا رقم آحادها فهو باقي القسمة الإقليدية لرقم المئات على رقم العشرات.
حدّد مستعينا بشجرة الاختيار كمّ المجموعة \(E\).
من بين عناصر المجموعة \(E\) استخرج الأعداد القابلة للقسمة على \(6\) و \(15\) في نفس الوقت.
ملاحظة أمانة: صياغة تعريف رقم الآحاد في II مقتضبة في المصدر؛ اعتُمد التأويل «باقي قسمة رقم المئات على رقم العشرات».
لم تبدأ بعد
💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط
I. الأعداد الثلاثة هي \(2k+1,\ 2k+3,\ 2k+5\)؛ اجمعها ثمّ اكتب النتيجة على صيغة \(6q+r\).
II. الأرقام الأولية هي \(2,3,5,7\)؛ ابن شجرة اختيار للمئات ثمّ العشرات ثمّ احسب الآحاد.
📝 الخطوة 2 — التطبيق
I.1.\(S=(2k+1)+(2k+3)+(2k+5)=6k+9=6(k+1)+3\)، إذن الخارج \(k+1\) والباقي \(3\) (\(0\le 3<6\)).
I.2.\(S+3=6k+12=6(k+2)\) مضاعف لـ \(6\).
I.3.\(4S=4(6k+9)=24k+36=12(2k+3)\) مضاعف لـ \(12\).
I.4.\(6k+9=117\Rightarrow k=18\Rightarrow P=37\)، والحدود هي \(37,\ 39,\ 41\).
II.1. بشجرة الاختيار (مئات أوّلية، عشرات أوّلية أصغر، آحاد = باقي القسمة): العناصر هي \(321,\ 521,\ 532,\ 721,\ 731,\ 752\)، إذن \(\text{Card}(E)=6\).
II.2. القابل للقسمة على \(6\) و \(15\) معًا يعني القابل للقسمة على \(30\) (ينتهي بـ\(0\)): لا يوجد أيّ عنصر من \(E\) يحقّق ذلك.
✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة
I. باقي \(S\) على \(6\) هو \(3\)؛ \(S+3\) مضاعف لـ\(6\)؛ \(4S\) مضاعف لـ\(12\)؛ \(P=37\) والحدود \(37+39+41=117\) ✓.
II.\(\text{Card}(E)=6\) ولا يوجد عنصر قابل للقسمة على \(6\) و \(15\) في آن واحد.
التمرين 6
الهندسة التحليلية — نموذجية مدنين
📝 نصّ التمرين
نعتبر المعيّن المتعامد \((O,I,J)\) للمستوي حيث \(OI=OJ=1\).
أ- عيّن النقطتين \(A(-2;0)\) و \(B(3\sqrt{2}+1;0)\). ب- أحسب \(AB\) و \(AI\) و \(BI\).
أ- ابن النقطة \(C\) من \([AB]\) بحيث \(AC=\dfrac{AB}{3}\). ب- أوجد إحداثيات \(C\) في المعيّن \((O,I,J)\). ج- أحسب \(BC\).
ليكن \(\Delta\) الموسّط العمودي للقطعة \([BC]\) حيث يقطع \((BC)\) في \(D\) و \((AJ)\) في \(E\). أ- أوجد إحداثيات \(D\). ب- أحسب \(DE\). ج- بيّن أنّ المثلث \(BCE\) متقايس الضلعين وقائم الزاوية في \(E\) ثمّ أحسب مساحته. د- استنتج أنّ \(BE=2+\sqrt{2}\) ثمّ أحسب محيط المثلث \(BCE\). ت- بيّن أنّ \(\dfrac{JE}{JA}=\sqrt{2}\).
المستقيم المارّ من \(E\) والموازي لـ \((OI)\) يقطع \((OJ)\) في \(F\). أ- بيّن أنّ الرباعي \(ODEF\) مستطيل ثمّ أحسب مساحته ومحيطه. ب- أوجد إحداثيات \(F\) و \(E\) في المعيّن \((O,I,J)\).
لم تبدأ بعد
💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط
س1–س2. النقاط \(A,B,C,D\) كلّها على محور الفواصل، فالأبعاد بينها هي فروق الفواصل. و \(C\) من \([AB]\) يعني التحرّك من \(A\) نحو \(B\) بمقدار \(AC\).
س3.\(\Delta\) موسّط عمودي لـ\([BC]\) ⇐ \(D\) منتصف \([BC]\) وكلّ نقطة من \(\Delta\) (ومنها \(E\)) متساوية البعد عن \(B\) و \(C\). أوجد معادلة \((AJ)\) لتحديد \(E\).
س4. الموازي لـ\((OI)\) أفقيّ \((y=\text{ثابت})\) و \((OJ)\) هو محور التراتيب \((x=0)\).
س2.\(AC=\dfrac{AB}{3}=\sqrt{2}+1\)، إذن \(C(-2+\sqrt{2}+1\,;\,0)=(\sqrt{2}-1\,;\,0)\)؛ و \(BC=AB-AC=2\sqrt{2}+2\).
س3-أ,ب.\(D=\) منتصف \([BC]\)\(=(2\sqrt{2}\,;\,0)\)، و \(\Delta:x=2\sqrt{2}\). معادلة \((AJ)\): \(y=\tfrac{1}{2}(x+2)\)، فعند \(x=2\sqrt{2}\) نجد \(E(2\sqrt{2}\,;\,\sqrt{2}+1)\)، و \(DE=\sqrt{2}+1\).
س3-ج.\(E\in\Delta\Rightarrow EB=EC=2+\sqrt{2}\) (متساوي الساقين). وبحساب الجداء السلّمي \(\vec{EB}\cdot\vec{EC}=0\) فالمثلث قائم في \(E\). المساحة \(=\dfrac{EB\cdot EC}{2}=\dfrac{(2+\sqrt{2})^2}{2}=3+2\sqrt{2}\).
س3-ت.\(JE=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{10}\) و \(JA=\sqrt{(-2)^2+1^2}=\sqrt{5}\)، إذن \(\dfrac{JE}{JA}=\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}\).
س4. الموازي لـ\((OI)\) من \(E\) هو \(y=\sqrt{2}+1\)، فيقطع \((OJ):x=0\) في \(F(0\,;\,\sqrt{2}+1)\). والرباعي \(ODEF\) ذو زوايا قائمة (\([OD]\) أفقي، \([DE]\) رأسي) إذن مستطيل: المساحة \(=OD\times DE=2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)=4+2\sqrt{2}\)، المحيط \(=2(2\sqrt{2}+\sqrt{2}+1)=2+6\sqrt{2}\). و \(F(0;\sqrt{2}+1)\)، \(E(2\sqrt{2};\sqrt{2}+1)\).
\(ABCDEFGH\) موشور مستقيم قائم قاعدته شبه المنحرف \(EFGH\) بحيث \(HG=2\) و \(EF=4\) و \(FB=10\). القطران \((EG)\) و \((HF)\) يتقاطعان في \(I\) بحيث \(IE=3\) و \(EH=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\).
أ- بيّن أنّ المثلث \(AEG\) قائم في \(E\). ب- أحسب \(AG\).
لتكن \(J\) المسقط العمودي لـ \(I\) على \((BCD)\). بيّن أنّ \((IJ)//(HD)\) ثمّ أحسب \(AJ\).
\((DJ)\) يقطع المستوي \((BFG)\) في نقطة \(K\) ويقطع \((BC)\) في \(L\). أ- بيّن أنّ \(K\in(BC)\). ب- أحسب \(BL\).
\((FG)\) يقطع \((EH)\) في \(M\). أ- بيّن أنّ \(G\) هي منتصف \([MF]\). ب- المستقيم \((IM)\) يقطع \((EF)\) في \(N\). أحسب \(NJ\).
أ- بيّن أنّ المثلث \(AIH\) قائم في \(I\). ب- أحسب \(AI\).
ملاحظة أمانة: نُقلت المعطيات كما وردت في المصدر (\(EH=\tfrac{3\sqrt{5}}{2}\), \(FB=10\), \(IE=3\)). يترتّب عن تموضع النقاط أنّ \(J\) هي نقطة تقاطع قطري \(ABCD\)، فيكون \((DJ)=(DB)\) وتنطبق \(L\) على \(B\) (س3). كما أنّ القيمة \(EH=\tfrac{3\sqrt{5}}{2}\) لا تجعل الزاوية في \(I\) قائمة تمامًا (س5-أ). حُسبت بقيّة الأبعاد بدقّة.
لم تبدأ بعد
💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط
س1. الحرف الجانبي \([AE]\) عموديّ على مستوي القاعدة \((EFGH)\)، فهو عموديّ على كلّ مستقيم منها ومنه \((EG)\). ولإيجاد \(EG\) استعمل خاصية قطري شبه المنحرف: \(\dfrac{IE}{IG}=\dfrac{EF}{HG}=2\).
س2. المسقط العموديّ في موشور قائم يوازي الأحرف الجانبية، ومنها \((HD)\). والبعد الأفقيّ \(AJ\) يساوي \(IE\).
س3. بما أنّ \((CG)//(BF)\) فإنّ النقاط \(B,F,G,C\) في مستوٍ واحد، أي \((BC)\subset(BFG)\).
س4. في شبه المنحرف \(EF//HG\) و \(HG=\tfrac{1}{2}EF\)، فتقاطع حاملي الساقين يعطي \(G\) منتصفًا.
س5. المثلث \(AIJ\) قائم في \(J\) لأنّ \([AJ]\) في مستوي القاعدة و \([IJ]\) عموديّ عليه؛ استعمله لحساب \(AI\).
📝 الخطوة 2 — التطبيق
س1.\([AE]\perp(EFGH)\) و \((EG)\subset(EFGH)\) إذن \([AE]\perp[EG]\) فالمثلث \(AEG\) قائم في \(E\). ومن \(\dfrac{IE}{IG}=2\) و \(IE=3\) نجد \(IG=\tfrac{3}{2}\) و \(EG=\tfrac{9}{2}\)، ومنه \(AG=\sqrt{AE^2+EG^2}=\sqrt{100+\tfrac{81}{4}}=\dfrac{\sqrt{481}}{2}\).
س2.\((IJ)\perp(BCD)\) و \((HD)\perp(BCD)\) إذن \((IJ)//(HD)\). و \(J\) مسقط \(I\) فيقع على القطر \([AC]\) بحيث \(AJ=\dfrac{2}{3}AC=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{9}{2}=3\) (وهو نفسه \(IE\)).
س3.\((CG)//(BF)\Rightarrow C\in(BFG)\) إذن \((BC)\subset(BFG)\). و \((DJ)\) يقع في مستوي القاعدة فيقطع \((BFG)\) في نقطة من تقاطعهما أي من \((BC)\)، ومنه \(K\in(BC)\). وبما أنّ \(J\) نقطة تقاطع قطري \(ABCD\) فإنّ \((DJ)=(DB)\) وتنطبق \(L\) على \(B\)، أي \(BL=0\) (نتيجة مباشرة لتموضع النقاط في المصدر).
س4. بتقاطع حاملَي الساقين \((FG)\) و \((EH)\) نجد \(M\) ويتحقّق \(\dfrac{M+F}{2}=G\) فـ\(G\) منتصف \([MF]\). و \(N=(IM)\cap(EF)\) هي منتصف \([EF]\)، ومنه \(NJ=\sqrt{NI^2+IJ^2}=\sqrt{\tfrac{13}{3}+100}=\dfrac{\sqrt{939}}{3}\).
س5. (نُقل السؤال-أ كما ورد؛ المعطى \(EH=\tfrac{3\sqrt{5}}{2}\) لا يحقّق التعامد في \(I\) بالضبط). لحساب \(AI\) نستعمل المثلث \(AIJ\) القائم في \(J\): \(AI=\sqrt{AJ^2+IJ^2}=\sqrt{9+100}=\sqrt{109}\).
✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة
س1–س2.\(AEG\) قائم في \(E\)، \(EG=\tfrac{9}{2}\)، \(AG=\dfrac{\sqrt{481}}{2}\)؛ \((IJ)//(HD)\) و \(AJ=3\).
س3–س4.\(K\in(BC)\) و \(L\equiv B\) (\(BL=0\))؛ \(G\) منتصف \([MF]\) و \(NJ=\dfrac{\sqrt{939}}{3}\).