فرض تأليفي — الرياضيات

السنة التاسعة أساسيالمدّة: ساعتانالموضوع 420 نقطة
التمرين 1
حساب عددي (4 نقاط)

نصّ التمرين

  1. بسّط: \(A=\sqrt{72}+2\sqrt{32}-\sqrt{50}\)
  2. انشر وبسّط: \(B=(1+\sqrt{2})^2\)
  3. اجعل المقام ناطقًا: \(C=\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\)
  4. احسب: \(D=\left(\dfrac{-2}{3}\right)^{-3}\)
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. فكّك إلى مربّعات كاملة ثمّ اجمع في \(\sqrt{2}\).
س2. استعمل \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).
س3. اضرب في المرافق \(\sqrt{5}+\sqrt{3}\).
س4. دليل القوة السالب: اقلب الكسر ثمّ ارفعه للأس \(3\) (انتبه للإشارة).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[A=6\sqrt{2}+2\times 4\sqrt{2}-5\sqrt{2}=6\sqrt{2}+8\sqrt{2}-5\sqrt{2}\]
س2.
\[B=1+2\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=1+2\sqrt{2}+2\]
س3.
\[C=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3}\]
س4.
\[D=\left(\dfrac{-3}{2}\right)^{3}=\dfrac{-27}{8}\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. إذن \(A=9\sqrt{2}\) (بما أنّ \(6+8-5=9\)).
س2. إذن \(B=3+2\sqrt{2}\).
س3. بما أنّ \(5-3=2\) فإنّ \(C=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}\).
س4. إذن \(D=-\dfrac{27}{8}\) (سالب لأنّ دليل القوة سالب والأس فردي).
التمرين 2
حسابيات وقابلية القسمة (3 نقاط)

نصّ التمرين

  1. احسب \(PGCD(504\,;\,180)\).
  2. بسّط \(\dfrac{504}{180}\).
  3. هل \(101\) أوّلي؟ علّل.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. خوارزمية إقليدس.
س2. اقسم على القاسم المشترك الأكبر.
س3. اختبر القسمة على \(2,3,5,7\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[504=180\times 2+144\;;\;180=144\times 1+36\;;\;144=36\times 4+0\]
س2.
\[\dfrac{504}{180}=\dfrac{504\div 36}{180\div 36}=\dfrac{14}{5}\]
س3. \(101\) فردي، \(1+0+1=2\)، لا ينتهي بـ\(0/5\)، و\(101=7\times 14+3\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. إذن \(PGCD(504\,;\,180)=36\).
س2. الكسر غير القابل للاختزال هو \(\dfrac{14}{5}\).
س3. \(101\) عدد أوّلي.
التمرين 3
معادلات وجُمَل ومسائل (3 نقاط)

نصّ التمرين

  1. حلّ: \(5x-4=3x+8\)
  2. حلّ الجملة: \(\begin{cases}3x+2y=10\\ x-y=5\end{cases}\)
  3. عمر أب يساوي ثلاثة أمثال عمر ابنه. بعد \(10\) سنوات يصبح ضعف عمره. أوجد العمرين.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. اجمع حدود المجهول في طرف.
س2. عبّر عن \(x\) من الثانية ثمّ عوّض.
س3. سمِّ عمر الابن \(s\) فيكون عمر الأب \(3s\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[5x-3x=8+4\;\Longrightarrow\;2x=12\;\Longrightarrow\;x=6\]
س2.
\[x=5+y\;\Longrightarrow\;3(5+y)+2y=10\;\Longrightarrow\;15+5y=10\;\Longrightarrow\;y=-1\;,\;x=4\]
س3.
\[3s+10=2(s+10)\;\Longrightarrow\;3s+10=2s+20\;\Longrightarrow\;s=10\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. \(x=6\). التحقق: \(5\times 6-4=26=3\times 6+8\). ✓
س2. \((x\,;\,y)=(4\,;\,-1)\). التحقق: \(3\times4+2\times(-1)=10\) و\(4-(-1)=5\). ✓
س3. عمر الابن \(10\) سنوات والأب \(30\) سنة. التحقق: \(40=2\times 20\). ✓
التمرين 4
هندسة مستوية — طاليس (وضع الفراشة) (4 نقاط)

نصّ التمرين

النقاط \(A,C,D\) على استقامة، والنقاط \(B,C,E\) على استقامة، و\((AB)\parallel(DE)\). لدينا \(CA=3\)، \(CB=4\)، \(AB=5\)، \(CD=6\) (صم).

  1. احسب \(CE\).
  2. احسب \(DE\).
  3. بيّن أنّ المثلث \(ACB\) قائم في \(C\) ثمّ احسب مساحة المثلث \(DCE\).
A B C AB = 5 CA = 3 CB = 4
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. حسب طاليس: \(\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{CD}{CA}\).
س2. حسب طاليس: \(\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{CD}{CA}\).
س3. لاحظ أنّ \(3^2+4^2=5^2\) ثمّ استعمل أنّ الزاوية في \(C\) قائمة.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{CD}{CA}\;\Longrightarrow\;CE=\dfrac{CB\times CD}{CA}=\dfrac{4\times 6}{3}=8\]
س2.
\[\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{CD}{CA}\;\Longrightarrow\;DE=\dfrac{AB\times CD}{CA}=\dfrac{5\times 6}{3}=10\]
س3.
\[CA^2+CB^2=9+16=25=AB^2\;\Rightarrow\;\widehat{C}=90^\circ\;;\;\mathcal{A}_{DCE}=\dfrac{CD\times CE}{2}=\dfrac{6\times 8}{2}=24\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. \(CE=8\) صم.
س2. \(DE=10\) صم.
س3. المثلث \(ACB\) قائم في \(C\)، ومساحة \(DCE\) هي \(24\) صم².
التمرين 5
هندسة في الفضاء — هرم منتظم (3 نقاط)

نصّ التمرين

  1. هرم منتظم قاعدته مربّع طول ضلعه \(6\) صم وارتفاعه \(SO=4\) صم. احسب حجمه.
  2. احسب الارتفاع الجانبي (ارتفاع وجه) \(SI\) حيث \(I\) منتصف ضلع من القاعدة.
  3. احسب المساحة الجانبية للهرم.
S
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. حجم الهرم \(=\dfrac{1}{3}\times \mathcal{A}_{base}\times h\).
س2. المثلث \(SOI\) قائم في \(O\) مع \(OI=\dfrac{côté}{2}=3\): استعمل فيثاغورث.
س3. المساحة الجانبية \(=4\times\dfrac{côté\times SI}{2}\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[V=\dfrac{1}{3}\times 6^2\times 4=\dfrac{1}{3}\times 36\times 4=48\]
س2.
\[SI^2=SO^2+OI^2=4^2+3^2=25\;\Longrightarrow\;SI=5\]
س3.
\[\mathcal{A}_{lat}=4\times\dfrac{6\times 5}{2}=4\times 15=60\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. الحجم \(V=48\) صم³.
س2. الارتفاع الجانبي \(SI=5\) صم.
س3. المساحة الجانبية \(60\) صم².
التمرين 6
إحصاء (3 نقاط)

نصّ التمرين

علامات مجموعة من التلاميذ:

العلامة791011131518
العدد58107532
  1. احسب العدد الجملي.
  2. احسب المعدّل الحسابي.
  3. حدّد الوسيط والمنوال.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. اجمع التكرارات.
س2. المعدّل \(=\dfrac{\sum(\text{علامة}\times\text{عدد})}{N}\).
س3. الوسيط معدّل قيمتي الرتبتين \(20\) و\(21\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[N=5+8+10+7+5+3+2=40\]
س2.
\[\overline{x}=\dfrac{7\cdot5+9\cdot8+10\cdot10+11\cdot7+13\cdot5+15\cdot3+18\cdot2}{40}=\dfrac{430}{40}=\dfrac{43}{4}\]
س3. التكرارات التراكمية \(5,13,23,\dots\): الرتبتان \(20\) و\(21\) ضمن العلامة \(10\)؛ أكبر تكرار \(10\) عند العلامة \(10\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. العدد الجملي \(N=40\).
س2. المعدّل \(\overline{x}=\dfrac{43}{4}=10{,}75\).
س3. الوسيط \(=10\) والمنوال \(=10\).
→ الموضوع السابق 🏠 القائمة الموضوع التالي ←