فرض تأليفي — الرياضيات
السنة التاسعة أساسي
المدّة: ساعتان
الموضوع 3
20 نقطة
التمرين 1
حساب عددي (4 نقاط)
نصّ التمرين
بسّط:
\(A=\sqrt{12}+\sqrt{27}-\sqrt{48}\)
انشر وبسّط:
\(B=(2\sqrt{5}-1)^2\)
اجعل المقام ناطقًا:
\(C=\dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}\)
احسب:
\(D=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}\)
لم تبدأ بعد
💡 توجيهات للتفكير
📝 منهجية الحل
✅ الحل النهائي
🔄 إعادة
💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط
س1.
فكّك كلّ جذر إلى مربّع كامل ثمّ اجمع الحدود في
\(\sqrt{3}\)
.
س2.
استعمل
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
.
س3.
اضرب في المرافق
\(\sqrt{7}+\sqrt{3}\)
.
س4.
دليل القوة السالب: اقلب الكسر ثمّ ربّعه.
📝 الخطوة 2 — التطبيق
س1.
\[A=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-4\sqrt{3}\]
س2.
\[B=(2\sqrt{5})^2-2\times 2\sqrt{5}+1=20-4\sqrt{5}+1\]
س3.
\[C=\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2}=\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{7-3}\]
س4.
\[D=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}\]
✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة
س1.
إذن
\(A=\sqrt{3}\)
(بما أنّ
\(2+3-4=1\)
).
س2.
إذن
\(B=21-4\sqrt{5}\)
.
س3.
بما أنّ
\(7-3=4\)
فإنّ
\(C=\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{4}\)
.
س4.
إذن
\(D=\dfrac{9}{4}\)
.
التمرين 2
حسابيات وقابلية القسمة (3 نقاط)
نصّ التمرين
احسب
\(PGCD(240\,;\,150)\)
بخوارزمية إقليدس.
بسّط
\(\dfrac{240}{150}\)
إلى كسر غير قابل للاختزال.
هل
\(83\)
أوّلي؟ علّل.
لم تبدأ بعد
💡 توجيهات للتفكير
📝 منهجية الحل
✅ الحل النهائي
🔄 إعادة
💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط
س1.
اقسم الأكبر على الأصغر ثمّ واصل على الباقي.
س2.
اقسم الحدّين على القاسم المشترك الأكبر.
س3.
اختبر القسمة على
\(2,3,5,7\)
.
📝 الخطوة 2 — التطبيق
س1.
\[240=150\times 1+90\;;\;150=90\times 1+60\;;\;90=60\times 1+30\;;\;60=30\times 2+0\]
س2.
\[\dfrac{240}{150}=\dfrac{240\div 30}{150\div 30}=\dfrac{8}{5}\]
س3.
\(83\)
فردي،
\(8+3=11\)
غير مضاعف لـ
\(3\)
، و
\(83=7\times 11+6\)
.
✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة
س1.
آخر باقٍ غير منعدم
\(30\)
، إذن
\(PGCD(240\,;\,150)=30\)
.
س2.
الكسر غير القابل للاختزال هو
\(\dfrac{8}{5}\)
.
س3.
لا يقبل القسمة على أيّ أوّلي
\(\le\sqrt{83}\)
، إذن
\(83\)
أوّلي.
التمرين 3
معادلات وجُمَل ومسائل (3 نقاط)
نصّ التمرين
حلّ:
\(4x-1=2x+7\)
حلّ الجملة:
\(\begin{cases}x+2y=7\\ x-y=4\end{cases}\)
عمر أب
\(45\)
سنة وابنه
\(5\)
سنوات. بعد كم سنة يصبح عمر الأب ثلاثة أمثال عمر ابنه؟
لم تبدأ بعد
💡 توجيهات للتفكير
📝 منهجية الحل
✅ الحل النهائي
🔄 إعادة
💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط
س1.
اجمع حدود المجهول في طرف.
س2.
اطرح المعادلتين لإزالة
\(x\)
.
س3.
سمِّ عدد السنوات
\(t\)
واكتب علاقة « ثلاثة أمثال ».
📝 الخطوة 2 — التطبيق
س1.
\[4x-2x=7+1\;\Longrightarrow\;2x=8\;\Longrightarrow\;x=4\]
س2.
\[(x+2y)-(x-y)=7-4\;\Longrightarrow\;3y=3\;\Longrightarrow\;y=1\;,\;x=5\]
س3.
\[45+t=3(5+t)\;\Longrightarrow\;45+t=15+3t\;\Longrightarrow\;t=15\]
✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة
س1.
\(x=4\)
. التحقق:
\(4\times 4-1=15\)
و
\(2\times 4+7=15\)
. ✓
س2.
\((x\,;\,y)=(5\,;\,1)\)
. التحقق:
\(5+2=7\)
و
\(5-1=4\)
. ✓
س3.
بعد
\(15\)
سنة:
\(60\)
و
\(20\)
و
\(60=3\times 20\)
. ✓
التمرين 4
هندسة مستوية — عكس فيثاغورث (4 نقاط)
نصّ التمرين
بيّن أنّ المثلث
\(ABC\)
قائم في
\(A\)
.
احسب مساحته.
احسب الارتفاع
\(AH\)
الصادر من
\(A\)
نحو الوتر
\([BC]\)
.
الشكل
س1
س2
A
B
C
AB = 5
AC = 12
BC = 13
Aire = 30 cm²
لم تبدأ بعد
💡 توجيهات للتفكير
📝 منهجية الحل
✅ الحل النهائي
🔄 إعادة
💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط
س1.
احسب
\(AB^2+AC^2\)
وقارنه بـ
\(BC^2\)
(عكس فيثاغورث).
س2.
مساحة مثلث قائم
\(=\dfrac{\text{ضلعا القائمة}}{2}\)
.
س3.
استعمل المساحة بطريقة أخرى:
\(\mathcal{A}=\dfrac{BC\times AH}{2}\)
.
📝 الخطوة 2 — التطبيق
س1.
\[AB^2+AC^2=5^2+12^2=25+144=169=13^2=BC^2\]
س2.
\[\mathcal{A}=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{5\times 12}{2}=30\]
س3.
\[30=\dfrac{13\times AH}{2}\;\Longrightarrow\;AH=\dfrac{60}{13}\]
✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة
س1.
بما أنّ
\(AB^2+AC^2=BC^2\)
فالمثلث قائم في
\(A\)
(عكس مبرهنة فيثاغورث).
س2.
المساحة هي
\(30\)
صم².
س3.
\(AH=\dfrac{60}{13}\approx 4{,}6\)
صم.
التمرين 5
هندسة في الفضاء — متوازي مستطيلات (3 نقاط)
نصّ التمرين
متوازي مستطيلات أبعاده
\(L=10\)
و
\(l=6\)
و
\(h=4\)
(صم). احسب حجمه.
احسب مساحته الجملية.
احسب طول القطر الكبير للمجسم.
الشكل
القياسات
الحجم
L = 10
h = 4
l = 6
V = 240 cm³
لم تبدأ بعد
💡 توجيهات للتفكير
📝 منهجية الحل
✅ الحل النهائي
🔄 إعادة
💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط
س1.
حجم متوازي المستطيلات
\(=L\times l\times h\)
.
س2.
المساحة الجملية
\(=2(Ll+Lh+lh)\)
.
س3.
القطر الكبير
\(=\sqrt{L^2+l^2+h^2}\)
(فيثاغورث في الفضاء).
📝 الخطوة 2 — التطبيق
س1.
\[V=10\times 6\times 4=240\]
س2.
\[\mathcal{A}=2(10\cdot6+10\cdot4+6\cdot4)=2(60+40+24)=2\times 124\]
س3.
\[d=\sqrt{10^2+6^2+4^2}=\sqrt{100+36+16}=\sqrt{152}\]
✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة
س1.
الحجم
\(V=240\)
صم³.
س2.
المساحة الجملية
\(248\)
صم².
س3.
\(d=\sqrt{152}=2\sqrt{38}\approx 12{,}3\)
صم.
التمرين 6
إحصاء (3 نقاط)
نصّ التمرين
يمثّل الجدول علامات مجموعة من التلاميذ:
العلامة
6
9
11
13
16
العدد
4
6
5
3
2
احسب العدد الجملي.
احسب المعدّل الحسابي.
حدّد الوسيط والمنوال.
لم تبدأ بعد
💡 توجيهات للتفكير
📝 منهجية الحل
✅ الحل النهائي
🔄 إعادة
💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط
س1.
اجمع التكرارات.
س2.
المعدّل
\(=\dfrac{\sum(\text{علامة}\times\text{عدد})}{N}\)
.
س3.
الوسيط قيمة الرتبتين
\(10\)
و
\(11\)
؛ المنوال هو العلامة الأكثر تكرارًا.
📝 الخطوة 2 — التطبيق
س1.
\[N=4+6+5+3+2=20\]
س2.
\[\overline{x}=\dfrac{6\cdot4+9\cdot6+11\cdot5+13\cdot3+16\cdot2}{20}=\dfrac{204}{20}=\dfrac{51}{5}\]
س3.
التكرارات التراكمية
\(4,10,15,\dots\)
: الرتبة
\(10\)
عند
\(9\)
والرتبة
\(11\)
عند
\(11\)
؛ أكبر تكرار
\(6\)
عند
\(9\)
.
✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة
س1.
العدد الجملي
\(N=20\)
.
س2.
المعدّل
\(\overline{x}=\dfrac{51}{5}=10{,}2\)
.
س3.
الوسيط
\(=\dfrac{9+11}{2}=10\)
والمنوال
\(=9\)
.
→ الموضوع السابق
🏠 القائمة
الموضوع التالي ←