فرض تأليفي — الرياضيات

السنة التاسعة أساسيالمدّة: ساعتانالموضوع 1020 نقطة
التمرين 1
حساب عددي (4 نقاط)

نصّ التمرين

  1. بسّط: \(A=\sqrt{500}+\sqrt{180}-\sqrt{45}\)
  2. انشر وبسّط: \(B=(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})\)
  3. اجعل المقام ناطقًا: \(C=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}\)
  4. بسّط: \(D=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\)
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. فكّك إلى مربّعات كاملة (دليل القوة \(\sqrt{5}\)).
س2. استعمل \((a+b)(a-b)\).
س3. اضرب في المرافق \(\sqrt{5}+2\).
س4. اضرب في المرافق \(\sqrt{3}+1\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[A=10\sqrt{5}+6\sqrt{5}-3\sqrt{5}\]
س2.
\[B=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2=5-3\]
س3.
\[C=\dfrac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2-2^2}=\dfrac{\sqrt{5}+2}{5-4}\]
س4.
\[D=\dfrac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3})^2-1^2}=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{2}\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. إذن \(A=13\sqrt{5}\) (\(10+6-3=13\)).
س2. إذن \(B=2\).
س3. بما أنّ \(5-4=1\) فإنّ \(C=\sqrt{5}+2\).
س4. إذن \(D=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}\).
التمرين 2
حسابيات وقابلية القسمة (3 نقاط)

نصّ التمرين

  1. احسب \(PGCD(585\,;\,225)\).
  2. بسّط \(\dfrac{585}{225}\).
  3. هل \(163\) أوّلي؟ علّل.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. خوارزمية إقليدس.
س2. اقسم على القاسم المشترك الأكبر.
س3. اختبر القسمة على الأوّليّات \(\le\sqrt{163}\) أي \(2,3,5,7,11\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[585=225\times 2+135\;;\;225=135\times 1+90\;;\;135=90\times 1+45\;;\;90=45\times 2+0\]
س2.
\[\dfrac{585}{225}=\dfrac{585\div 45}{225\div 45}=\dfrac{13}{5}\]
س3. \(163\) فردي، \(1+6+3=10\)، و\(163=11\times 14+9\) و\(163=13\times 12+7\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. إذن \(PGCD(585\,;\,225)=45\).
س2. الكسر غير القابل للاختزال هو \(\dfrac{13}{5}\).
س3. \(163\) عدد أوّلي.
التمرين 3
معادلات وجُمَل ومسائل (3 نقاط)

نصّ التمرين

  1. حلّ: \(3x-1=x+10\)
  2. حلّ الجملة: \(\begin{cases}x+2y=2\\ 2x+y=13\end{cases}\)
  3. ارتفع ثمن سلعة بـ\(20\%\) ثمّ خُفّض بـ\(20\%\) فأصبح \(48\) دينارًا. ما ثمنها الأصلي؟
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. اجمع حدود المجهول.
س2. عبّر عن \(x\) من الأولى.
س3. الزيادة ثمّ التخفيض: اضرب في \(1{,}2\) ثمّ في \(0{,}8\) أي في \(0{,}96\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[3x-x=10+1\;\Longrightarrow\;2x=11\;\Longrightarrow\;x=\dfrac{11}{2}\]
س2.
\[x=2-2y\;\Longrightarrow\;2(2-2y)+y=13\;\Longrightarrow\;4-3y=13\;\Longrightarrow\;y=-3\;,\;x=8\]
س3.
\[1{,}2\times 0{,}8\times p=0{,}96\,p=48\;\Longrightarrow\;p=\dfrac{48}{0{,}96}=50\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. \(x=\dfrac{11}{2}\). (التحقق بالتعويض).
س2. \((x\,;\,y)=(8\,;\,-3)\). التحقق: \(8+2\times(-3)=2\) و\(2\times8+(-3)=13\). ✓
س3. الثمن الأصلي \(50\) دينارًا. التحقق: \(50\times 0{,}96=48\). ✓
التمرين 4
هندسة مستوية — الزاوية المحيطية (4 نقاط)

نصّ التمرين

\((\mathcal{C})\) دائرة قطرها \([BC]\) حيث \(BC=25\) صم، و\(A\) نقطة منها حيث \(AB=7\) صم.

  1. بيّن أنّ المثلث \(ABC\) قائم في \(A\).
  2. احسب \(AC\).
  3. احسب مساحة المثلث.
B C O BC = 25
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. الزاوية المحيطية المقابلة لقطر قائمة.
س2. فيثاغورث.
س3. مساحة مثلث قائم.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[A\in(\mathcal{C})\text{ وَ }[BC]\text{ قطر}\;\Longrightarrow\;\widehat{BAC}=90^\circ\]
س2.
\[AC^2=BC^2-AB^2=25^2-7^2=625-49=576\]
س3.
\[\mathcal{A}=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{7\times 24}{2}=84\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. المثلث قائم في \(A\).
س2. \(AC=\sqrt{576}=24\) صم. التحقق: \(7^2+24^2=625=25^2\). ✓
س3. المساحة \(84\) صم².
التمرين 5
هندسة في الفضاء — هرم منتظم (3 نقاط)

نصّ التمرين

  1. هرم منتظم قاعدته مربّع طول ضلعه \(12\) صم وارتفاعه \(SO=8\) صم. احسب حجمه.
  2. احسب الارتفاع الجانبي \(SI\) (\(I\) منتصف ضلع من القاعدة).
  3. احسب المساحة الجانبية للهرم.
S
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. الحجم \(=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}_{base}\,h\).
س2. المثلث \(SOI\) قائم في \(O\) مع \(OI=6\).
س3. المساحة الجانبية \(=4\times\dfrac{côté\times SI}{2}\).

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[V=\dfrac{1}{3}\times 12^2\times 8=\dfrac{1}{3}\times 144\times 8=384\]
س2.
\[SI^2=SO^2+OI^2=8^2+6^2=100\;\Longrightarrow\;SI=10\]
س3.
\[\mathcal{A}_{lat}=4\times\dfrac{12\times 10}{2}=240\]

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. الحجم \(V=384\) صم³.
س2. الارتفاع الجانبي \(SI=10\) صم.
س3. المساحة الجانبية \(240\) صم².
التمرين 6
إحصاء (3 نقاط)

نصّ التمرين

سُجّلت سرعات \(50\) سيارة (بـ\(km/h\)):

السرعة6080100120140
عدد السيارات10151285
  1. احسب العدد الجملي وحدّد المدى.
  2. احسب المعدّل.
  3. حدّد الوسيط والمنوال.
لم تبدأ بعد

💡 الخطوة 1 — الفهم والتخطيط

س1. المدى \(=140-60\).
س2. المعدّل \(=\dfrac{\sum(\text{سرعة}\times\text{عدد})}{N}\).
س3. الرتبتان \(25\) و\(26\) للوسيط.

📝 الخطوة 2 — التطبيق

س1.
\[N=10+15+12+8+5=50\;;\;\text{المدى}=80\]
س2.
\[\overline{x}=\dfrac{60\cdot10+80\cdot15+100\cdot12+120\cdot8+140\cdot5}{50}=\dfrac{4660}{50}=\dfrac{466}{5}\]
س3. التكرارات التراكمية \(10,25,37,\dots\): الرتبة \(25\) عند \(80\) والرتبة \(26\) عند \(100\)؛ أكبر تكرار \(15\) عند \(80\).

✅ الخطوة 3 — التحقق والخلاصة

س1. العدد الجملي \(50\) والمدى \(80\) \(km/h\).
س2. المعدّل \(\overline{x}=\dfrac{466}{5}=93{,}2\) \(km/h\).
س3. الوسيط \(=\dfrac{80+100}{2}=90\) والمنوال \(=80\) \(km/h\).
→ الموضوع السابق 🏠 القائمة إنهاء ←