فرض تأليفي — الرياضيات
السنة التاسعة أساسي
المدّة: ساعتان
الموضوع 6
20 نقطة
التمرين 1
حساب عددي (4 نقاط)
نصّ التمرين
بسّط:
\(A=\sqrt{200}-\sqrt{18}-\sqrt{8}\)
انشر وبسّط:
\(B=(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)\)
اجعل المقام ناطقًا:
\(C=\dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\)
احسب:
\(D=\left(\dfrac{-3}{2}\right)^{-2}\)
لم تبدأ بعد
💡 توجيهات للتفكير
📝 منهجية الحل
✅ الحل النهائي
🔄 إعادة
💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط
س1.
فكّك إلى مربّعات كاملة.
س2.
استعمل
\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)
.
س3.
اضرب في المرافق
\(\sqrt{7}+\sqrt{5}\)
.
س4.
اقلب ثمّ ربّع.
📝 الخطوة 2 — التطبيق
س1.
\[A=10\sqrt{2}-3\sqrt{2}-2\sqrt{2}\]
س2.
\[B=(2\sqrt{3})^2-1^2=12-1\]
س3.
\[C=\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{7-5}\]
س4.
\[D=\left(\dfrac{2}{-3}\right)^2=\dfrac{4}{9}\]
✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة
س1.
إذن
\(A=5\sqrt{2}\)
(
\(10-3-2=5\)
).
س2.
إذن
\(B=11\)
.
س3.
بما أنّ
\(7-5=2\)
فإنّ
\(C=\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}\)
.
س4.
إذن
\(D=\dfrac{4}{9}\)
(موجب).
التمرين 2
حسابيات وقابلية القسمة (3 نقاط)
نصّ التمرين
احسب
\(PGCD(420\,;\,126)\)
.
بسّط
\(\dfrac{420}{126}\)
.
هل
\(127\)
أوّلي؟ علّل.
لم تبدأ بعد
💡 توجيهات للتفكير
📝 منهجية الحل
✅ الحل النهائي
🔄 إعادة
💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط
س1.
خوارزمية إقليدس.
س2.
اقسم على القاسم المشترك الأكبر.
س3.
اختبر القسمة على
\(2,3,5,7,11\)
(لأنّ
\(11^2=121<127\)
).
📝 الخطوة 2 — التطبيق
س1.
\[420=126\times 3+42\;;\;126=42\times 3+0\]
س2.
\[\dfrac{420}{126}=\dfrac{420\div 42}{126\div 42}=\dfrac{10}{3}\]
س3.
\(127\)
فردي،
\(1+2+7=10\)
، و
\(127=11\times 11+6\)
.
✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة
س1.
إذن
\(PGCD(420\,;\,126)=42\)
.
س2.
الكسر غير القابل للاختزال هو
\(\dfrac{10}{3}\)
.
س3.
\(127\)
عدد أوّلي.
التمرين 3
معادلات وجُمَل ومسائل (3 نقاط)
نصّ التمرين
حلّ:
\(3x+5=6x+16\)
حلّ الجملة:
\(\begin{cases}x+y=7\\ 3x-y=1\end{cases}\)
في قسم من
\(30\)
تلميذًا، عدد الفتيات يفوق عدد الفتيان بـ
\(6\)
. أوجد عددهما.
لم تبدأ بعد
💡 توجيهات للتفكير
📝 منهجية الحل
✅ الحل النهائي
🔄 إعادة
💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط
س1.
اجمع حدود المجهول في طرف.
س2.
اجمع المعادلتين لإزالة
\(y\)
.
س3.
سمِّ عدد الفتيان
\(g\)
.
📝 الخطوة 2 — التطبيق
س1.
\[3x-6x=16-5\;\Longrightarrow\;-3x=11\;\Longrightarrow\;x=-\dfrac{11}{3}\]
س2.
\[(x+y)+(3x-y)=7+1\;\Longrightarrow\;4x=8\;\Longrightarrow\;x=2\;,\;y=5\]
س3.
\[g+(g+6)=30\;\Longrightarrow\;2g=24\;\Longrightarrow\;g=12\]
✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة
س1.
\(x=-\dfrac{11}{3}\)
. (التحقق بالتعويض).
س2.
\((x\,;\,y)=(2\,;\,5)\)
. التحقق:
\(2+5=7\)
و
\(3\times2-5=1\)
. ✓
س3.
\(12\)
فتى و
\(18\)
فتاة. التحقق:
\(12+18=30\)
و
\(18-12=6\)
. ✓
التمرين 4
هندسة مستوية — فيثاغورث (4 نقاط)
نصّ التمرين
المثلث
\(ABC\)
قائم في
\(A\)
حيث
\(AB=8\)
و
\(AC=15\)
(صم).
احسب
\(BC\)
.
احسب مساحة المثلث.
احسب الارتفاع
\(AH\)
الصادر من
\(A\)
نحو
\([BC]\)
.
الشكل
س1
س2
A
B
C
AB = 8
AC = 15
BC = 17
Aire = 60 cm²
لم تبدأ بعد
💡 توجيهات للتفكير
📝 منهجية الحل
✅ الحل النهائي
🔄 إعادة
💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط
س1.
استعمل فيثاغورث.
س2.
مساحة مثلث قائم
\(=\dfrac{\text{ضلعا القائمة}}{2}\)
.
س3.
استعمل المساحة بطريقة أخرى.
📝 الخطوة 2 — التطبيق
س1.
\[BC^2=AB^2+AC^2=8^2+15^2=64+225=289\]
س2.
\[\mathcal{A}=\dfrac{8\times 15}{2}=60\]
س3.
\[60=\dfrac{BC\times AH}{2}=\dfrac{17\times AH}{2}\;\Longrightarrow\;AH=\dfrac{120}{17}\]
✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة
س1.
\(BC=\sqrt{289}=17\)
صم.
س2.
المساحة
\(60\)
صم².
س3.
\(AH=\dfrac{120}{17}\approx 7{,}06\)
صم.
التمرين 5
هندسة في الفضاء — مخروط (3 نقاط)
نصّ التمرين
مخروط نصف قطر قاعدته
\(r=6\)
وارتفاعه
\(h=8\)
(صم). احسب راسمه
\(g\)
.
احسب حجمه.
احسب مساحته الجانبية.
الشكل
القياسات
الحجم
h = 8
r = 6
g = 10
V = 96π cm³
لم تبدأ بعد
💡 توجيهات للتفكير
📝 منهجية الحل
✅ الحل النهائي
🔄 إعادة
💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط
س1.
فيثاغورث:
\(g^2=r^2+h^2\)
.
س2.
الحجم
\(=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h\)
.
س3.
المساحة الجانبية
\(=\pi r g\)
.
📝 الخطوة 2 — التطبيق
س1.
\[g^2=6^2+8^2=100\;\Longrightarrow\;g=10\]
س2.
\[V=\dfrac{1}{3}\pi\times 36\times 8=96\pi\]
س3.
\[\mathcal{A}_{lat}=\pi\times 6\times 10=60\pi\]
✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة
س1.
الراسم
\(g=10\)
صم.
س2.
الحجم
\(V=96\pi\)
صم³.
س3.
المساحة الجانبية
\(60\pi\)
صم².
التمرين 6
إحصاء (3 نقاط)
نصّ التمرين
علامات مجموعة من التلاميذ:
العلامة
9
11
12
14
17
العدد
8
12
10
6
4
احسب العدد الجملي.
احسب المعدّل الحسابي.
حدّد الوسيط والمنوال.
لم تبدأ بعد
💡 توجيهات للتفكير
📝 منهجية الحل
✅ الحل النهائي
🔄 إعادة
💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط
س1.
اجمع التكرارات.
س2.
المعدّل
\(=\dfrac{\sum(\text{علامة}\times\text{عدد})}{N}\)
.
س3.
الرتبتان
\(20\)
و
\(21\)
للوسيط.
📝 الخطوة 2 — التطبيق
س1.
\[N=8+12+10+6+4=40\]
س2.
\[\overline{x}=\dfrac{9\cdot8+11\cdot12+12\cdot10+14\cdot6+17\cdot4}{40}=\dfrac{476}{40}=\dfrac{119}{10}\]
س3.
التكرارات التراكمية
\(8,20,30,\dots\)
: الرتبة
\(20\)
عند
\(11\)
والرتبة
\(21\)
عند
\(12\)
؛ أكبر تكرار
\(12\)
عند
\(11\)
.
✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة
س1.
العدد الجملي
\(N=40\)
.
س2.
المعدّل
\(\overline{x}=\dfrac{119}{10}=11{,}9\)
.
س3.
الوسيط
\(=\dfrac{11+12}{2}=11{,}5\)
والمنوال
\(=11\)
.
→ الموضوع السابق
🏠 القائمة
الموضوع التالي ←