فرض تأليفي — الرياضيات

السنة التاسعة أساسيالمدّة: ساعتانالموضوع 920 نقطة
التمرين 1
حساب عددي (4 نقاط)

نصّ التمرين

  1. بسّط: \(A=\sqrt{252}+\sqrt{175}-\sqrt{63}\)
  2. انشر وبسّط: \(B=(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})\)
  3. اجعل المقام ناطقًا: \(C=\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\)
  4. بسّط: \(D=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}\)
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. فكّك إلى مربّعات كاملة (دليل القوة \(\sqrt{7}\)).
س2. استعمل \((a-b)(a+b)\).
س3. اضرب في المرافق \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\).
س4. اضرب في المرافق \(\sqrt{7}-\sqrt{3}\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[A=6\sqrt{7}+5\sqrt{7}-3\sqrt{7}\]
س2.
\[B=3^2-(\sqrt{2})^2=9-2\]
س3.
\[C=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}\]
س4.
\[D=\dfrac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2}{7-3}=\dfrac{10-2\sqrt{21}}{4}\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. إذن \(A=8\sqrt{7}\) (\(6+5-3=8\)).
س2. إذن \(B=7\).
س3. بما أنّ \(3-2=1\) فإنّ \(C=\sqrt{3}+\sqrt{2}\).
س4. إذن \(D=\dfrac{10-2\sqrt{21}}{4}=\dfrac{5-\sqrt{21}}{2}\).
التمرين 2
حسابيات وقابلية القسمة (3 نقاط)

نصّ التمرين

  1. احسب \(PGCD(756\,;\,504)\).
  2. بسّط \(\dfrac{756}{504}\).
  3. هل \(151\) أوّلي؟ علّل.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. خوارزمية إقليدس.
س2. اقسم على القاسم المشترك الأكبر.
س3. اختبر القسمة على \(2,3,5,7,11\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[756=504\times 1+252\;;\;504=252\times 2+0\]
س2.
\[\dfrac{756}{504}=\dfrac{756\div 252}{504\div 252}=\dfrac{3}{2}\]
س3. \(151\) فردي، \(1+5+1=7\)، و\(151=7\times 21+4\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. إذن \(PGCD(756\,;\,504)=252\).
س2. الكسر غير القابل للاختزال هو \(\dfrac{3}{2}\).
س3. \(151\) عدد أوّلي.
التمرين 3
معادلات وجُمَل ومسائل (3 نقاط)

نصّ التمرين

  1. حلّ: \(4x-1=8x+12\)
  2. حلّ الجملة: \(\begin{cases}x-y=11\\ 2x+y=7\end{cases}\)
  3. ثمن سلعة بعد تخفيض بنسبة \(10\%\) أصبح \(45\) دينارًا. ما هو ثمنها الأصلي؟
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. اجمع حدود المجهول في طرف.
س2. اجمع المعادلتين لإزالة \(y\).
س3. التخفيض بـ\(10\%\) يعني ضرب الثمن في \(0{,}9\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[4x-8x=12+1\;\Longrightarrow\;-4x=13\;\Longrightarrow\;x=-\dfrac{13}{4}\]
س2.
\[(x-y)+(2x+y)=11+7\;\Longrightarrow\;3x=18\;\Longrightarrow\;x=6\;,\;y=-5\]
س3.
\[0{,}9\times p=45\;\Longrightarrow\;p=\dfrac{45}{0{,}9}=50\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. \(x=-\dfrac{13}{4}\). (التحقق بالتعويض).
س2. \((x\,;\,y)=(6\,;\,-5)\). التحقق: \(6-(-5)=11\) و\(2\times6+(-5)=7\). ✓
س3. الثمن الأصلي \(50\) دينارًا. التحقق: \(50\times 0{,}9=45\). ✓
التمرين 4
هندسة مستوية — طاليس (وضع الفراشة) (4 نقاط)

نصّ التمرين

النقاط \(A,C,D\) على استقامة، والنقاط \(B,C,E\) على استقامة، و\((AB)\parallel(DE)\). لدينا \(CA=4\)، \(CB=6\)، \(AB=5\)، \(CD=10\) (صم).

  1. احسب \(CE\).
  2. احسب \(DE\).
  3. احسب نسبة مساحة المثلث \(DCE\) إلى مساحة المثلث \(ACB\).
A B C AB = 5 CA = 4 CB = 6
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. حسب طاليس: \(\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{CD}{CA}\).
س2. حسب طاليس: \(\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{CD}{CA}\).
س3. نسبة المساحتين تساوي مربّع نسبة التكبير \(k=\dfrac{CD}{CA}\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[CE=\dfrac{CB\times CD}{CA}=\dfrac{6\times 10}{4}=15\]
س2.
\[DE=\dfrac{AB\times CD}{CA}=\dfrac{5\times 10}{4}=\dfrac{25}{2}\]
س3.
\[k=\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}\;\Longrightarrow\;\dfrac{\mathcal{A}_{DCE}}{\mathcal{A}_{ACB}}=k^2=\dfrac{25}{4}\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. \(CE=15\) صم.
س2. \(DE=\dfrac{25}{2}=12{,}5\) صم.
س3. نسبة المساحتين \(\dfrac{25}{4}\).
التمرين 5
هندسة في الفضاء — مخروط (3 نقاط)

نصّ التمرين

  1. مخروط نصف قطر قاعدته \(r=9\) وارتفاعه \(h=12\) (صم). احسب راسمه \(g\).
  2. احسب حجمه.
  3. احسب مساحته الجانبية.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. فيثاغورث: \(g^2=r^2+h^2\).
س2. الحجم \(=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h\).
س3. المساحة الجانبية \(=\pi r g\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[g^2=9^2+12^2=81+144=225\;\Longrightarrow\;g=15\]
س2.
\[V=\dfrac{1}{3}\pi\times 81\times 12=324\pi\]
س3.
\[\mathcal{A}_{lat}=\pi\times 9\times 15=135\pi\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. الراسم \(g=15\) صم.
س2. الحجم \(V=324\pi\) صم³.
س3. المساحة الجانبية \(135\pi\) صم².
التمرين 6
إحصاء (3 نقاط)

نصّ التمرين

سُجّلت سرعات \(50\) سيارة (بـ\(km/h\)):

السرعة6080100120140
عدد السيارات8122073
  1. احسب العدد الجملي وحدّد المدى.
  2. احسب المعدّل.
  3. حدّد الوسيط والمنوال.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. المدى \(=140-60\).
س2. المعدّل \(=\dfrac{\sum(\text{سرعة}\times\text{عدد})}{N}\).
س3. الرتبتان \(25\) و\(26\) للوسيط.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[N=8+12+20+7+3=50\;;\;\text{المدى}=80\]
س2.
\[\overline{x}=\dfrac{60\cdot8+80\cdot12+100\cdot20+120\cdot7+140\cdot3}{50}=\dfrac{4700}{50}=94\]
س3. التكرارات التراكمية \(8,20,40,\dots\): الرتبتان \(25\) و\(26\) ضمن \(100\)؛ أكبر تكرار \(20\) عند \(100\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. العدد الجملي \(50\) والمدى \(80\) \(km/h\).
س2. المعدّل \(\overline{x}=94\) \(km/h\).
س3. الوسيط \(=100\) والمنوال \(=100\) \(km/h\).
→ الموضوع السابق 🏠 القائمة الموضوع التالي ←