📐 المستطيل
10
التمرين رقم 10
ارسم مثلثاً EFG قائم الزاوية في E و Δ الموسط العمودي لـ[EF] يقطع [EG] في O و [EF] في I.
2/أ
ابنِ H صورة النقطة G بالتناظر المحوري الذي محوره Δ. Δ يقطع [HG] في K. ما هي طبيعة الرباعي IEGK؟ علّل جوابك.
2/ج
استنتج أن EF = HG.
3
ما هي صورة الزاوية FÊG بالتناظر المحوري الذي محوره Δ؟
4
بيّن أن الرباعي EFHG مستطيل.
💡 تلميح
- Δ وسط عمودي [EF] → Δ ⊥ (EF) ويقطعها في I (منتصف [EF]).
- H صورة G بالنسبة لـΔ → HG ⊥ Δ والتناظر يحفظ المسافات: HE=GE وHF=GF.
- IEGK: IE=IF (I منتصف [EF])، (EG)⊥(EF) (قائم في E)، (IK)⊥(EF) → (IK)//(EG).
- لإثبات مستطيل: نجد زاوية قائمة في IEGK.
📝 الخطوات
2/أ — IEGK مستطيل: Δ ⊥ (EF) في I (I منتصف [EF]). H صورة G بالنسبة لـΔ → (GH) ⊥ Δ وΔ منتصف [GH] = K. (GH) ⊥ Δ وΔ ⊥ (EF) → (GH) // (EF). (EG) ⊥ (EF) (EFG قائم في E) → (EG) // Δ. IEGK: (EG) // (IK) (كلاهما ⊥ (EF)) و(EI) // (GK) (كلاهما ⊥ Δ). → متوازي أضلاع. زاوية GEI = زاوية GEF = 90° → IEGK مستطيل.
2/ج — EF = HG: التناظر بالنسبة لـΔ يحفظ المسافات. E↦F وF↦E → EF = FE (تافه). G↦H → EG = FH وFG = EH. لكن السؤال: EF = HG. في المستطيل IEGK: EG = IK (ضلعان متقابلان). Δ يُرسل E↦F وG↦H → EG = FH وHG = EF. ✓
3 — صورة FEG: الزاوية FEG صورتها بالنسبة لـΔ هي الزاوية FHG (لأن E↦F وG↦H وF↦E).
4 — EFHG مستطيل: EFG قائم في E → زاوية FEG = 90°. التناظر يحفظ الزوايا → زاوية FHG = 90°. (EF) // (HG) وEF = HG (مُثبَت). EFHG: ضلعان متقابلان // ومتساويان → متوازي أضلاع. زاوية FEG = 90° وزاوية FHG = 90° → زاويتان قائمتان. زاوية EFH = 90° (الزاوية الثالثة في المتوازي) → EFHG مستطيل.
✅ التصحيح المفصّل
2/أ) (EG)//(IK) و(EI)//(GK) → متوازي أضلاع. زاوية GEI=90° → IEGK مستطيل ✓
2/ج) Δ: E↦F وG↦H → EF=HG ✓
3) صورة الزاوية FEG هي الزاوية FHG ✓
4) زاوية FEG=90° وزاوية FHG=90° وزاوية EFH=90° → EFHG مستطيل ✓
IEGK مستطيل | EF=HG | EFHG مستطيل
3) صورة الزاوية FEG بالتناظر بالنسبة لـΔ هي الزاوية FHG (H صورة G وF تحافظ على موضعها النسبي) ✓
4) EFG قائم في E ← الزاوية FEG = 90°. التناظر يحفظ الزوايا ← FHG = 90°. EFHG: EF = HG وEG = FH وزاويتَان قائمتَان ← مستطيل ✓
IEGK مستطيل | EF = HG | EFHG مستطيل