فرض تأليفي — الرياضيات

السنة التاسعة أساسيالمدّة: ساعتانالموضوع 720 نقطة
التمرين 1
حساب عددي (4 نقاط)

نصّ التمرين

  1. بسّط: \(A=\sqrt{245}+\sqrt{45}-\sqrt{20}\)
  2. انشر وبسّط: \(B=(2\sqrt{5}-1)^2\)
  3. اجعل المقام ناطقًا: \(C=\dfrac{1}{\sqrt{11}-\sqrt{5}}\)
  4. احسب: \(D=\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-2}\)
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. فكّك إلى مربّعات كاملة (دليل القوة \(\sqrt{5}\)).
س2. استعمل \((a-b)^2\).
س3. اضرب في المرافق \(\sqrt{11}+\sqrt{5}\).
س4. اقلب ثمّ ربّع.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[A=7\sqrt{5}+3\sqrt{5}-2\sqrt{5}\]
س2.
\[B=(2\sqrt{5})^2-2\times 2\sqrt{5}+1=20-4\sqrt{5}+1\]
س3.
\[C=\dfrac{\sqrt{11}+\sqrt{5}}{11-5}\]
س4.
\[D=\left(\dfrac{5}{3}\right)^2=\dfrac{25}{9}\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. إذن \(A=8\sqrt{5}\) (\(7+3-2=8\)).
س2. إذن \(B=21-4\sqrt{5}\).
س3. بما أنّ \(11-5=6\) فإنّ \(C=\dfrac{\sqrt{11}+\sqrt{5}}{6}\).
س4. إذن \(D=\dfrac{25}{9}\).
التمرين 2
حسابيات وقابلية القسمة (3 نقاط)

نصّ التمرين

  1. احسب \(PGCD(462\,;\,168)\).
  2. بسّط \(\dfrac{462}{168}\).
  3. هل \(131\) أوّلي؟ علّل.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. خوارزمية إقليدس.
س2. اقسم على القاسم المشترك الأكبر.
س3. اختبر القسمة على \(2,3,5,7,11\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[462=168\times 2+126\;;\;168=126\times 1+42\;;\;126=42\times 3+0\]
س2.
\[\dfrac{462}{168}=\dfrac{462\div 42}{168\div 42}=\dfrac{11}{4}\]
س3. \(131\) فردي، \(1+3+1=5\)، و\(131=11\times 11+10\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. إذن \(PGCD(462\,;\,168)=42\).
س2. الكسر غير القابل للاختزال هو \(\dfrac{11}{4}\).
س3. \(131\) عدد أوّلي.
التمرين 3
معادلات وجُمَل ومسائل (3 نقاط)

نصّ التمرين

  1. حلّ: \(3x-4=x+\dfrac{12}{5}\)
  2. حلّ الجملة: \(\begin{cases}2x+y=10\\ x+3y=15\end{cases}\)
  3. مستطيل محيطه \(30\) صم وطوله ضِعف عرضه. أوجد بُعدَيه.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. اجمع حدود المجهول.
س2. عبّر عن \(y\) من الأولى.
س3. نصف المحيط \(=L+l=15\) مع \(L=2l\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[3x-x=\dfrac{12}{5}+4\;\Longrightarrow\;2x=\dfrac{32}{5}\;\Longrightarrow\;x=\dfrac{16}{5}\]
س2.
\[y=10-2x\;\Longrightarrow\;x+3(10-2x)=15\;\Longrightarrow\;-5x=-15\;\Longrightarrow\;x=3\;,\;y=4\]
س3.
\[L+l=15\;,\;L=2l\;\Longrightarrow\;3l=15\;\Longrightarrow\;l=5\;,\;L=10\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. \(x=\dfrac{16}{5}\). (التحقق بالتعويض).
س2. \((x\,;\,y)=(3\,;\,4)\). التحقق: \(2\times3+4=10\) و\(3+3\times4=15\). ✓
س3. العرض \(5\) صم والطول \(10\) صم. التحقق: \(2(5+10)=30\). ✓
التمرين 4
هندسة مستوية — الزاوية المحيطية (4 نقاط)

نصّ التمرين

\((\mathcal{C})\) دائرة قطرها \([BC]\) حيث \(BC=13\) صم، و\(A\) نقطة منها حيث \(AB=5\) صم.

  1. بيّن أنّ المثلث \(ABC\) قائم في \(A\).
  2. احسب \(AC\).
  3. احسب مساحة المثلث.
B C O BC = 13
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. الزاوية المحيطية المقابلة لقطر قائمة.
س2. فيثاغورث في المثلث القائم.
س3. مساحة مثلث قائم.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[A\in(\mathcal{C})\text{ وَ }[BC]\text{ قطر}\;\Longrightarrow\;\widehat{BAC}=90^\circ\]
س2.
\[AC^2=BC^2-AB^2=13^2-5^2=169-25=144\]
س3.
\[\mathcal{A}=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{5\times 12}{2}=30\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. المثلث قائم في \(A\).
س2. \(AC=\sqrt{144}=12\) صم. التحقق: \(5^2+12^2=169=13^2\). ✓
س3. المساحة \(30\) صم².
التمرين 5
هندسة في الفضاء — موشور قائم (3 نقاط)

نصّ التمرين

  1. موشور قائم قاعدته مثلث قائم أضلاعه \(3\)، \(4\)، \(5\) (صم) وارتفاعه \(10\) صم. احسب حجمه.
  2. احسب مساحته الجانبية.
  3. احسب مساحته الجملية.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. الحجم \(=\mathcal{A}_{base}\times h\) مع \(\mathcal{A}_{base}=\dfrac{3\times4}{2}\).
س2. المساحة الجانبية \(=\text{محيط القاعدة}\times h\).
س3. المساحة الجملية \(=\mathcal{A}_{lat}+2\mathcal{A}_{base}\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[V=\dfrac{3\times 4}{2}\times 10=6\times 10=60\]
س2.
\[\mathcal{A}_{lat}=(3+4+5)\times 10=120\]
س3.
\[\mathcal{A}_{tot}=120+2\times 6=132\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. الحجم \(V=60\) صم³.
س2. المساحة الجانبية \(120\) صم².
س3. المساحة الجملية \(132\) صم².
التمرين 6
إحصاء (3 نقاط)

نصّ التمرين

علامات مجموعة من التلاميذ:

العلامة710121518
العدد5101492
  1. احسب العدد الجملي.
  2. احسب المعدّل الحسابي.
  3. حدّد الوسيط والمنوال.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. اجمع التكرارات.
س2. المعدّل \(=\dfrac{\sum(\text{علامة}\times\text{عدد})}{N}\).
س3. الرتبتان \(20\) و\(21\) للوسيط.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[N=5+10+14+9+2=40\]
س2.
\[\overline{x}=\dfrac{7\cdot5+10\cdot10+12\cdot14+15\cdot9+18\cdot2}{40}=\dfrac{474}{40}=\dfrac{237}{20}\]
س3. التكرارات التراكمية \(5,15,29,\dots\): الرتبتان \(20\) و\(21\) ضمن العلامة \(12\)؛ أكبر تكرار \(14\) عند \(12\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. العدد الجملي \(N=40\).
س2. المعدّل \(\overline{x}=\dfrac{237}{20}=11{,}85\).
س3. الوسيط \(=12\) والمنوال \(=12\).
→ الموضوع السابق 🏠 القائمة الموضوع التالي ←