فرض تأليفي — الرياضيات

السنة التاسعة أساسيالمدّة: ساعتانالموضوع 820 نقطة
التمرين 1
حساب عددي (4 نقاط)

نصّ التمرين

  1. بسّط: \(A=\sqrt{112}+2\sqrt{63}-\sqrt{28}\)
  2. انشر وبسّط: \(B=(2\sqrt{3}-1)^2\)
  3. اجعل المقام ناطقًا: \(C=\dfrac{1}{\sqrt{7}-2}\)
  4. بسّط: \(D=\dfrac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}\)
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. فكّك إلى مربّعات كاملة (دليل القوة \(\sqrt{7}\)).
س2. استعمل \((a-b)^2\).
س3. اضرب في المرافق \(\sqrt{7}+2\).
س4. اضرب البسط والمقام في المرافق \(\sqrt{5}+1\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[A=4\sqrt{7}+2\times 3\sqrt{7}-2\sqrt{7}=4\sqrt{7}+6\sqrt{7}-2\sqrt{7}\]
س2.
\[B=(2\sqrt{3})^2-2\times 2\sqrt{3}+1=12-4\sqrt{3}+1\]
س3.
\[C=\dfrac{\sqrt{7}+2}{(\sqrt{7})^2-2^2}=\dfrac{\sqrt{7}+2}{7-4}\]
س4.
\[D=\dfrac{(\sqrt{5}+1)^2}{(\sqrt{5})^2-1^2}=\dfrac{6+2\sqrt{5}}{4}\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. إذن \(A=8\sqrt{7}\) (\(4+6-2=8\)).
س2. إذن \(B=13-4\sqrt{3}\).
س3. بما أنّ \(7-4=3\) فإنّ \(C=\dfrac{\sqrt{7}+2}{3}\).
س4. إذن \(D=\dfrac{6+2\sqrt{5}}{4}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\).
التمرين 2
حسابيات وقابلية القسمة (3 نقاط)

نصّ التمرين

  1. احسب \(PGCD(528\,;\,180)\).
  2. بسّط \(\dfrac{528}{180}\).
  3. هل \(149\) أوّلي؟ علّل.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. خوارزمية إقليدس.
س2. اقسم على القاسم المشترك الأكبر.
س3. اختبر القسمة على الأوّليّات \(\le\sqrt{149}\) أي \(2,3,5,7,11\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[528=180\times 2+168\;;\;180=168\times 1+12\;;\;168=12\times 14+0\]
س2.
\[\dfrac{528}{180}=\dfrac{528\div 12}{180\div 12}=\dfrac{44}{15}\]
س3. \(149\) فردي، \(1+4+9=14\)، و\(149=11\times 13+6\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. إذن \(PGCD(528\,;\,180)=12\).
س2. الكسر غير القابل للاختزال هو \(\dfrac{44}{15}\).
س3. \(149\) عدد أوّلي.
التمرين 3
معادلات وجُمَل ومسائل (3 نقاط)

نصّ التمرين

  1. حلّ: \(5x-3=3x+11\)
  2. حلّ الجملة: \(\begin{cases}2x+3y=5\\ x-2y=13\end{cases}\)
  3. مجموع ثلاثة أعداد صحيحة متتالية هو \(72\). أوجدها.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. اجمع حدود المجهول.
س2. عبّر عن \(x\) من الثانية.
س3. سمِّ الأعداد \(n,\;n+1,\;n+2\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[5x-3x=11+3\;\Longrightarrow\;2x=14\;\Longrightarrow\;x=7\]
س2.
\[x=13+2y\;\Longrightarrow\;2(13+2y)+3y=5\;\Longrightarrow\;26+7y=5\;\Longrightarrow\;y=-3\;,\;x=7\]
س3.
\[n+(n+1)+(n+2)=72\;\Longrightarrow\;3n+3=72\;\Longrightarrow\;n=23\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. \(x=7\). التحقق: \(5\times7-3=32=3\times7+11\). ✓
س2. \((x\,;\,y)=(7\,;\,-3)\). التحقق: \(2\times7+3\times(-3)=5\) و\(7-2\times(-3)=13\). ✓
س3. الأعداد \(23\) و\(24\) و\(25\). التحقق: \(23+24+25=72\). ✓
التمرين 4
هندسة مستوية — مثلث متقايس الأضلاع (4 نقاط)

نصّ التمرين

\(ABC\) مثلث متقايس الأضلاع طول ضلعه \(8\) صم، \(H\) منتصف \([BC]\) و\(G\) مركز ثقله.

  1. بيّن أنّ الارتفاع \(AH=4\sqrt{3}\).
  2. احسب مساحة المثلث.
  3. احسب \(AG\).
A B C 8 8
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. المثلث \(AHB\) قائم في \(H\) مع \(HB=4\).
س2. المساحة \(=\dfrac{BC\times AH}{2}\).
س3. \(AG=\dfrac{2}{3}AH\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[AH^2=8^2-4^2=64-16=48\;\Longrightarrow\;AH=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\]
س2.
\[\mathcal{A}=\dfrac{8\times 4\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}\]
س3.
\[AG=\dfrac{2}{3}\times 4\sqrt{3}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. الارتفاع \(AH=4\sqrt{3}\) صم.
س2. المساحة \(16\sqrt{3}\) صم² (حوالي \(27{,}7\) صم²).
س3. \(AG=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\approx 4{,}6\) صم.
التمرين 5
هندسة في الفضاء — هرم منتظم (3 نقاط)

نصّ التمرين

  1. هرم منتظم قاعدته مربّع طول ضلعه \(8\) صم وارتفاعه \(SO=3\) صم. احسب حجمه.
  2. احسب الارتفاع الجانبي \(SI\) (\(I\) منتصف ضلع من القاعدة).
  3. احسب المساحة الجانبية للهرم.
S
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. الحجم \(=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}_{base}\,h\).
س2. المثلث \(SOI\) قائم في \(O\) مع \(OI=4\).
س3. المساحة الجانبية \(=4\times\dfrac{côté\times SI}{2}\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[V=\dfrac{1}{3}\times 8^2\times 3=\dfrac{1}{3}\times 64\times 3=64\]
س2.
\[SI^2=SO^2+OI^2=3^2+4^2=25\;\Longrightarrow\;SI=5\]
س3.
\[\mathcal{A}_{lat}=4\times\dfrac{8\times 5}{2}=80\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. الحجم \(V=64\) صم³.
س2. الارتفاع الجانبي \(SI=5\) صم.
س3. المساحة الجانبية \(80\) صم².
التمرين 6
إحصاء (3 نقاط)

نصّ التمرين

سُجّلت سرعات \(50\) سيارة (بـ\(km/h\)):

السرعة6080100120140
عدد السيارات61016126
  1. احسب العدد الجملي وحدّد المدى.
  2. احسب السرعة المتوسّطة (المعدّل).
  3. حدّد الوسيط والمنوال.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. المدى \(=\text{أكبر قيمة}-\text{أصغر قيمة}\).
س2. المعدّل \(=\dfrac{\sum(\text{سرعة}\times\text{عدد})}{N}\).
س3. الرتبتان \(25\) و\(26\) للوسيط.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[N=6+10+16+12+6=50\;;\;\text{المدى}=140-60=80\]
س2.
\[\overline{x}=\dfrac{60\cdot6+80\cdot10+100\cdot16+120\cdot12+140\cdot6}{50}=\dfrac{5040}{50}=\dfrac{504}{5}\]
س3. التكرارات التراكمية \(6,16,32,\dots\): الرتبتان \(25\) و\(26\) ضمن \(100\)؛ أكبر تكرار \(16\) عند \(100\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. العدد الجملي \(50\) والمدى \(80\) \(km/h\).
س2. المعدّل \(\overline{x}=\dfrac{504}{5}=100{,}8\) \(km/h\).
س3. الوسيط \(=100\) والمنوال \(=100\) \(km/h\).
→ الموضوع السابق 🏠 القائمة الموضوع التالي ←