⬡ متوازي الأضلاع
26
التمرين رقم 26
ارسم شبه منحرف ABCD قائماً في A و D بحيث AB = AD = 2 و CD = 4. ارسم النقطة H المسقط العمودي لـ B على (CD).
1
بيّن أن الرباعي ABHD مربع.
2/أ
احسب HC ثم HBC.
2/ب
استنتج أن المثلث DBC قائم الزاوية.
3/أ
عيّن النقطة F بحيث تكون النقطة H منتصف القطعة [BF]. بيّن أن B و F متناظرتَان بالنسبة لـ(CD).
3/ب
بيّن أن الرباعي BCFD مربع.
3/ج
احسب قيس مساحته.
💡 تلميح
- ABHD مستطيل: BH=AD=2 وHD=AB=2 وزاوية A=90° وزاوية B=90° → 3 زوايا قائمة → مستطيل. ثم له 4 أضلاع متساوية → مربع.
- HC=CD−HD=4−2=2. BH=HC=2 وزاوية H=90° → BHC قائم متقايس → HBC=45°.
- DBC=DBH+HBC=45°+45°=90° → DBC قائم.
- H منتصف [BF] و(BF)⊥(CD) → B,F متناظرتان/(CD). BCFD: 4 أضلاع متساوية وزاوية قائمة → مربع.
📝 الخطوات
1 — ABHD مربع: (BH)//(AD) (كلاهما ⊥(CD)). BH=AD=2. (AB)⊥(AD) → زاوية A=90°. (AB)⊥(BH) → زاوية B=90°. ABHD: 3 زوايا قائمة → مستطيل. AB=AD=BH=HD=2 → 4 أضلاع متساوية → مربع. ✓
2/أ — HC وHBC: HC=CD−HD=4−2=2 cm. BHC: BH=HC=2 وزاوية BHC=90° (H مسقط عمودي). BHC قائم في H ومتقايس الضلعين → HBC=CBH=45°. ✓
2/ب — DBC قائم: DBH=HBD. في ABHD مربع: زاوية ABH=90° وHD=AB → DBH=45°. DBC=DBH+HBC=45°+45°=90°. ✓
3 — BCFD مربع: F: H منتصف [BF] وH∈(CD) و(BF)⊥(CD) → B وF متناظرتان بالنسبة لـ(CD). BF=2×BH=2×2=4. BC=BH+HC... لا، (BC) مستقيم و(BF)⊥(CD). في الواقع: DBC=90° → (BD)⊥(BC). المثلثان DHB وBHC: DH=BH=HC=2 وزاوية H=90° → متطابقان → DB=BC. BF=4=CD (معطى). BCFD: BC=CD=DF=FB وزاوية C=90° (DBC=90°) → مربع. BF=4. BCFD مربع بضلع BF=4 → المساحة = BF×BF = 4×4 = 16 cm².
✅ التصحيح المفصّل
1) 3 زوايا قائمة + 4 أضلاع = 2 → ABHD مربع ✓
2/أ) BH=HC=2 وزاوية H=90° → HBC=45° ✓
2/ب) DBH=45° وHBC=45° → DBC=90° ✓
3/ب) المثلثان DHB وBHC متطابقان → DB=BC. BF=CD=4. BCFD: 4 أضلاع متساوية وزاوية=90° → مربع ✓. المساحة=16 cm²
ABHD مربع | HBC=45° | DBC=90° | BCFD مربع | م=16 cm²
2/ب) DBC = DBH + HBC = 45° + 45° = 90° ← DBC قائم الزاوية ✓
3/أ) H منتصف [BF] وH ∈ (CD) وBH ⊥ CD ← B وF متناظرتَان بالنسبة لـ(CD) ✓
3/ب) BF = 2BH = 4. المثلثان DHB وBHC متطابقان → DB=BC. BF=CD=4. BCFD: 4 أضلاع متساوية وزاوية C=90° → مربع ✓
3/ج) BF=4 وBCFD مربع → المساحة = BF×BF = 4×4 = 16 cm²
ABHD مربع | HBC = 45° | DBC قائم | BCFD مربع