فرض تأليفي — الرياضيات

السنة التاسعة أساسيالمدّة: ساعتانالموضوع 220 نقطة
التمرين 1
حساب عددي (4 نقاط)

نصّ التمرين

  1. بسّط العدد: \(A=\sqrt{50}+2\sqrt{8}-\sqrt{18}\)
  2. انشر وبسّط: \(B=(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)\)
  3. اجعل مقام الكسر ناطقًا: \(C=\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}\)
  4. احسب القوة: \(D=\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-2}\)
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. فكّك كلّ عدد تحت الجذر إلى جداء مربّع كامل، ثمّ اجمع الحدود في \(\sqrt{2}\).
س2. استعمل المتطابقة \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
س3. اضرب البسط والمقام في المرافق \(\sqrt{3}+1\).
س4. دليل القوة السالب يعني قلب الكسر ثمّ رفعه للأس الموجب.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[A=5\sqrt{2}+2\times 2\sqrt{2}-3\sqrt{2}=5\sqrt{2}+4\sqrt{2}-3\sqrt{2}\]
س2.
\[B=(\sqrt{7})^2-2^2=7-4\]
س3.
\[C=\dfrac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{3-1}\]
س4.
\[D=\left(\dfrac{5}{2}\right)^{2}=\dfrac{25}{4}\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. إذن \(A=6\sqrt{2}\). التحقق: \(5+4-3=6\).
س2. إذن \(B=3\) (عدد صحيح ناطق).
س3. بما أنّ \(3-1=2\) فإنّ \(C=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\).
س4. إذن \(D=\dfrac{25}{4}\).
التمرين 2
حسابيات وقابلية القسمة (3 نقاط)

نصّ التمرين

  1. احسب \(PGCD(360\,;\,84)\) باستعمال خوارزمية إقليدس.
  2. بسّط الكسر \(\dfrac{360}{84}\) إلى كسر غير قابل للاختزال.
  3. هل العدد \(89\) أوّلي؟ علّل.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. اقسم الأكبر على الأصغر ثمّ واصل على الباقي حتى تصل إلى باقٍ منعدم.
س2. اقسم البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر.
س3. اختبر القسمة على \(2,3,5,7\) (لأنّ \(9^2=81<89<100\)).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[360=84\times 4+24\]
\[84=24\times 3+12\]
\[24=12\times 2+0\]
س2.
\[\dfrac{360}{84}=\dfrac{360\div 12}{84\div 12}=\dfrac{30}{7}\]
س3. \(89\) فردي، \(8+9=17\) غير مضاعف لـ\(3\)، لا ينتهي بـ\(0/5\)، و\(89=7\times 12+5\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. آخر باقٍ غير منعدم هو \(12\)، إذن \(PGCD(360\,;\,84)=12\). التحقق: \(360=12\times 30\) و\(84=12\times 7\).
س2. الكسر غير القابل للاختزال هو \(\dfrac{30}{7}\) (\(PGCD(30\,;\,7)=1\)).
س3. لا يقبل القسمة على أيّ أوّلي \(\le\sqrt{89}\)، إذن \(89\) عدد أوّلي.
التمرين 3
معادلات وجُمَل ومسائل (3 نقاط)

نصّ التمرين

  1. حلّ المعادلة: \(5x+3=3x-7\)
  2. حلّ الجملة: \(\begin{cases}x+y=5\\ 2x-y=4\end{cases}\)
  3. مستطيل محيطه \(24\) صم وطوله يزيد عن عرضه بـ\(4\) صم. أوجد بُعدَيه.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. اجمع حدود المجهول في طرف والأعداد في الطرف الآخر.
س2. اجمع المعادلتين طرفًا لطرف لإزالة \(y\).
س3. سمِّ العرض \(l\)؛ نصف المحيط \(=L+l=12\) مع \(L=l+4\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[5x-3x=-7-3\;\Longrightarrow\;2x=-10\;\Longrightarrow\;x=-5\]
س2.
\[(x+y)+(2x-y)=5+4\;\Longrightarrow\;3x=9\;\Longrightarrow\;x=3\]
\[y=5-x=2\]
س3.
\[L+l=12\;,\;L=l+4\;\Longrightarrow\;2l+4=12\;\Longrightarrow\;l=4\;,\;L=8\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. \(x=-5\). التحقق: \(5(-5)+3=-22\) و\(3(-5)-7=-22\). ✓
س2. \((x\,;\,y)=(3\,;\,2)\). التحقق: \(3+2=5\) و\(2\times 3-2=4\). ✓
س3. العرض \(4\) صم والطول \(8\) صم. التحقق: \(2(4+8)=24\). ✓
التمرين 4
هندسة مستوية — الزاوية المحيطية والدائرة (4 نقاط)

نصّ التمرين

\((\mathcal{C})\) دائرة قطرها \([BC]\) حيث \(BC=10\) صم. \(A\) نقطة من \((\mathcal{C})\) تخالف \(B\) و\(C\) حيث \(AB=6\) صم.

  1. بيّن أنّ المثلث \(ABC\) قائم في \(A\).
  2. احسب الطول \(AC\).
  3. احسب مساحة المثلث \(ABC\).
B C O BC = 10
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. \(A\) على الدائرة و\([BC]\) قطر: فكّر في الزاوية المحيطية المقابلة لقطر.
س2. المثلث قائم في \(A\) و\([BC]\) وتره: استعمل فيثاغورث.
س3. مساحة مثلث قائم \(=\dfrac{\text{ضلعا القائمة}}{2}\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. \(A\) ينتمي إلى الدائرة التي قطرها \([BC]\)، وكلّ زاوية محيطية تقابل قطرًا قائمة، إذن \(\widehat{BAC}=90^\circ\).
س2. حسب فيثاغورث:
\[AC^2=BC^2-AB^2=10^2-6^2=100-36=64\]
س3.
\[\mathcal{A}=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{6\times 8}{2}=24\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. المثلث \(ABC\) قائم في \(A\).
س2. \(AC=\sqrt{64}=8\) صم. التحقق: \(6^2+8^2=36+64=100=10^2\). ✓
س3. مساحة المثلث هي \(24\) صم².
التمرين 5
هندسة في الفضاء — مخروط (3 نقاط)

نصّ التمرين

مخروط دوران نصف قطر قاعدته \(r=3\) صم وارتفاعه \(h=4\) صم.

  1. احسب طول الراسم (المولّدة) \(g\).
  2. احسب حجم المخروط.
  3. احسب المساحة الجانبية للمخروط.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. المثلث المكوَّن من الارتفاع ونصف القطر والراسم قائم: استعمل فيثاغورث \(g^2=r^2+h^2\).
س2. حجم المخروط \(=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h\).
س3. المساحة الجانبية للمخروط \(=\pi r g\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[g^2=r^2+h^2=3^2+4^2=25\;\Longrightarrow\;g=5\]
س2.
\[V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h=\dfrac{1}{3}\pi\times 9\times 4=12\pi\]
س3.
\[\mathcal{A}_{lat}=\pi r g=\pi\times 3\times 5=15\pi\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. الراسم \(g=5\) صم. التحقق: \(3^2+4^2=25=5^2\). ✓
س2. الحجم \(V=12\pi\) صم³ (حوالي \(37{,}7\) صم³).
س3. المساحة الجانبية \(15\pi\) صم².
التمرين 6
إحصاء (3 نقاط)

نصّ التمرين

يمثّل الجدول علامات مجموعة من التلاميذ:

العلامة58101215
العدد35642
  1. احسب العدد الجملي للتلاميذ.
  2. احسب المعدّل الحسابي.
  3. حدّد الوسيط والمنوال.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. اجمع كلّ التكرارات.
س2. المعدّل \(=\dfrac{\sum(\text{علامة}\times\text{عدد})}{N}\).
س3. الوسيط قيمة الرتبتين \(10\) و\(11\)؛ المنوال هو العلامة الأكثر تكرارًا.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[N=3+5+6+4+2=20\]
س2.
\[\overline{x}=\dfrac{5\cdot3+8\cdot5+10\cdot6+12\cdot4+15\cdot2}{20}=\dfrac{193}{20}\]
س3. التكرارات التراكمية: \(3,8,14,\dots\) فالرتبتان \(10\) و\(11\) ضمن العلامة \(10\)؛ وأكبر تكرار هو \(6\) عند العلامة \(10\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. العدد الجملي \(N=20\) تلميذًا.
س2. المعدّل \(\overline{x}=\dfrac{193}{20}=9{,}65\).
س3. الوسيط \(=10\) والمنوال \(=10\).
→ الموضوع السابق 🏠 القائمة الموضوع التالي ←