📏 كيف أبين المسافة بين عددين على مستقيم الأعداد؟
تعريف المسافة: المسافة بين
$a$ و
$b$ هي
$|a - b|$
المثال: المسافة بين
$(+3)$ و
$(-5)$
$$|a - b| = |(+3) - (-5)| = |+8| = 8$$
البرهان:
1. نحسب الفرق:
$(+3) - (-5) = +8$
2. نأخذ القيمة المطلقة:
$|+8| = 8$
3. المسافة = 8 وحدات ✓
خاصية هامة: $|a - b| = |b - a|$
مثال: $|(+3) - (-5)| = |(-5) - (+3)| = 8$
📐 كيف أبين خصائص القيمة المطلقة؟
خصائص القيمة المطلقة:
1. $|a| \geq 0$ (دائماً موجبة أو صفر)
مثال: $|+5| = 5 \geq 0$، $|-3| = 3 \geq 0$، $|0| = 0$
2. $|a| = 0$ إذا وفقط إذا $a = 0$
مثال: $|0| = 0$ ولا يوجد عدد آخر قيمته المطلقة صفر
3. $|-a| = |a|$ (تماثل)
مثال: $|-7| = |+7| = 7$
4. $|a + b| \leq |a| + |b|$ (متباينة المثلث)
مثال: $|(+3) + (-5)| = |-2| = 2 \leq |+3| + |-5| = 3 + 5 = 8$ ✓
🔄 كيف أبين أن مجموع عددين متقابلين يساوي الصفر؟
النظرية: لكل عدد نسبي $a$، فإن $a + (-a) = 0$
البرهان العام:
1. نعرّف مقابل العدد $a$ كالعدد $-a$ بحيث $a + (-a) = 0$
2. هذا التعريف يضمن أن مجموع العدد ومقابله يساوي الصفر
أمثلة تطبيقية:
- $(+12) + (-12) = 0$
- $(-8) + (+8) = 0$
- $(+100) + (-100) = 0$
تطبيق: هذه الخاصية دليل القوة طريقة التجميع في الحساب
📦 كيف أبين صحة طريقة التجميع في الحساب؟
طريقة التجميع: تجميع الأعداد الموجبة والسالبة منفصلة
المثال:
$$(+7) + (-3) + (+5) + (-8) + (+2)$$
البرهان بالتجميع:
1. نجمّع الموجبة:
$(+7) + (+5) + (+2) = +14$
2. نجمّع السالبة:
$(-3) + (-8) = -11$
3. النتيجة النهائية:
$(+14) + (-11) = +3$
البرهان بالترتيب العادي:
$(+7) + (-3) + (+5) + (-8) + (+2) = +4 + (+5) + (-8) + (+2) = +9 + (-8) + (+2) = +1 + (+2) = +3$ ✓
الاستنتاج: الطريقتان تعطيان نفس النتيجة بفضل الخصائص التبديلية والتجميعية
🌡️ كيف أبين حل مسائل درجة الحرارة؟
مسألة: لاعب أجاب على $12$ سؤال: $8$ صحيحة و $4$ خاطئة، ما هو مجموع نقاطه؟
الحل:
1. نقاط الإجابات الصحيحة: $8 \times (+5) = +40$ نقطة
2. نقاط الإجابات الخاطئة: $4 \times (-2) = -8$ نقطة
3. المجموع النهائي: $(+40) + (-8) = +32$ نقطة
التحقق: إذا كانت كل الإجابات صحيحة: $12 \times 5 = 60$ نقطة
الفرق بسبب الأخطاء: $4 \times (5 + 2) = 28$ نقطة
النتيجة: $60 - 28 = 32$ نقطة ✓
🅿️ كيف أبين حساب رسوم الإيقاف؟
نظام الرسوم:
- كل ساعة إيقاف: $-5$ دنانير
- رصيد أولي في البطاقة: $+50$ دينار
مسألة: استعمل شخص الإيقاف لمدة $9$ ساعات، ما هو رصيده المتبقي؟
الحل:
1. الرصيد الأولي: $+50$ دينار
2. رسوم الإيقاف: $9 \times (-5) = -45$ دينار
3. الرصيد المتبقي: $(+50) + (-45) = +5$ دنانير
السؤال الإضافي: كم ساعة إضافية يمكنه الإيقاف؟
الجواب: $5 \div 5 = 1$ ساعة إضافية ✓
💳 كيف أبين حساب الديون والمدفوعات؟
حالة: شخص عليه دين $200$ دينار، دفع $80$ دينار، ثم اقترض $50$ دينار إضافية، ما هو دينه الحالي؟
نظام العلامات:
- الدين: سالب
- الدفع: موجب
- الاقتراض: سالب
الحل:
1. الدين الأولي: $-200$ دينار
2. بعد الدفعة: $(-200) + (+80) = -120$ دينار
3. بعد الاقتراض الإضافي: $(-120) + (-50) = -170$ دينار
النتيجة: عليه دين قدره $170$ دينار ✓
ملاحظة: العلامة السالبة تدل على وجود دين
🧪 كيف أبين حساب درجة الحموضة pH؟
مقياس pH: من $0$ إلى $14$
- أقل من $7$: حمضي
- يساوي $7$: محايد
- أكبر من $7$: قاعدي
مسألة: محلول له $\text{pH} = 4$، أضيف إليه مادة قاعدية تزيد الـ pH بـ $3$ درجات، ما هو الـ pH النهائي؟
الحل:
1. الـ pH الأولي: $4$
2. الزيادة: $+3$
3. الـ pH النهائي: $4 + 3 = 7$
التفسير: المحلول أصبح محايداً (لا حمضي ولا قاعدي) ✓
مثال آخر: إذا أضيفت مادة حمضية تنقص الـ pH بـ $2$:
الـ pH النهائي: $7 + (-2) = 5$ (حمضي)