فرض تأليفي — الرياضيات

📚 السنة التاسعة أساسي⏱ المدّة: ساعتان📝 المصدر: Brevet02 (الحصة رقم 2)
التمرين 1
العمليات في ℝ — العبارات الجبرية

📝 نصّ التمرين

  1. لتكن العبارة: \(a=\dfrac{-34+13\sqrt{3}}{4-5\sqrt{3}}-2\).
    أ- أحسب \((3\sqrt{3}-1)(4-5\sqrt{3})\).
    ب- استنتج اختصار العبارة \(a\).
  2. لتكن العبارة \(b=\dfrac{5\sqrt{3}+4}{3}-\dfrac{3+\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}\). بيّن أنّ \(b=\dfrac{2\sqrt{3}+3}{3}\).
  3. لتكن العبارة \(c=1+\dfrac{\sqrt{108}-\sqrt{75}}{2}\). بيّن أنّ \(c=1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
  4. أ- بيّن أنّ \(a\) و \(b\) مقلوبان وأنّ \(2a\times c=\sqrt{3}\).
    ب- استنتج أنّ \(\dfrac{\sqrt{3}\,(c+b)}{b}-3\) عدد أصمّ.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. لنشر جداء، استعمل التوزيعية وانتبه إلى \(\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3\). لاختصار \(a\)، وحّد على نفس المقام أو اضرب في مرافق المقام.
س2 و س3. بسّط الجذور إلى مربّعات كاملة و\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)، ثمّ اجمع الحدود المتشابهة.
س4. عددان مقلوبان معناه جداؤهما يساوي \(1\). لإثبات أنّ عددًا أصمّ بيّن أنّه مجموع عدد ناطق وعدد أصمّ.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1-أ.
\[(3\sqrt{3}-1)(4-5\sqrt{3})=12\sqrt{3}-15\times 3-4+5\sqrt{3}=17\sqrt{3}-49\]
س1-ب. نضرب البسط والمقام في مرافق المقام \(4+5\sqrt{3}\):
\[\dfrac{-34+13\sqrt{3}}{4-5\sqrt{3}}=\dfrac{(-34+13\sqrt{3})(4+5\sqrt{3})}{4^2-(5\sqrt{3})^2}=\dfrac{59-118\sqrt{3}}{-59}=2\sqrt{3}-1\]
\[a=(2\sqrt{3}-1)-2=2\sqrt{3}-3\]
س2. \(\dfrac{3+\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{3}=\sqrt{3}+\dfrac{1}{3}\)، إذن
\[b=\dfrac{5\sqrt{3}+4}{3}-\sqrt{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{5\sqrt{3}+4-3\sqrt{3}-1}{3}=\dfrac{2\sqrt{3}+3}{3}\]
س3. \(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\) و \(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)، إذن \(\sqrt{108}-\sqrt{75}=\sqrt{3}\) ومنه \(c=1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
س4-أ. \(a\times b=(2\sqrt{3}-3)\cdot\dfrac{2\sqrt{3}+3}{3}=\dfrac{(2\sqrt{3})^2-3^2}{3}=\dfrac{12-9}{3}=1\) إذن مقلوبان.
\[2a\times c=(2\sqrt{3}-3)(2+\sqrt{3})=4\sqrt{3}+6-6-3\sqrt{3}=\sqrt{3}\]
لأنّ \(2c=2+\sqrt{3}\).
س4-ب. بما أنّ \(\dfrac{1}{b}=a\) فإنّ \(\dfrac{c}{b}=a\,c=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) (من \(2ac=\sqrt{3}\)). إذن
\[\dfrac{\sqrt{3}(c+b)}{b}-3=\sqrt{3}\cdot\dfrac{c}{b}+\sqrt{3}-3=\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}-3=\dfrac{3}{2}+\sqrt{3}-3=\sqrt{3}-\dfrac{3}{2}\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. \((3\sqrt{3}-1)(4-5\sqrt{3})=17\sqrt{3}-49\) و \(a=2\sqrt{3}-3\). التحقق: \((2\sqrt{3}-1)(4-5\sqrt{3})=13\sqrt{3}-34=-34+13\sqrt{3}\) ✓.
س2 و س3. \(b=\dfrac{2\sqrt{3}+3}{3}\) و \(c=1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
س4. \(a\) و \(b\) مقلوبان و \(2ac=\sqrt{3}\)؛ وبما أنّ \(\sqrt{3}-\dfrac{3}{2}\) هو مجموع عدد أصمّ \(\sqrt{3}\) وعدد ناطق \(-\dfrac{3}{2}\)، فهو عدد أصمّ. ✓
التمرين 2
النشر والتفكيك — المعادلات والمتراجحات — المثلثات

📝 نصّ التمرين

I- نعتبر العبارة \(A=x^2-x-12\) حيث \(x\) عدد حقيقي.
  1. أحسب \(A\) في حالة \(x=\sqrt{2}-1\).
  2. أ- فكّك إلى جداء عوامل العبارة \(A+\dfrac{49}{4}\).   ب- استنتج تفكيكًا للعبارة \(A\).
  3. حلّ في \(\mathbb{R}\) المعادلات التالية: أ- \(x(x+5)=3(2x+4)\)   ب- \(A=4(x+7)\).
  4. حلّ في \(\mathbb{R}\) المتراجحة \(A\le (x-1)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\) ومثّل مجموعة حلولها على المستقيم العددي.
II- في هذا الجزء \(x\) عدد حقيقي موجب قطعا، و \(ABC\) مثلث قائم في \(A\) و \(H\) النقطة من \([BC]\) حيث \(BH=x-3\) و \(CH=x-3\) و \(AH=\sqrt{7}\).
  1. أوجد \(x\) ليكون \([AH]\) ارتفاعًا للمثلث \(ABC\).
  2. أحسب في هذه الحالة مساحة المثلث \(ABH\).
ملاحظة أمانة: في المصدر \(BH\) و \(CH\) مكتوبان كلاهما \(x-3\) (نُقلا كما هما).
B A C
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

I.1. عوّض \(x\) مباشرة وانتبه إلى \((\sqrt{2}-1)^2\).
I.2. \(A+\dfrac{49}{4}\) هو مربّع كامل؛ ثمّ \(A=\left(A+\dfrac{49}{4}\right)-\dfrac{49}{4}\) فرق مربّعين.
I.3. اجعل المعادلة على الصيغة \(A=0\) أو استعمل التفكيك. للمعادلة (ب) اجمع في طرف واحد واستعمل الشكل النظامي.
I.4. انشر الطرفين واجمع، فتؤول المتراجحة إلى متراجحة من الدرجة الأولى.
II. إذا كان \([AH]\) ارتفاعًا نازلًا من الزاوية القائمة على الوتر، فحسب العلاقات المترية: \(AH^2=BH\times CH\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

I.1.
\[A=(\sqrt{2}-1)^2-(\sqrt{2}-1)-12=(3-2\sqrt{2})-\sqrt{2}+1-12=-8-3\sqrt{2}\]
I.2. \(A+\dfrac{49}{4}=x^2-x+\dfrac{1}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\)، ومنه
\[A=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{49}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{2}\right)\left(x-\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{2}\right)=(x-4)(x+3)\]
I.3-أ. \(x(x+5)=3(2x+4)\Leftrightarrow x^2+5x=6x+12\Leftrightarrow x^2-x-12=0\Leftrightarrow (x-4)(x+3)=0\)، إذن \(x=4\) أو \(x=-3\).
I.3-ب. \(A=4(x+7)\Leftrightarrow x^2-x-12=4x+28\Leftrightarrow x^2-5x-40=0\). بالشكل النظامي:
\[\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}-40=0\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{185}{4}\Leftrightarrow x=\dfrac{5\pm\sqrt{185}}{2}\]
I.4. \(x^2-x-12\le x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow -x-12\le-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x\le\dfrac{25}{2}\Leftrightarrow x\le 25\).
II.1. \([AH]\) ارتفاع يعني \(AH^2=BH\times CH\) (علاقة مترية):
\[(\sqrt{7})^2=(x-3)(x-3)\Rightarrow 7=(x-3)^2\Rightarrow x-3=\sqrt{7}\Rightarrow x=3+\sqrt{7}\]
نأخذ \(x-3=\sqrt{7}>0\) لأنّ الأطوال موجبة.
II.2. في هذه الحالة \(BH=x-3=\sqrt{7}\)، والارتفاع النازل من \(A\) في المثلث \(ABH\) هو \(AH\):
\[\mathcal{A}(ABH)=\dfrac{BH\times AH}{2}=\dfrac{\sqrt{7}\times\sqrt{7}}{2}=\dfrac{7}{2}\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

I.1. \(A=-8-3\sqrt{2}\).
I.2. \(A=(x-4)(x+3)\). التحقق: \((x-4)(x+3)=x^2-x-12\) ✓.
I.3. (أ) \(S=\{-3\,;\,4\}\) ؛ (ب) \(S=\left\{\dfrac{5-\sqrt{185}}{2}\,;\,\dfrac{5+\sqrt{185}}{2}\right\}\).
I.4. مجموعة الحلول هي \(S=\,]-\infty\,;\,25]\).
II. \(x=3+\sqrt{7}\) ومساحة المثلث \(ABH\) هي \(\dfrac{7}{2}\) (وحدة مساحة). ✓
التمرين 3
الهندسة التحليلية في معيّن متعامد

📝 نصّ التمرين

نعتبر \((O,I,J)\) معيّنًا متعامدًا حيث \(OI=OJ=1\)، والنقاط \(A(2;0)\) و \(B(2;1)\).

  1. بيّن أنّ الرباعي \(OABJ\) مستطيل.
  2. لتكن النقطة \(E\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(B\). أ- حدّد إحداثيات \(E\) وأحسب \(EA\). ب- بيّن أنّ المثلث \(JEA\) متقايس الضلعين قمته \(J\).
  3. لتكن \(F\) مسقط \(O\) على \((AB)\) وفقًا للمنحى \((AJ)\). أ- بيّن أنّ \(x_F=2\). ب- بيّن أنّ \(AF=1\) ثمّ استنتج \(y_F\) حيث \(y_F<0\).
  4. ابن النقطة \(G\) بحيث يكون الرباعي \(JAGE\) متوازي أضلاع. أ- بيّن أنّ الرباعي \(JAGE\) معيّن. ب- حدّد إحداثيات \(G\).
  5. المستقيم \((GE)\) يقطع \((OJ)\) في نقطة \(M\) والمستقيم \((GA)\) يقطع \((OJ)\) في نقطة \(N\). أ- عيّن نقطة \(K\) على \((MJ)\) بحيث \(MK=1\). ب- المستقيم الموازي لـ \((JE)\) والمار من \(K\) يقطع \((ME)\) في نقطة \(P\). أحسب \(PK\).
  6. أ- بيّن أنّ \(E\) منتصف \([GM]\). ب- استنتج أنّ \(J\) منتصف \([MN]\). ج- بيّن أنّ \(GN=2\sqrt{5}\).
  7. ما هي إحداثيات \(M\) في المعيّن \((B\,;\,E\,;\,G)\) مع التعليل.
yx OA BJ
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

عام. \(O(0;0)\)، \(I(1;0)\)، \(J(0;1)\). استعمل: مناظر نقطة بالنسبة إلى نقطة \(E=2B-A\)؛ منتصف قطعة؛ صيغة البعد \(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\).
س1. احسب إحداثيات \(J\) ثمّ بيّن أنّ \(OABJ\) له أربع زوايا قائمة أو ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان مع زاوية قائمة.
س5. للحصول على تقاطع مستقيم مع \((OJ)\) ضع \(x=0\) في معادلة المستقيم.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(O(0;0),A(2;0),B(2;1),J(0;1)\). الضلعان \([OA]\) و \([JB]\) أفقيان طولهما \(2\) ومتوازيان، و \([OJ]\perp[OA]\). إذن \(OABJ\) متوازي أضلاع له زاوية قائمة، أي مستطيل.
س2. \(E=2B-A=(4;2)-(2;0)=(2;2)\) و \(EA=\sqrt{0^2+2^2}=2\).
\(JE=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\) و \(JA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\)، إذن \(JE=JA\): المثلث متقايس الضلعين قمته \(J\).
س3. \((AB)\) مستقيم معادلته \(x=2\)، إذن \(x_F=2\). المسقط وفق منحى \((AJ)\) يعطي \(F(2;-1)\)، ومنه \(AF=|0-(-1)|=1\) و \(y_F=-1<0\).
س4. \(JAGE\) متوازي أضلاع يعني منتصف \([JG]\) = منتصف \([AE]=(2;1)\)، إذن \(G=(4;1)\). وبما أنّ \(JA=AG=\sqrt{5}\) فهو معيّن.
س5. \((GE):(4;1)+t(-2;1)\)؛ \(x=0\Rightarrow t=2\Rightarrow M(0;3)\). \((GA):(4;1)+t(-2;-1)\Rightarrow N(0;-1)\). \(K\in(MJ)\) مع \(MK=1\) نحو \(J\) يعطي \(K(0;2)\).
المستقيم الموازي لـ \((JE)\) المار من \(K\) يقطع \((ME)\) في \(P\left(1;\dfrac{5}{2}\right)\)، ومنه \(PK=\sqrt{1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\).
س6. منتصف \([GM]=\left(\frac{4+0}{2};\frac{1+3}{2}\right)=(2;2)=E\) ✓. ومنتصف \([MN]=(0;1)=J\) ✓. و \(GN=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).
س7. في المعيّن \((B;E;G)\): \(\vec{BE}=(0;1)\) و \(\vec{BG}=(2;0)\). و \(\vec{BM}=(-2;2)=2\,\vec{BE}-1\,\vec{BG}\)، إذن إحداثيات \(M\) هي \((2;-1)\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س2. \(OABJ\) مستطيل؛ \(E(2;2)\)، \(EA=2\)، والمثلث \(JEA\) متقايس الضلعين قمته \(J\).
س3–س4. \(F(2;-1)\)، \(G(4;1)\) و \(JAGE\) معيّن.
س5–س6. \(M(0;3)\)، \(N(0;-1)\)، \(K(0;2)\)، \(PK=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)؛ \(E\) منتصف \([GM]\)، \(J\) منتصف \([MN]\)، \(GN=2\sqrt{5}\).
س7. إحداثيات \(M\) في المعيّن \((B;E;G)\) هي \((2;-1)\).
التمرين 4
الهندسة التحليلية — الدائرة

📝 نصّ التمرين

\((O,I,J)\) معيّن متعامد حيث \(OI=OJ=1\,cm\)، و \(A(2;0)\) و \(B(6;6)\) و \(P\) منتصف \([AB]\) و \((\mathcal{C})\) الدائرة التي قطرها \([AB]\) والتي تقطع \((OI)\) في نقطة ثانية \(C\).

  1. أ- حدّد إحداثيات النقطة \(C\). ب- بيّن أنّ المثلث \(ABC\) قائم. ج- أحسب \(AC\) و \(AB\) و \(BC\). د- استنتج حسابًا لـ \(CP\).
  2. \((AB)\) يقطع \((OJ)\) في \(E\). بيّن أنّ \(\dfrac{BC}{OE}=2\).
  3. استنتج إحداثيات \(E\) إذا علمت أنّ ترتيبتها سالبة.
  4. لتكن \(F\) مناظرة \(E\) بالنسبة إلى \(O\). المستقيم المار من \(F\) والموازي لـ \((OI)\) يقطع \((AB)\) في \(N\) و \((BC)\) في \(M\). و \((AF)\) يقطع \((EC)\) في \(K\) و \((BC)\) في \(L\).
    أ- بيّن أنّ \(M\) منتصف \([BC]\). ب- بيّن أنّ \(N\) و \(P\) متطابقتان ثمّ حدّد إحداثياتها. ت- أحسب مساحة الرباعي \(ACMN\). ث- حدّد إحداثيات \(K\) بطريقتين مختلفتين.
  5. أحسب \(\dfrac{AF}{AL}\) ثمّ استنتج إحداثيات \(L\).
  6. بيّن أنّ \(EFBL\) هو شبه منحرف متقايس الضلعين.
AB P
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. \(C\in(OI)\) يعني \(y_C=0\)؛ ولأنّ \(C\) على الدائرة التي قطرها \([AB]\) فإنّ الزاوية \(\widehat{ACB}\) قائمة (زاوية محيطية تقابل قطرًا).
س2–س3. أوجد معادلة \((AB)\) ثمّ نقطة تقاطعها مع محور التراتيب \((OJ)\).
س4–س6. استعمل التوازي مع المحاور، مبرهنة طاليس، وحساب الأطوال لإثبات التطابق والتقايس.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. مركز الدائرة \(P=\) منتصف \([AB]=(4;3)\) ونصف قطرها \(\dfrac{AB}{2}=\sqrt{13}\). تقاطع الدائرة مع \(y=0\) يعطي \(x=2\) (وهي \(A\)) أو \(x=6\)، إذن \(C(6;0)\).
\(AC=4\)، \(BC=6\)، \(AB=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\)؛ التحقق \(AC^2+BC^2=16+36=52=AB^2\) (قائم في \(C\)). و \(CP=\) نصف القطر \(=\sqrt{13}\).
س2–س3. \((AB):y=\dfrac{3}{2}(x-2)\)؛ عند \(x=0\) نجد \(E(0;-3)\) (ترتيبة سالبة). و \(OE=3\) ومنه \(\dfrac{BC}{OE}=\dfrac{6}{3}=2\).
س4. \(F=\) مناظرة \(E\) بالنسبة إلى \(O\) \(=(0;3)\). المستقيم \(y=3\) يقطع \((AB)\) في \((4;3)=P\) إذن \(N=P(4;3)\)؛ ويقطع \((BC):x=6\) في \(M(6;3)=\) منتصف \([BC]\).
مساحة \(ACMN\) بصيغة الحذاء: \(\mathcal{A}=9\). و \(K=(AF)\cap(EC)=\left(3;-\dfrac{3}{2}\right)\).
س5. النقاط \(A,F,L\) على استقامة و \(L=(AF)\cap(BC)=(6;-6)\)؛ \(AF=\sqrt{13}\) و \(AL=2\sqrt{13}\) إذن \(\dfrac{AF}{AL}=\dfrac{1}{2}\).
س6. \([EF]\) و \([BL]\) عموديان على محور نفسه إذن متوازيان؛ والساقان \(FB=EL=3\sqrt{5}\) إذن \(EFBL\) شبه منحرف متقايس الضلعين.

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. \(C(6;0)\)، المثلث قائم في \(C\)، \(AC=4\)، \(BC=6\)، \(AB=2\sqrt{13}\)، \(CP=\sqrt{13}\).
س2–س3. \(\dfrac{BC}{OE}=2\) و \(E(0;-3)\).
س4–س5. \(F(0;3)\)، \(M(6;3)\) منتصف \([BC]\)، \(N=P(4;3)\)، مساحة \(ACMN=9\)، \(K\left(3;-\dfrac{3}{2}\right)\)، \(\dfrac{AF}{AL}=\dfrac{1}{2}\)، \(L(6;-6)\).
س6. \(EFBL\) شبه منحرف متقايس الضلعين. ✓
ملاحظة: اسم النقطة المُناظَرة في المصدر غير واضح تمامًا؛ اعتمدنا \(E\) لأنّه يوافق نتيجة تطابق \(N\) و \(P\) المطلوبة.
التمرين 5
الهندسة في الفضاء — هرم منتظم الأحرف

📝 نصّ التمرين

\(SABC\) هرم كل أحرفه متقايسة و \(AB=4\sqrt{3}\) و \(I\) منتصف \([BC]\) و \(O\) مركز المثلث \(ABC\).

  1. أ- بيّن أنّ \(OA=4\). ب- بيّن أنّ \(SO=4\sqrt{2}\).
  2. بيّن أنّ \((BC)\perp(SAI)\).
  3. ليكن \(\Delta\) المستقيم المار من \(A\) والعمودي على \((ABC)\) و \(E\) النقطة من \(\Delta\) بحيث \(EA=4\sqrt{2}\). أ- بيّن أنّ \(EB=EC\). ب- استنتج أنّ \(E\in(SAI)\).
  4. بيّن أنّ \((ES)\,//\,(ABC)\).
  5. لتكن \(M\) نقطة تقاطع \((EI)\) و \((OS)\). أ- بيّن أنّ \(\dfrac{OM}{AE}=\dfrac{IM}{IE}=\dfrac{1}{3}\). ب- \((MC)\) يقطع \([EB]\) في \(F\). أحسب \(BF\).
S A C B
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

1. \(O\) مركز المثلث متقايس الأضلاع، و \(OA\) هو شعاع الدائرة المحيطة \(=\dfrac{\text{الضلع}}{\sqrt{3}}\). ثمّ فيثاغورث في المثلث \(SOA\) القائم في \(O\).
2. بيّن أنّ \((BC)\) عمودي على مستقيمين متقاطعين من المستوي \((SAI)\) وهما \((AI)\) و \((SI)\).
3. \(EA\perp(ABC)\) فيمكن استعمال فيثاغورث في المثلثين \(EAB\) و \(EAC\).
5. استعمل طاليس في المثلث حيث \((AE)\,//\,(OS)\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

1. ضلع المثلث \(a=4\sqrt{3}\): \(OA=\dfrac{a}{\sqrt{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=4\). وبما أنّ الحرف \(SA=4\sqrt{3}\) و \(SO\perp(ABC)\):
\[SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{48-16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\]
2. في المثلث المتقايس الأضلاع \(AI\perp BC\) (وسيط وارتفاع)، و \(SB=SC\) إذن \(SI\perp BC\). فـ \((BC)\) عمودي على مستقيمين متقاطعين من \((SAI)\)، إذن \((BC)\perp(SAI)\).
3. \(EB^2=EA^2+AB^2=32+48=80\) و \(EC^2=EA^2+AC^2=80\) إذن \(EB=EC=4\sqrt{5}\). وبما أنّ \(EB=EC\) فإنّ \(E\) على مستوي واسطة \([BC]\) وهو \((SAI)\)، ومنه \(E\in(SAI)\).
4. \(EA\perp(ABC)\) و \(SO\perp(ABC)\) و \(EA=SO=4\sqrt{2}\) إذن \(AOSE\) متوازي أضلاع، ومنه \((ES)\,//\,(AO)\subset(ABC)\).
5. في \((SAI)\) لدينا \((AE)\,//\,(OS)\)؛ حسب طاليس مع \(\dfrac{OI}{AI}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\):
\[\dfrac{OM}{AE}=\dfrac{IM}{IE}=\dfrac{IO}{IA}=\dfrac{1}{3}\]
وبإحداثيات مناسبة نجد \(F\) منتصف \([EB]\)، إذن \(BF=\dfrac{EB}{2}=\dfrac{4\sqrt{5}}{2}=2\sqrt{5}\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

1. \(OA=4\) و \(SO=4\sqrt{2}\). التحقق: \(OA^2+SO^2=16+32=48=SA^2\) ✓.
2–4. \((BC)\perp(SAI)\)؛ \(EB=EC=4\sqrt{5}\) و \(E\in(SAI)\)؛ \((ES)\,//\,(ABC)\).
5. \(\dfrac{OM}{AE}=\dfrac{IM}{IE}=\dfrac{1}{3}\) و \(BF=2\sqrt{5}\).
🏠 القائمة الموضوع التالي (Brevet03) ←