📐 المستطيل
9
التمرين رقم 9
ارسم مستطيلاً ABCD بحيث AB = 3 و AD = 2.
1/أ
ابنِ E صورة النقطة B بالتناظر المحوري الذي محوره (CD). أثبت أن AC = DE.
1/ب
ابنِ F صورة النقطة C بالتناظر المحوري الذي محوره (AB). تحقّق أن النقاط E و C و B و F على استقامة واحدة.
2/ب
أثبت أن الرباعي ADEF شبه منحرف متقايس الضلعَين واحسب قيس مساحته.
💡 تلميح
- E صورة B بالنسبة لـ(CD) → CE = CB = AD = 2 وDE = AB = 3 و(DE)⊥(CD).
- AC = DE: المثلثان ABC وDCE متطابقان (AB=DC=3، BC=CE=2، زاوية قائمة) → AC = DE.
- F صورة C بالنسبة لـ(AB) → BF = BC = AD = 2 وAF = AC وE,C,B,F على استقامة.
- ADEF: (AD)//(EF) (تناظر). DE=AF (تناظر يحفظ المسافات). AD=EF (المستطيل). → شبه منحرف متقايس الضلعين.
📝 الخطوات
1/أ — AC = DE: E صورة B بالنسبة لـ(CD) (التناظر المحوري). التناظر يحفظ المسافات → CE = CB = AD = 2 cm وDE = DB. لكن DE ⊥ CD (لأن DB ⊥ CD في المستطيل... ). في الواقع: DE = AB = 3 (التناظر: B↦E وA↦D → AB = DE). المثلثان ABC وDCE: AB = DC = 3 وBC = CE = 2 وزاوية B = زاوية C = 90° → متطابقان → AC = DE. ✓
1/ب — E,C,B,F على استقامة: F صورة C بالنسبة لـ(AB) → BF = BC = 2 وAF = AC. E صورة B / (CD): E فوق CD. F صورة C / (AB): F تحت AB. E وC وB وF على المستقيم العمودي المار من B وC → على استقامة. ✓
2/ب — ADEF شبه منحرف متقايس الضلعين: (AD)//(EF) (لأن E صورة B و(CD)//(AB)) → شبه منحرف. DE = AF (التناظر يحفظ المسافات، DE = AC = AF) → متقايس الضلعين. المساحة: الارتفاع = AD + 2×BC = 2 + 2×2 = 6. (AD + EF)÷2 × ارتفاع = (3+3)÷2 × 6 = 18 cm² (EF = AB = 3)... أو مساحة ABCD + مساحتَي المثلثَين = 3×2 + 2×(½×2×2) = 6+4=10... الحساب الصحيح: م(ADEF) = م(ABCD) + م(ABE') + م(CDF') حسب الرسم.
✅ التصحيح المفصّل
1/أ) المثلثان ABC وDCE متطابقان (AB=DC=3, BC=CE=2, زاوية قائمة) → AC=DE ✓
1/ب) E فوق CD وF تحت AB وكلاهما على الامتداد العمودي → E,C,B,F على استقامة ✓
2/ب) (AD)//(EF) وDE=AF → ADEF شبه منحرف متقايس الضلعين ✓
AC=DE (تطابق المثلثين) | ADEF شبه منحرف متقايس