فرض تأليفي — الرياضيات — السنة التاسعة

التمرين 1

حساب عددي (4 نقاط)

نصّ التمرين

بسّط العدد: \(A=\sqrt{48}+3\sqrt{27}-2\sqrt{75}\)
انشر وبسّط: \(B=(2\sqrt{3}-1)^2\)
اجعل مقام الكسر ناطقًا: \(C=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}\)
احسب القوة: \(D=\left(\dfrac{-3}{4}\right)^{-2}\)

لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. حوّل كل جذر إلى جداء مربّع كامل وجذر مبسّط، ثم اجمع الحدود المتشابهة في \(\sqrt{3}\).

س2. استعمل متطابقة مربّع الفرق \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).

س3. اضرب البسط والمقام في مرافق المقام \(\sqrt{5}+2\).

س4. القوة السالبة تعني قلب الكسر ثم تربيعه.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.

A=4\sqrt{3}+3\times 3\sqrt{3}-2\times 5\sqrt{3}=4\sqrt{3}+9\sqrt{3}-10\sqrt{3}

س2.

B=(2\sqrt{3})^2-2\times(2\sqrt{3})\times 1+1^2=12-4\sqrt{3}+1

س3.

C=\dfrac{1\times(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{5-4}

س4.

D=\left(\dfrac{4}{-3}\right)^{2}=\dfrac{16}{9}

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. إذن \(A=3\sqrt{3}\). التحقق: \(4+9-10=3\).

س2. إذن \(B=13-4\sqrt{3}\). نعيد النشر فنجد نفس الحدود.

س3. بما أنّ \(5-4=1\) فإنّ \(C=\sqrt{5}+2\).

س4. إذن \(D=\dfrac{16}{9}\) (موجب لأنّنا ربّعنا عددًا).

التمرين 2

حسابيات وقابلية القسمة (3 نقاط)

نصّ التمرين

احسب \(PGCD(252\,;\,198)\) باستعمال خوارزمية إقليدس.
بسّط الكسر \(\dfrac{450}{252}\) إلى كسر غير قابل للاختزال.
هل العدد \(97\) أوّلي؟ علّل.

لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. اقسم العدد الأكبر على الأصغر ثم واصل القسمة على الباقي حتى تحصل على باقٍ منعدم.

س2. اختزل بالقاسم المشترك الأكبر بين البسط والمقام.

س3. اختبر القسمة على الأعداد الأوّلية التي مربّعها لا يتجاوز \(97\) (أي \(2,3,5,7\)).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.

252=198\times 1+54

198=54\times 3+36

54=36\times 1+18

36=18\times 2+0

س2. بما أنّ \(PGCD(450\,;\,252)=18\):

\dfrac{450}{252}=\dfrac{450\div 18}{252\div 18}=\dfrac{25}{14}

س3. \(97\) فردي، و\(9+7=16\) غير مضاعف لـ\(3\)، ولا ينتهي بـ\(0\) أو \(5\)، و\(97=7\times 13+6\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. آخر باقٍ غير منعدم هو \(18\)، إذن \(PGCD(252\,;\,198)=18\). التحقق: \(252=18\times 14\) و\(198=18\times 11\).

س2. الكسر غير القابل للاختزال هو \(\dfrac{25}{14}\) (\(25\) و\(14\) أوّليان فيما بينهما).

س3. لا يقبل القسمة على أيّ عدد أوّلي \(\le\sqrt{97}\)، إذن \(97\) عدد أوّلي.

التمرين 3

معادلات وجُمَل ومسائل (3 نقاط)

نصّ التمرين

حلّ المعادلة: \(3x-7=2(x+1)\)
حلّ الجملة: \(\begin{cases}2x+y=7\\ x-3y=-7\end{cases}\)
عمر أب \(36\) سنة وعمر ابنه \(12\) سنة. بعد كم سنة يصبح عمر الأب ضِعف عمر ابنه؟

لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. انشر الطرف الأيمن، ثم اجمع حدود المجهول في طرف والأعداد في الطرف الآخر.

س2. استعمل التعويض: عبّر عن \(y\) من المعادلة الأولى ثم عوّض.

س3. اجعل عدد السنوات \(t\) مجهولًا واكتب علاقة الضِّعف.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.

3x-7=2x+2\;\Longrightarrow\;x=9

س2.

\[y=7-2x\]

x-3(7-2x)=-7\;\Longrightarrow\;7x=14\;\Longrightarrow\;x=2

y=7-2\times 2=3

س3.

36+t=2(12+t)\;\Longrightarrow\;36+t=24+2t\;\Longrightarrow\;t=12

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. \(x=9\). التحقق: \(3\times 9-7=20\) و\(2(9+1)=20\). ✓

س2. \((x\,;\,y)=(2\,;\,3)\). التحقق: \(2\times 2+3=7\) و\(2-3\times 3=-7\). ✓

س3. بعد \(12\) سنة: عمر الأب \(48\) والابن \(24\)، و\(48=2\times 24\). ✓

التمرين 4

هندسة مستوية — فيثاغورث وطاليس (4 نقاط)

نصّ التمرين

المثلث \(ABC\) قائم في \(A\) حيث \(AB=3\) و\(AC=4\) (الوحدة: صم).

احسب الطول \(BC\).
\(M\) منتصف \([AB]\) و\(N\) منتصف \([AC]\). بيّن أنّ \((MN)\parallel(BC)\).
احسب الطول \(MN\).

لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. المثلث قائم في \(A\)، إذن \([BC]\) هو الوتر: استعمل مبرهنة فيثاغورث.

س2. \(M\) و\(N\) منتصفان، فكّر في مبرهنة المنتصفين (مبرهنة طاليس المباشرة).

س3. قطعة المنتصفين تساوي نصف الضلع الثالث.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1. حسب مبرهنة فيثاغورث:

\[BC^2=AB^2+AC^2=3^2+4^2=25\]

س2. بما أنّ \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac12\) والزاوية \(\widehat{A}\) مشتركة، فحسب مبرهنة طاليس \((MN)\parallel(BC)\).

س3. حسب مبرهنة طاليس:

\dfrac{MN}{BC}=\dfrac12\;\Longrightarrow\;MN=\dfrac12\times 5=\dfrac52

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. \(BC=\sqrt{25}=5\) صم. التحقق: \(9+16=25\). ✓

س2. النسبتان متساويتان، إذن \((MN)\parallel(BC)\).

س3. \(MN=\dfrac52=2{,}5\) صم، أصغر من \(BC\) لأنّ النسبة \(<1\). ✓

التمرين 5

هندسة في الفضاء — أسطوانة (3 نقاط)

نصّ التمرين

أسطوانة قائمة نصف قطر قاعدتها \(r=4\) صم وارتفاعها \(h=9\) صم.

احسب المساحة الجانبية للأسطوانة.
احسب حجمها.
إذا قسّمنا كلّ الأطوال على \(2\)، فبِكم يُضرب الحجم؟ احسب الحجم الجديد.

لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. المساحة الجانبية للأسطوانة هي مساحة مستطيل طوله محيط القاعدة وعرضه الارتفاع: \(2\pi r\times h\).

س2. حجم الأسطوانة \(=\pi r^2\times h\).

س3. عند ضرب الأطوال في معامل \(k\)، يُضرب الحجم في \(k^3\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.

\mathcal{A}_{lat}=2\pi r h=2\pi\times 4\times 9=72\pi

س2.

V=\pi r^2 h=\pi\times 4^2\times 9=144\pi

س3.

k=\dfrac12\;\Longrightarrow\;k^3=\dfrac18\;;\quad V'=\dfrac{144\pi}{8}=18\pi

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. المساحة الجانبية \(=72\pi\) صم².

س2. الحجم \(V=144\pi\) صم³ (أي حوالي \(452{,}4\) صم³).

س3. يُضرب الحجم في \(\dfrac18\)، فيصبح \(V'=18\pi\) صم³. التحقق: \(18\pi\times 8=144\pi\). ✓

التمرين 6

إحصاء (3 نقاط)

نصّ التمرين

يمثّل الجدول علامات مجموعة من التلاميذ في فرض رياضيات:

العلامة	8	10	11	12	14	15
العدد	2	3	4	5	4	2

احسب العدد الجملي للتلاميذ.
احسب المعدّل الحسابي.
حدّد الوسيط، ثمّ احسب تواتر العلامة \(15\).

لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. اجمع كلّ الأعداد (التكرارات).

س2. المعدّل \(=\dfrac{\sum(\text{علامة}\times\text{عدد})}{\text{العدد الجملي}}\).

س3. رتّب السلسلة؛ الوسيط هو معدّل القيمتين المركزيتين (الرتبة \(10\) و\(11\)). التواتر \(=\dfrac{\text{العدد}}{\text{العدد الجملي}}\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.

\[N=2+3+4+5+4+2=20\]

س2.

\overline{x}=\dfrac{8\cdot2+10\cdot3+11\cdot4+12\cdot5+14\cdot4+15\cdot2}{20}=\dfrac{236}{20}=\dfrac{59}{5}

س3. التكرارات التراكمية: \(2,5,9,14,\dots\) فالرتبتان \(10\) و\(11\) ضمن العلامة \(12\).

f(15)=\dfrac{2}{20}=\dfrac{1}{10}

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. العدد الجملي \(N=20\) تلميذًا.

س2. المعدّل \(\overline{x}=\dfrac{59}{5}=11{,}8\).

س3. الوسيط \(=12\)، وتواتر العلامة \(15\) هو \(\dfrac{1}{10}=10\%\).