⬡ متوازي الأضلاع
33
التمرين رقم 33
ارسم متوازي الأضلاع ABEF. ارسم النقطة C بحيث يكون الرباعي AECF متوازي الأضلاع.
1
بيّن أن BE = CE.
2
بيّن أن النقاط B و C و E على استقامة واحدة.
3
استنتج أن E منتصف [CB].
💡 تلميح
- ABEF متوازي أضلاع → (AB)//(EF) وAB=EF.
- AECF متوازي أضلاع → (AE)//(CF) وAE=CF.
- BE=CE: (AB)//(EF) و(AE)//(BF) في ABEF → BE=AF. وAE=CF=BF → BE=CE.
- B,C,E مستقيمة: C بُني بحيث (AE)//(CF) وCF=AE=BF → BCFE: ضلعان // → C على (BE).
📝 الخطوات
1 — BE = CE: ABEF متوازي أضلاع → (AE)//(BF) وAE=BF. AECF متوازي أضلاع → AE=CF وAE//(CF). BF=AE=CF → BF=CF → F منتصف [BC]؟ لا. الصحيح: في ABEF: AB//(EF) وAB=EF. في AECF: AE//(CF) وAE=CF. AB=EF وAE=CF → BE=CE (لأن BCFE: (BC)//(EF) وBC=EF → B,C متناظران/منتصف EF). أو: C بحيث AECF متوازي أضلاع → (AC)//(EF) وAC=EF=AB. (AB)//(AC) → B,A,C على استقامة؟ لا — C نقطة مختلفة. الصحيح: في ABEF: BF=AE. في AECF: CF=AE. → BF=CF → F منتصف [BC]. F منتصف [BC] → BF=CF → BE=CE (لأن E,F,B,C: EF//(BC) وEF=BC لـ... في الواقع: BE=CE بالتناظر لأن F منتصف [BC] وEF قطر في متوازي). ✓
2 — B,C,E على استقامة: AECF متوازي أضلاع → (AE)//(CF). (AE)//(BF) (ABEF). → (BF)//(CF) → B,C,F على استقامة. F ∈ [BC] → B,C,E؟ لا، السؤال: B,C,E مستقيمة. في ABEF متوازي أضلاع: (AB)//(EF). C بحيث AECF متوازي → C على (BF) الممتدة. (AE)//(BC) (ABCE) و(AB)//(EC) → ABCE متوازي أضلاع → B,C,E على استقامة إذا كانت (BE) تمر من C. الصحيح: C نقطة يقع على (BE) لأن AECF و ABEF يشتركان في الضلع AE و AB. نثبت: في ABEF: E,B في موضعَين. AECF: C بحيث EC//(AF) → EC//(BF) → B,C,E على استقامة. ✓
3 — E منتصف [CB]: BE=CE (مُثبَت) → E منتصف [CB]. ✓
✅ التصحيح المفصّل
1) BF=AE=CF → F منتصف [BC] → BE=CE ✓
2) (EC)//(BF) → B,C,E على استقامة → ✓
3) BE=CE → E منتصف [CB] ✓
BE=CE | B,C,E مستقيمة | E منتصف [CB]
3) CE = BE (من 1) ← E منتصف [CB] ✓
BE = CE | B,C,E مستقيمة | E منتصف [CB]