فرض تأليفي — الرياضيات

📚 السنة التاسعة أساسي⏱ المدّة: ساعتان📝 المصدر: Brevet13 (الحصة رقم 13)
التمرين 1
الهندسة التحليلية في معيّن متعامد

📝 نصّ التمرين

ليكن \((O,I,J)\) معيّنًا متعامدًا للمستوي بحيث \(OI=OJ=1\)، والنقطتان \(D(2;3)\) و \(B(4;5)\).

  1. أ- المستقيم المارّ من \(B\) والموازي لـ \((OI)\) يقطع \((OJ)\) في \(E\). حدّد إحداثيات \(E\) معلّلًا. ب- أحسب \(BE\).
  2. المستقيمان \((EB)\) و \((IJ)\) يتقاطعان في \(A\). أ- بيّن أنّ \(AE=4\). ب- استنتج إحداثيات \(A\) إذا علمت أنّ \(x_A<0\).
  3. أ- أحسب \(AJ\). ب- ابن \(F\) بحيث \(AJFB\) متوازي أضلاع ثمّ حدّد إحداثيات \(F\) معلّلًا.
  4. لتكن \(H\) مسقط \(B\) على \((FJ)\) وفقًا لمنحى \((OJ)\). أ- أحسب \(JH\). ب- استنتج حسابًا لإحداثيات \(H\). ت- أحسب \(\dfrac{S_{BHJ}}{S_{BHE}}\).
ملاحظة أمانة: في السؤال 2 كُتب «\((AB)\)» والمقصود \((EB)\) (لأنّ \(A\) تُعرّف بهذا التقاطع).
OIJ D B E A
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. الموازي لـ\((OI)\) أفقيّ، و \((OJ)\) هو محور التراتيب.
س2. \((IJ):x+y=1\) و \((EB):y=5\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \((BE):y=5\) يقطع \((OJ):x=0\) في \(E(0;5)\). و \(BE=|4-0|=4\).
س2. \(A\in(EB)\Rightarrow y_A=5\) و \(A\in(IJ)\Rightarrow x_A+y_A=1\Rightarrow x_A=-4\). إذن \(A(-4;5)\) و \(AE=|-4-0|=4\).
س3. \(AJ=\sqrt{(-4)^2+(5-1)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2\). و \(F=B+\vec{AJ}=(4;5)+(4;-4)=(8;1)\) (لأنّ \(\vec{AJ}=\vec{BF}\) في متوازي الأضلاع \(AJFB\)).
س4. \((FJ):y=1\)، والمسقط العموديّ لـ\(B\) وفق \((OJ)\) هو \(H(4;1)\)، فـ\(JH=4\). والمثلثان \(BHJ\) و \(BHE\) لهما نفس المساحة \(8\)، إذن \(\dfrac{S_{BHJ}}{S_{BHE}}=1\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س3. \(E(0;5)\)، \(BE=4\)، \(A(-4;5)\)، \(AJ=4\sqrt2\)، \(F(8;1)\).
س4. \(JH=4\)، \(H(4;1)\)، \(\dfrac{S_{BHJ}}{S_{BHE}}=1\). ✓
التمرين 2
العمليات في ℝ — حصر ومقارنة

📝 نصّ التمرين

نعتبر العددين \(a=4+\dfrac{2}{\sqrt5-1}-\dfrac{(1+\sqrt5)^2}{2}\) و \(b=\dfrac{\sqrt{27}+\sqrt{15}}{\sqrt{12}}\).

  1. أثبت أنّ \(a=\dfrac{3-\sqrt5}{2}\) و \(b=\dfrac{3+\sqrt5}{2}\).
  2. أ- بيّن أنّ \(\sqrt5\in[2;3]\). ب- استنتج أنّ \(0\le a\le\dfrac12\) و \(\dfrac52\le b\le 3\). ت- أحسب \(E=\left|a-\dfrac12\right|+\left|b-\dfrac52\right|\).
  3. رتّب تصاعديًّا الأعداد \(1\) و \(a^2\) و \(b^2\).
  4. أ- بيّن أنّ \(2b=(7+3\sqrt5)a\). ب- استنتج أنّ \(b^2-\dfrac{3\sqrt5}{2}\in\mathbb{Q}\).
  5. في الرسم المقابل \(ABC\) مثلث بحيث \(AB=1\) و \(AC=\dfrac12\)، و \((\mathcal{C})\) الدائرة المحيطة به، و \((\mathcal{C}')\) مركزها \(B\) وشعاعها \(BD=\dfrac32\)، و \(ACD\) قائم في \(C\) حيث \(EC=1\) و \(E\in(\mathcal{C})\). أ- بيّن أنّ \(DC=a\). ب- بيّن أنّ المثلث \(EFD\) قائم. ج- استنتج أنّ \(CF=b\).
ملاحظة أمانة: السؤال 5 (تطبيق هندسي) يعتمد على الشكل المرفق بالمصدر لتحديد مواضع \(D,E,F\)؛ نُقل النصّ كما ورد، والإصلاح يوضّح المنهجية المؤدّية إلى \(DC=a\) و \(CF=b\).
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. نسّب \(\dfrac{2}{\sqrt5-1}\) وانشر \((1+\sqrt5)^2\)؛ وبسّط \(\sqrt{27},\sqrt{15},\sqrt{12}\).
س2. من \(2\le\sqrt5\le3\) نحصر \(a,b\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(\dfrac{2}{\sqrt5-1}=\dfrac{\sqrt5+1}{2}\) و \((1+\sqrt5)^2=6+2\sqrt5\)، فـ\(a=\dfrac{3-\sqrt5}{2}\). و \(b=\dfrac{3\sqrt3+\sqrt{15}}{2\sqrt3}=\dfrac{3+\sqrt5}{2}\).
س2. \(4<5<9\Rightarrow2<\sqrt5<3\)، ومنه \(a\in[0;\tfrac12],\ b\in[\tfrac52;3]\). و \(E=\dfrac{\sqrt5-2}{2}+\dfrac{\sqrt5-2}{2}=\sqrt5-2\).
س3–س4. \(a^2<1. و \((7+3\sqrt5)a=3+\sqrt5=2b\)؛ و \(b^2=\dfrac{7+3\sqrt5}{2}\Rightarrow b^2-\dfrac{3\sqrt5}{2}=\dfrac72\in\mathbb{Q}\).
س5. في المثلث \(ACD\) القائم في \(C\) باستعمال \(AC=\tfrac12,\ BD=\tfrac32\) نحصل على \(DC=a\)؛ والزاوية المحيطية في \((\mathcal{C})\) تجعل \(EFD\) قائمًا، ومنه \(CF=b\). (تُستكمل على الشكل.)

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س2. \(a=\dfrac{3-\sqrt5}{2}\)، \(b=\dfrac{3+\sqrt5}{2}\)، \(E=\sqrt5-2\).
س3–س5. \(a^2<1؛ \(2b=(7+3\sqrt5)a\) و \(b^2-\dfrac{3\sqrt5}{2}=\dfrac72\)؛ \(DC=a\) و \(CF=b\). ✓
التمرين 3
المثلثات — المعيّن والمركز القائم

📝 نصّ التمرين

(وحدة القيس هي الصنتمتر) نعتبر مثلثًا \(ACD\) قائمًا في \(C\) و \(B\) منتصف \([AD]\) حيث \(AC=6\) و \(\widehat{DAC}=60^\circ\).

  1. بيّن أنّ المثلث \(ABC\) متقايس الأضلاع.
  2. لتكن \(I\) المسقط العمودي لـ \(B\) على \((AC)\) و \(G\) من \([BC]\) بحيث \(BG=2\). بيّن أنّ \(D,G,I\) على استقامة واحدة.
  3. لتكن \(J\) منتصف \([AB]\) و \(H\) مناظرة \(C\) بالنسبة إلى \(J\). أ- بيّن أنّ \(ACBH\) معيّن. ب- أحسب \(CH\). ج- بيّن أنّ \(B\) المركز القائم للمثلث \(CDH\).
  4. الدائرة \((\mathcal{C}')\) قطرها \([BD]\) تقطع \((DH)\) في نقطة ثانية \(K\). بيّن أنّ \(B,C,K\) على استقامة واحدة.
  5. المستقيم المارّ من \(D\) والعمودي على \((HD)\) يقطع \((CH)\) في \(E\). أحسب \(CE\).
CAD B AC=660°
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

1. \(AD=\dfrac{AC}{\cos60^\circ}=12\) فـ\(AB=6=AC\).
الإحداثيات. \(C(0;0),A(6;0),D(0;6\sqrt3)\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

1. \(AD=12\Rightarrow AB=6=AC\) والزاوية \(60^\circ\) فالمثلث \(ABC\) متقايس الأضلاع.
2. \(B(3;3\sqrt3),I(3;0),G(2;2\sqrt3)\)، و \(\vec{DI}=\tfrac32\vec{DG}\) فـ\(D,G,I\) على استقامة واحدة.
3. \(H(9;3\sqrt3)\)، أضلاع \(ACBH\) تساوي \(6\) فهو معيّن، و \(CH=6\sqrt3\). و \(\vec{CB}\cdot\vec{DH}=0,\ \vec{DB}\cdot\vec{CH}=0\) فـ\(B\) المركز القائم لـ\(CDH\).
4–5. \(K\in(\mathcal{C}')\Rightarrow(BK)\perp(DH)\) وكذلك \((CB)\perp(DH)\) فـ\(B,C,K\) مستقيمة. و بحلّ التقاطع نجد \(CE=6\sqrt3\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

1–3. \(ABC\) متقايس الأضلاع، \(D,G,I\) مستقيمة، \(ACBH\) معيّن، \(CH=6\sqrt3\)، \(B\) المركز القائم لـ\(CDH\).
4–5. \(B,C,K\) مستقيمة و \(CE=6\sqrt3\). ✓
التمرين 4
الهندسة الفضائية — الهرم المنتظم

📝 نصّ التمرين

\(SABCD\) هرم منتظم ارتفاعه \(SO=4\) وقاعدته المربّع \(ABCD\) مركزه \(O\) حيث \(AB=2\sqrt2\).

  1. أ- أحسب \(OB\). ب- بيّن أنّ المثلث \(SOB\) قائم في \(O\) واستنتج أنّ \(SB=2\sqrt5\).
  2. لتكن \(H\) المسقط العمودي لـ \(O\) على \([SB]\). أ- بيّن أنّ \(BH=\dfrac{2\sqrt5}{5}\) و \(OH=\dfrac{4\sqrt5}{5}\). ب- بيّن أنّ \((AC)\perp(SBD)\) ثمّ أحسب \(CH\).
  3. بيّن أنّ \((BH)\perp(AHC)\).
  4. لتكن \(G\) من \([SO]\) بحيث \(\dfrac{SG}{2}=\dfrac{OG}{1}\). المستقيم \((BG)\) يقطع \([SD]\) في \(J\). بيّن أنّ \((OJ)\perp(AHC)\).
S AB CD O
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

الإحداثيات. \(O(0;0;0),A(2;0;0),B(0;2;0),C(-2;0;0),D(0;-2;0),S(0;0;4)\).
س1. \(OB=\dfrac{AB\sqrt2}{2}=2\) (نصف قطر المربّع).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(OB=2\)؛ \([SO]\perp(ABC)\) فـ\(SOB\) قائم في \(O\)، و \(SB=\sqrt{16+4}=2\sqrt5\).
س2. \(OH=\dfrac{SO\cdot OB}{SB}=\dfrac{8}{2\sqrt5}=\dfrac{4\sqrt5}{5}\)، \(BH=\dfrac{OB^2}{SB}=\dfrac{4}{2\sqrt5}=\dfrac{2\sqrt5}{5}\). و \((AC)\perp(SO)\) و \((AC)\perp(BD)\) فـ\((AC)\perp(SBD)\). و \(CH=\dfrac{6\sqrt5}{5}\).
س3. \(\vec{BH}\cdot\vec{AC}=0\) و \(\vec{BH}\cdot\vec{AH}=0\) فـ\((BH)\perp(AHC)\).
س4. \(G\left(0;0;\tfrac43\right)\) (إذ \(SG=2\,OG\))، و \(J=(BG)\cap[SD]=(0;-1;2)\). و \(\vec{OJ}\cdot\vec{AC}=0\) و \(\vec{OJ}\cdot\vec{AH}=0\) فـ\((OJ)\perp(AHC)\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1–س2. \(OB=2\)، \(SB=2\sqrt5\)، \(BH=\dfrac{2\sqrt5}{5}\)، \(OH=\dfrac{4\sqrt5}{5}\)، \((AC)\perp(SBD)\)، \(CH=\dfrac{6\sqrt5}{5}\).
س3–س4. \((BH)\perp(AHC)\) و \((OJ)\perp(AHC)\). ✓
التمرين 5
الهندسة التحليلية — المستطيل والمعيّن

📝 نصّ التمرين

في الرسم المصاحب \((O,I,J)\) معيّنًا متعامدًا بحيث \(OI=OJ=1\).

  1. حدّد بقراءة الرسم إحداثيات \(C\) و \(B\) و \(M\).
  2. أ- لتكن \(D\) مناظرة \(O\) بالنسبة إلى \(M\). حدّد إحداثيات \(D\). ب- بيّن أنّ \(OCBD\) مستطيل. ج- أحسب \(CD\).
  3. \((BD)\) يقطع \((MC)\) في \(H\). بيّن أنّ \(OCDH\) متوازي أضلاع.
  4. لتكن \(K\) من \([OH]\) بحيث \(DK=DH\). بيّن أنّ \(KBH\) قائم في \(K\) ثمّ أحسب \(BK\).
  5. \((BK)\) يقطع \((CD)\) في \(P\). أ- أحسب \(DP\). ب- لتكن \(R\) مناظرة \(D\) بالنسبة إلى \(P\). أحسب مساحة \(BDKR\).
ملاحظة أمانة: الرسم المصاحب (المُحدِّد لإحداثيات \(C,B,M\)) غير مُدرَج في نسخة المصدر المتوفّرة، فلا تُحسب القيم العددية دون قراءته. يُعرض أدناه المنهجية والعلاقات البنيوية (تُطبَّق بمجرّد قراءة إحداثيات \(C,B,M\) من الشكل).
O CBD M
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

البنية. \(D=2M-O\) (لأنّ \(M\) منتصف \([OD]\))؛ ولكون \(OCBD\) مستطيلًا يجب أن يتناصف قطراه \([OB]\) و \([CD]\) في \(M\) ويكونا متساويين.
س4. \(K\in(\mathcal{C})\) ذات القطر \([BH]\) تعطي الزاوية القائمة في \(K\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

المنهجية. بعد قراءة \(C,B,M\) من الشكل: \(D=2M-O=2M\)؛ يكون \(OCBD\) مستطيلًا إذا تناصف \([OB]\) و \([CD]\) في \(M\) مع \(OB=CD\)؛ و \(CD=OB\).
س3–س5. \(H=(BD)\cap(MC)\) ثمّ يُبرهن أنّ \(OCDH\) متوازي أضلاع؛ و \(K\in[OH]\) مع \(DK=DH\) يعطي \(\widehat{BKH}=90^\circ\) فيُحسب \(BK\)؛ ثمّ \(P=(BK)\cap(CD)\)، \(DP\)، و \(R=2P-D\) ومساحة \(BDKR\) (تُحسب عدديًّا من إحداثيات \(C,B,M\) بالشكل).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

تُطبَّق العلاقات البنيوية أعلاه بمجرّد قراءة إحداثيات \(C,B,M\) من الرسم المصاحب (غير المُدرَج في هذه النسخة). ✓
التمرين 6
الإحصاء

📝 نصّ التمرين

يمثّل الجدول التالي توزيع \(50\) سيارة حسب سرعتها بـ \(km/h\):

السرعة (\(km/h\))\([20;40[\)\([40;60[\)\([60;80[\)\([80;100[\)
عدد السيارات\(b\)\(8\)\(a\)\(7\)
التواتر التراكمي الصاعد (%)\(30\%\)
  1. ما هو نوع هذه السلسلة؟ وما هو نوع مميّزها؟
  2. حدّد عدد السيارات التي سرعتها أقلّ من \(60\,km/h\).
  3. بيّن أنّ \(b=15\) و أنّ \(a=20\).
  4. جد المدى والفئة المنوالية ثمّ أحسب المعدّل الحسابي.
  5. أرسم مضلّع التكرارات التراكمية الصاعدة واستنتج موسط هذه السلسلة.
  6. نأخذ سيارة عشوائيًّا؛ ما احتمال أن تكون سرعتها \(\ge60\,km/h\)؟
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

المجموع \(=50\)؛ والتواتر التراكمي الصاعد للفئة الأولى \(=30\%\) يعطي \(b\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

1. سلسلة إحصائية ذات مميّز كمّي مستمرّ مجمّع في فئات.
2–3. \(30\%\times50=15=b\). والمجموع \(b+8+a+7=50\Rightarrow a=20\). وعدد السيارات \(<60\) هو \(b+8=23\).
4. المدى \(=100-20=80\)؛ الفئة المنوالية \([60;80[\) (أكبر تكرار \(20\))؛ المعدّل \(=\dfrac{30\cdot15+50\cdot8+70\cdot20+90\cdot7}{50}=57.6\,km/h\).
5–6. التكرارات التراكمية الصاعدة: \(15,23,43,50\)؛ الموسط \(\approx60+\dfrac{25-23}{20}\times20=62\,km/h\). و \(P(\ge60)=\dfrac{a+7}{50}=\dfrac{27}{50}=0.54\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

1–4. سلسلة كمّية مستمرّة؛ \(b=15,a=20\)؛ \(23\) سيارة \(<60\)؛ المدى \(80\)، الفئة المنوالية \([60;80[\)، المعدّل \(57.6\).
5–6. الموسط \(\approx62\) و \(P(\ge60)=0.54\). ✓
→ الموضوع السابق (Brevet12) 🏠 القائمة ✅ نهاية السلسلة