مقارنة العبارات الجبرية باستخدام دراسة إشارة الفرق

(1) $$a$$ و $$b$$ عددان صحيحان نسبيان بحيث $$a - b = -2$$
أ) قارن $$a + 3$$ و $$b - 5$$
نحسب الفرق: $$(a + 3) - (b - 5)$$
$$(a + 3) - (b - 5) = a + 3 - b + 5 = a - b + 8$$
بما أن $$a - b = -2$$
$$(a + 3) - (b - 5) = -2 + 8 = 6 > 0$$
إذن: $$a + 3 > b - 5$$
ب) قارن $$a - 7$$ و $$b + 2$$
نحسب الفرق: $$(a - 7) - (b + 2)$$
$$(a - 7) - (b + 2) = a - 7 - b - 2 = a - b - 9$$
بما أن $$a - b = -2$$
$$(a - 7) - (b + 2) = -2 - 9 = -11 < 0$$
إذن: $$a - 7 < b + 2$$
ت) قارن $$-2 - a$$ و $$-1 - b$$
نحسب الفرق: $$(-2 - a) - (-1 - b)$$
$$(-2 - a) - (-1 - b) = -2 - a + 1 + b = -1 - a + b = -1 - (a - b)$$
بما أن $$a - b = -2$$
$$(-2 - a) - (-1 - b) = -1 - (-2) = -1 + 2 = 1 > 0$$
إذن: $$-2 - a > -1 - b$$
ث) قارن $$a + 2$$ و $$-5 + b$$
نحسب الفرق: $$(a + 2) - (-5 + b)$$
$$(a + 2) - (-5 + b) = a + 2 + 5 - b = a - b + 7$$
بما أن $$a - b = -2$$
$$(a + 2) - (-5 + b) = -2 + 7 = 5 > 0$$
إذن: $$a + 2 > -5 + b$$
ج) قارن $$-a$$ و $$-b$$
نحسب الفرق: $$(-a) - (-b)$$
$$(-a) - (-b) = -a + b = -(a - b)$$
بما أن $$a - b = -2$$
$$(-a) - (-b) = -(-2) = 2 > 0$$
إذن: $$-a > -b$$
ح) قارن $$-5 - a$$ و $$-b$$
نحسب الفرق: $$(-5 - a) - (-b)$$
$$(-5 - a) - (-b) = -5 - a + b = -5 - (a - b)$$
بما أن $$a - b = -2$$
$$(-5 - a) - (-b) = -5 - (-2) = -5 + 2 = -3 < 0$$
إذن: $$-5 - a < -b$$
(2) $$a$$ و $$b$$ عددان صحيحان نسبيان بحيث $$a + b = -3$$
ج) قارن $$a + 3$$ و $$-b - 5$$
نحسب الفرق: $$(a + 3) - (-b - 5)$$
$$(a + 3) - (-b - 5) = a + 3 + b + 5 = a + b + 8$$
بما أن $$a + b = -3$$
$$(a + 3) - (-b - 5) = -3 + 8 = 5 > 0$$
إذن: $$a + 3 > -b - 5$$
د) قارن $$-a - 1$$ و $$b + 2$$
نحسب الفرق: $$(-a - 1) - (b + 2)$$
$$(-a - 1) - (b + 2) = -a - 1 - b - 2 = -(a + b) - 3$$
بما أن $$a + b = -3$$
$$(-a - 1) - (b + 2) = -(-3) - 3 = 3 - 3 = 0$$
إذن: $$-a - 1 = b + 2$$
ذ) قارن $$-12 + a$$ و $$7 - b$$
نحسب الفرق: $$(-12 + a) - (7 - b)$$
$$(-12 + a) - (7 - b) = -12 + a - 7 + b = a + b - 19$$
بما أن $$a + b = -3$$
$$(-12 + a) - (7 - b) = -3 - 19 = -22 < 0$$
إذن: $$-12 + a < 7 - b$$
ر) قارن $$-a + 2$$ و $$-5 + b$$
نحسب الفرق: $$(-a + 2) - (-5 + b)$$
$$(-a + 2) - (-5 + b) = -a + 2 + 5 - b = -(a + b) + 7$$
بما أن $$a + b = -3$$
$$(-a + 2) - (-5 + b) = -(-3) + 7 = 3 + 7 = 10 > 0$$
إذن: $$-a + 2 > -5 + b$$
ز) قارن $$a$$ و $$-b$$
نحسب الفرق: $$a - (-b)$$
$$a - (-b) = a + b$$
بما أن $$a + b = -3$$
$$a - (-b) = -3 < 0$$
إذن: $$a < -b$$
س) قارن $$-5 - a$$ و $$3 + b$$
نحسب الفرق: $$(-5 - a) - (3 + b)$$
$$(-5 - a) - (3 + b) = -5 - a - 3 - b = -(a + b) - 8$$
بما أن $$a + b = -3$$
$$(-5 - a) - (3 + b) = -(-3) - 8 = 3 - 8 = -5 < 0$$
إذن: $$-5 - a < 3 + b$$
(3) $$a$$ و $$b$$ عددان صحيحان نسبيان بحيث $$a - b \leq 0$$
ش) قارن $$a + 3$$ و $$b + 5$$
نحسب الفرق: $$(a + 3) - (b + 5)$$
$$(a + 3) - (b + 5) = a + 3 - b - 5 = a - b - 2$$
بما أن $$a - b \leq 0$$
$$(a + 3) - (b + 5) = a - b - 2 \leq 0 - 2 = -2 < 0$$
إذن: $$a + 3 < b + 5$$
ص) قارن $$a - 2$$ و $$b + 2$$
نحسب الفرق: $$(a - 2) - (b + 2)$$
$$(a - 2) - (b + 2) = a - 2 - b - 2 = a - b - 4$$
بما أن $$a - b \leq 0$$
$$(a - 2) - (b + 2) = a - b - 4 \leq 0 - 4 = -4 < 0$$
إذن: $$a - 2 < b + 2$$
ض) قارن $$-2 - a$$ و $$-11 - b$$
نحسب الفرق: $$(-2 - a) - (-11 - b)$$
$$(-2 - a) - (-11 - b) = -2 - a + 11 + b = 9 - a + b = 9 - (a - b)$$
بما أن $$a - b \leq 0$$، فإن $$-(a - b) \geq 0$$
$$(-2 - a) - (-11 - b) = 9 - (a - b) \geq 9 - 0 = 9 > 0$$
إذن: $$-2 - a > -11 - b$$
ط) قارن $$-a + 2$$ و $$-5 - b$$
نحسب الفرق: $$(-a + 2) - (-5 - b)$$
$$(-a + 2) - (-5 - b) = -a + 2 + 5 + b = 7 - a + b = 7 - (a - b)$$
بما أن $$a - b \leq 0$$، فإن $$-(a - b) \geq 0$$
$$(-a + 2) - (-5 - b) = 7 - (a - b) \geq 7 - 0 = 7 > 0$$
إذن: $$-a + 2 > -5 - b$$
ظ) قارن $$-a$$ و $$-b$$
نحسب الفرق: $$(-a) - (-b)$$
$$(-a) - (-b) = -a + b = -(a - b)$$
بما أن $$a - b \leq 0$$، فإن $$-(a - b) \geq 0$$
$$(-a) - (-b) = -(a - b) \geq 0$$
إذن: $$-a \geq -b$$
ع) قارن $$15 - a$$ و $$-b$$
نحسب الفرق: $$(15 - a) - (-b)$$
$$(15 - a) - (-b) = 15 - a + b = 15 - (a - b)$$
بما أن $$a - b \leq 0$$، فإن $$-(a - b) \geq 0$$
$$(15 - a) - (-b) = 15 - (a - b) \geq 15 - 0 = 15 > 0$$
إذن: $$15 - a > -b$$
(4) $$a$$ و $$b$$ عددان صحيحان نسبيان بحيث $$a + 2 < 7 + b$$
غ) قارن $$a + 3$$ و $$b + 15$$
نحسب الفرق: $$(a + 3) - (b + 15)$$
$$(a + 3) - (b + 15) = a + 3 - b - 15 = a - b - 12$$
من المعطى: $$a + 2 < 7 + b$$، إذن $$a - b < 5$$
$$(a + 3) - (b + 15) = a - b - 12 < 5 - 12 = -7 < 0$$
إذن: $$a + 3 < b + 15$$
ف) قارن $$a - 2$$ و $$b + 12$$
نحسب الفرق: $$(a - 2) - (b + 12)$$
$$(a - 2) - (b + 12) = a - 2 - b - 12 = a - b - 14$$
من المعطى: $$a + 2 < 7 + b$$، إذن $$a - b < 5$$
$$(a - 2) - (b + 12) = a - b - 14 < 5 - 14 = -9 < 0$$
إذن: $$a - 2 < b + 12$$
ق) قارن $$10 - a$$ و $$-5 - b$$
نحسب الفرق: $$(10 - a) - (-5 - b)$$
$$(10 - a) - (-5 - b) = 10 - a + 5 + b = 15 - a + b = 15 - (a - b)$$
من المعطى: $$a + 2 < 7 + b$$، إذن $$a - b < 5$$
$$(10 - a) - (-5 - b) = 15 - (a - b) > 15 - 5 = 10 > 0$$
إذن: $$10 - a > -5 - b$$
ك) قارن $$-a + 2$$ و $$-5 - b$$
نحسب الفرق: $$(-a + 2) - (-5 - b)$$
$$(-a + 2) - (-5 - b) = -a + 2 + 5 + b = 7 - a + b = 7 - (a - b)$$
من المعطى: $$a + 2 < 7 + b$$، إذن $$a - b < 5$$
$$(-a + 2) - (-5 - b) = 7 - (a - b) > 7 - 5 = 2 > 0$$
إذن: $$-a + 2 > -5 - b$$
ل) قارن $$-a$$ و $$-b - 9$$
نحسب الفرق: $$(-a) - (-b - 9)$$
$$(-a) - (-b - 9) = -a + b + 9 = 9 - (a - b)$$
من المعطى: $$a + 2 < 7 + b$$، إذن $$a - b < 5$$
$$(-a) - (-b - 9) = 9 - (a - b) > 9 - 5 = 4 > 0$$
إذن: $$-a > -b - 9$$
م) قارن $$15 - a$$ و $$-b$$
نحسب الفرق: $$(15 - a) - (-b)$$
$$(15 - a) - (-b) = 15 - a + b = 15 - (a - b)$$
من المعطى: $$a + 2 < 7 + b$$، إذن $$a - b < 5$$
$$(15 - a) - (-b) = 15 - (a - b) > 15 - 5 = 10 > 0$$
إذن: $$15 - a > -b$$