🔷 المربع
24
التمرين رقم 24
ارسم مربعاً ABCD وعيّن النقطة E بحيث تكون النقطة C منتصف القطعة [DE].
1
احسب DBC.
2
بيّن أن المثلث BCE قائم الزاوية ومتقايس الضلعَين.
3
استنتج أن المثلث BDE قائم الزاوية ومتقايس الضلعَين.
4
استنتج أن (BE)//(AC).
💡 تلميح
- ABCD مربع → كل زواياه قائمة وأضلاعه متساوية. القطر [BD] ينصّف زاوية B=90° → DBC=45°.
- C منتصف [DE] → DC=CE=ضلع المربع. D,C,E على استقامة → زاوية BCE=90° (زاوية المربع + امتداد).
- BCE: BC=CE=ضلع وزاوية BCE=90° → قائم في C ومتقايس الضلعين.
- BDE: لإثبات قائم متقايس نستخدم تطابق المثلثات أو خواص المربع.
📝 الخطوات
1 — DBC = 45°: ABCD مربع → زاوية ABC = 90°. القطر [BD] ينصّف الزاوية في B → DBC = ABC÷2 = 90°÷2 = 45°.
2 — BCE قائم ومتقايس: C منتصف [DE] → DC = CE. DC = BC (أضلاع المربع) → BC = CE. D,C,E على استقامة → زاوية BCD + زاوية BCE = 180°. زاوية BCD = 90° (زاوية المربع) → زاوية BCE = 90°. BCE: BC = CE وزاوية BCE = 90° → قائم في C ومتقايس الضلعين. ✓
3 — BDE قائم ومتقايس: BDE = BDC + CDE. BDC = 45°. في BCE قائم متقايس: BEC = CBE = 45°. مثلث ABD: AB=AD=ضلع وزاوية A=90° → متقايس الضلعين. مثلث BCE: BC=CE=ضلع وزاوية C=90° → متقايس الضلعين. المثلثان ABD وBCE متطابقان (AB=BC ضلع المربع، زاوية A=زاوية C=90°) → BD=BE. BDE: BD=BE → متقايس الضلعين. DBE = DBC + CBE = 45° + 45° = 90° → قائم في B. ✓
4 — (BE)//(AC): ABE = ABD + DBE... أو: ABD = ADB = 45° (ABD قائم متقايس). ABE = ABC − CBE = 90° − 45° = 45° = ABD. → (BE) و(BD) يصنعان نفس الزاوية مع (AB) كما (AC). ABD = 45° = زاوية بين (AC) و(AB) (في المربع). ABE = ABD = 45° → (BE) // (AC). ✓
✅ التصحيح المفصّل
1) القطر ينصّف زاوية B → DBC=45° ✓
2) BC=CE وزاوية BCE=90° → BCE قائم ومتقايس ✓
3) BD=BE (وترَا مثلثَين قائمَين متقايسَين متطابقَين). DBE=45°+45°=90° → BDE قائم ومتقايس ✓
4) ABE=ABD=45° → (BE)//(AC) ✓
DBC=45° | BCE قائم متقايس | BDE قائم متقايس | (BE)//(AC)
3) المثلثان ABD وBCE متطابقان (AB=BC، زاوية A=زاوية C=90°) → BD=BE. DBE = DBC+CBE = 45°+45° = 90° → BDE قائم في B ومتقايس الضلعين ✓
4) ABE = ABD + DBE... أو: ABE = ADB = 45° (في المثلث قائم متقايس) ← (BE)//(AC) (زوايا متساوية مع AB) ✓
DBC = 45° | BCE قائم متقايس | BDE قائم متقايس | (BE)//(AC)