📐 المستطيل
3
التمرين رقم 3
ارسم دائرة 𝒞 مركزها O وقطر لها [AB] بحيث AB = 4. الموسط العمودي لـ[AB] يقطع الدائرة 𝒞 في نقطتَين إحداهما نسميها E. ارسم Δ الماس لـ𝒞 في A و Δ' الماس لـ𝒞 في B.
1
أثبت أن (OE)// Δ وأن Δ//Δ'.
2
الماس لـ𝒞 في E يقطع Δ في C و Δ' في D. ما هي طبيعة الرباعي OECA؟ علّل جوابك.
3
أثبت أن ABCD مستطيل واحسب قيس مساحته.
💡 تلميح
- الموسط العمودي لـ[OA] ⊥ (OA) وΔ ⊥ (OA) (مماس ⊥ شعاع) → (OE) // Δ.
- Δ ⊥ (OA) وΔ' ⊥ (OB) وOA = OB (شعاعان) → Δ // Δ'.
- OECA: (OE) // Δ // (CA) وOE = CA → ضلعان متقابلان // ومتساويان → متوازي أضلاع.
- لإثبات مستطيل: نبيّن ثلاث زوايا قائمة في OECA.
- ABCD: زاوية في A = 90° وزاوية في B = 90° (مماس ⊥ شعاع) → 3 زوايا قائمة → مستطيل.
📝 الخطوات
1 — OE // Δ: الموسط العمودي لـ[OA] يقطع [OA] في منتصفه E. (OE) ⊥ (OA). Δ مماس لـ𝒞 في A → Δ ⊥ (OA). كلاهما ⊥ (OA) → (OE) // Δ. Δ' ⊥ (OB) (مماس في B) وOE ⊥ (OA) وOA = OB → Δ // Δ'.
2 — OECA معيّن: (OE) // (CA) وOE = CA (موسط عمودي لـ[OA] يُنتج CE = OA). OECA: ضلعان متقابلان // ومتساويان → متوازي أضلاع. زاوية OCA = 90° (OC شعاع وCA مماس → (OC) ⊥ CA). OECA له ثلاث زوايا قائمة → مستطيل.
3 — ABCD مستطيل: زاوية في A = 90° (Δ ⊥ (OA)). زاوية في B = 90° (Δ' ⊥ (OB)). (AB) // (CD) (لأن A وB وC وD على الدائرة...). ABCD: 3 زوايا قائمة → مستطيل. المساحة = AB × BC.
✅ التصحيح المفصّل
1) (OE)⊥(OA) وΔ⊥(OA) → (OE)//Δ ✓. Δ⊥(OA) وΔ'⊥(OB) وOA=OB → Δ//Δ' ✓
2) (OE)//(CA) وOE=CA → متوازي أضلاع. زاوية OCA=90° → OECA مستطيل ✓
3) زاوية A=90° وزاوية B=90° وزاوية C=90° → ABCD مستطيل ✓
(OE)//Δ//Δ' | OECA مستطيل | ABCD مستطيل
3) A و B زوايا قائمة ← ABCD مستطيل. المساحة = AB × h
OE // Δ // Δ' | OECA معيّن | ABCD مستطيل