⬡ متوازي الأضلاع
43
التمرين رقم 43
ارسم مثلثاً ABC قائم الزاوية في A بحيث AB = 3 و AC = 5,6. وابنِ Δ الموسط العمودي لـ[AB] يقطع (AB) في M وابنِ Δ' الموسط العمودي لـ[AC] يقطع (AC) في N. Δ∩Δ' = I. تحقّق أن I منتصف [BC].
2/أ
هل Δ و Δ' محورَا تناظر للمثلث ABC؟
2/ب
ما هي طبيعة الرباعي AMIN؟ علّل جوابك.
3/أ
ابنِ E و F بحيث يكون AEBI و AFCI معيّنَين. اذكر محاور تناظر كلٍّ منهما.
3/ب
بيّن أن A و E و F على استقامة واحدة وأن AE = AF.
3/ج
بيّن أن الرباعي ABIF متوازي الأضلاع واحسب قيس مساحته.
3/د
بيّن أن الرباعي EBCF متوازي الأضلاع واحسب قيس مساحته.
💡 تلميح
- I تقاطع أوساط عمودية المثلث = المركز المحاط. في المثلث القائم في A، المركز = منتصف الوتر [BC]
- AMIN مستطيل: AM ⊥ AN (قائم في A) وMI = NI
- AEBI معيّن: AE = EB = BI = IA (نصف قطر المثلث المحاط)
📝 الخطوات
I منتصف [BC]: ABC قائم في A ← المركز المحاط = منتصف الوتر BC = I ✓
AMIN مستطيل: AM ⊥ AB وAN ⊥ AC (أوساط عمودية). الزاوية BAC = 90° ← MAN = 90° ← AMIN مستطيل
AEBI وAFCI معيّنَان: AE = AI = EB = IB = نصف القطر المحاط ← معيّن
AE = AF وA,E,F مستقيمة: AE = AI = AF (نصف قطر) ← AE = AF. الاتجاه يُحدَّد من الرسم
مساحة ABIF: ABIF متوازي ← المساحة = AB × h
مساحة EBCF: = مساحة ABC = ½ × AB × AC
✅ التصحيح المفصّل
I منتصف [BC]) ABC قائم في A ← المركز المحاط = I منتصف الوتر [BC] ✓
2/أ) Δ وΔ' ليسَا محورَي تناظر لـABC لأن AB ≠ AC (3 ≠ 5,6) ✗
2/ب) AMIN: MA ⊥ Δ وNA ⊥ Δ' والزاوية A = 90° ← AMIN مستطيل ✓
3/أ) AEBI معيّن: AE = EI = IB = BA = AI = ... محاوره: Δ و(AB). AFCI معيّن: محاوره: Δ' و(AC) ✓
3/ب) AE = AI = AF (نصف قطر الدائرة المحيطة) ← AE = AF. A, E, F: E وF على الجانبَين المتعاكسَين ← مستقيمة ✓
3/ج) ABIF متوازي أضلاع. المساحة = AI × AB = (BC/2) × AB = (IA) × AB ✓
3/د) EBCF متوازي أضلاع. المساحة = ½ × AB × AC = ½ × 3 × 5,6 = 8,4 وح² ✓
I منتصف [BC] | AMIN مستطيل | AE=AF | م(EBCF) = 8,4 وح²