فرض تأليفي — الرياضيات

السنة التاسعة أساسيالمدّة: ساعتانالموضوع 520 نقطة
التمرين 1
حساب عددي (4 نقاط)

نصّ التمرين

  1. بسّط: \(A=\sqrt{98}-\sqrt{50}+\sqrt{8}\)
  2. انشر وبسّط: \(B=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2\)
  3. اجعل المقام ناطقًا: \(C=\dfrac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}\)
  4. احسب: \(D=\left(\dfrac{2}{7}\right)^{-2}\)
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. فكّك إلى مربّعات كاملة.
س2. استعمل \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
س3. اضرب في المرافق \(\sqrt{6}+\sqrt{5}\).
س4. اقلب ثمّ ربّع.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[A=7\sqrt{2}-5\sqrt{2}+2\sqrt{2}\]
س2.
\[B=3-2\sqrt{6}+2\]
س3.
\[C=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{6-5}\]
س4.
\[D=\left(\dfrac{7}{2}\right)^2=\dfrac{49}{4}\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. إذن \(A=4\sqrt{2}\) (\(7-5+2=4\)).
س2. إذن \(B=5-2\sqrt{6}\).
س3. بما أنّ \(6-5=1\) فإنّ \(C=\sqrt{6}+\sqrt{5}\).
س4. إذن \(D=\dfrac{49}{4}\).
التمرين 2
حسابيات وقابلية القسمة (3 نقاط)

نصّ التمرين

  1. احسب \(PGCD(315\,;\,210)\).
  2. بسّط \(\dfrac{315}{210}\).
  3. هل \(113\) أوّلي؟ علّل.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. خوارزمية إقليدس.
س2. اقسم على القاسم المشترك الأكبر.
س3. اختبر القسمة على \(2,3,5,7\) (لأنّ \(11^2=121>113\)).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[315=210\times 1+105\;;\;210=105\times 2+0\]
س2.
\[\dfrac{315}{210}=\dfrac{315\div 105}{210\div 105}=\dfrac{3}{2}\]
س3. \(113\) فردي، \(1+1+3=5\)، لا ينتهي بـ\(0/5\)، و\(113=7\times 16+1\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. إذن \(PGCD(315\,;\,210)=105\).
س2. الكسر غير القابل للاختزال هو \(\dfrac{3}{2}\).
س3. \(113\) عدد أوّلي.
التمرين 3
معادلات وجُمَل ومسائل (3 نقاط)

نصّ التمرين

  1. حلّ: \(4x-3=2x+\dfrac{13}{2}\)
  2. حلّ الجملة: \(\begin{cases}2x+3y=4\\ x-y=7\end{cases}\)
  3. مجموع عددين \(40\) وفرقهما \(8\). أوجد العددين.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. اجمع حدود المجهول واضرب في \(2\) إن لزم.
س2. عبّر عن \(x\) من الثانية.
س3. اكتب جملة \(\begin{cases}x+y=40\\ x-y=8\end{cases}\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[4x-2x=\dfrac{13}{2}+3\;\Longrightarrow\;2x=\dfrac{19}{2}\;\Longrightarrow\;x=\dfrac{19}{4}\]
س2.
\[x=7+y\;\Longrightarrow\;2(7+y)+3y=4\;\Longrightarrow\;14+5y=4\;\Longrightarrow\;y=-2\;,\;x=5\]
س3.
\[2x=48\;\Longrightarrow\;x=24\;,\;y=16\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. \(x=\dfrac{19}{4}\). (التحقق بالتعويض).
س2. \((x\,;\,y)=(5\,;\,-2)\). التحقق: \(2\times5+3\times(-2)=4\) و\(5-(-2)=7\). ✓
س3. العددان \(24\) و\(16\). التحقق: \(24+16=40\) و\(24-16=8\). ✓
التمرين 4
هندسة مستوية — مثلث متقايس الأضلاع (4 نقاط)

نصّ التمرين

\(ABC\) مثلث متقايس الأضلاع طول ضلعه \(6\) صم، و\(H\) منتصف \([BC]\)، و\(G\) مركز ثقله.

  1. بيّن أنّ الارتفاع \(AH=3\sqrt{3}\).
  2. احسب مساحة المثلث.
  3. احسب \(AG\).
A B C 6 6
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. المثلث \(AHB\) قائم في \(H\) مع \(HB=3\): استعمل فيثاغورث.
س2. المساحة \(=\dfrac{BC\times AH}{2}\).
س3. مركز الثقل على الوسيط على بعد \(\dfrac{2}{3}\) من الرأس: \(AG=\dfrac{2}{3}AH\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[AH^2=AB^2-HB^2=6^2-3^2=27\;\Longrightarrow\;AH=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\]
س2.
\[\mathcal{A}=\dfrac{6\times 3\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\]
س3.
\[AG=\dfrac{2}{3}\times 3\sqrt{3}=2\sqrt{3}\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. الارتفاع \(AH=3\sqrt{3}\) صم.
س2. المساحة \(9\sqrt{3}\) صم² (حوالي \(15{,}6\) صم²).
س3. \(AG=2\sqrt{3}\) صم.
التمرين 5
هندسة في الفضاء — كرة (3 نقاط)

نصّ التمرين

  1. كرة نصف قطرها \(r=3\) صم. احسب مساحتها.
  2. احسب حجمها.
  3. إذا ضاعفنا نصف القطر، فبِكم يُضرب الحجم؟ احسب الحجم الجديد.
O
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. مساحة الكرة \(=4\pi r^2\).
س2. حجم الكرة \(=\dfrac{4}{3}\pi r^3\).
س3. عند ضرب الأطوال في \(2\) يُضرب الحجم في \(2^3=8\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[\mathcal{A}=4\pi r^2=4\pi\times 9=36\pi\]
س2.
\[V=\dfrac{4}{3}\pi r^3=\dfrac{4}{3}\pi\times 27=36\pi\]
س3.
\[V'=8\times 36\pi=288\pi\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. المساحة \(36\pi\) صم².
س2. الحجم \(V=36\pi\) صم³.
س3. الحجم الجديد \(288\pi\) صم³.
التمرين 6
إحصاء (3 نقاط)

نصّ التمرين

علامات مجموعة من التلاميذ:

العلامة68101214
العدد691285
  1. احسب العدد الجملي.
  2. احسب المعدّل الحسابي.
  3. حدّد الوسيط والمنوال.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. اجمع التكرارات.
س2. المعدّل \(=\dfrac{\sum(\text{علامة}\times\text{عدد})}{N}\).
س3. الرتبتان \(20\) و\(21\) للوسيط.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[N=6+9+12+8+5=40\]
س2.
\[\overline{x}=\dfrac{6\cdot6+8\cdot9+10\cdot12+12\cdot8+14\cdot5}{40}=\dfrac{394}{40}=\dfrac{197}{20}\]
س3. التكرارات التراكمية \(6,15,27,\dots\): الرتبتان \(20\) و\(21\) ضمن العلامة \(10\)؛ أكبر تكرار \(12\) عند \(10\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. العدد الجملي \(N=40\).
س2. المعدّل \(\overline{x}=\dfrac{197}{20}=9{,}85\).
س3. الوسيط \(=10\) والمنوال \(=10\).
→ الموضوع السابق 🏠 القائمة الموضوع التالي ←