7
التمرين رقم 7
ارسم معيّناً ABCD مركزه I و AB = 6 cm و BD = 4 cm.
2
بيّن أن AIB = 90°.
3
ارسم المستقيم Δ المار من A والعمودي على (AC) والمسقط العمودي M لـ B على Δ. بيّن أن الرباعي AMBI مستطيل لتكن O مركزه.
4
أحسب AM و IM.
5
بيّن أن المثلث OBM متقايس الضلعَين.
💡 تلميح
- في المعيّن: (AC)⊥(BD) في I. BI=ID=BD÷2=2. AI=IC=AC÷2.
- AIB=90° لأن قطرَا المعيّن متعامدَان.
- Δ⊥(AC) من A. AM⊥Δ (M مسقط B). (AM)//(BI) (كلاهما ⊥Δ).
- AMBI: (AM)//(BI)، AM=BI=2، زاوية MAI=90°، زاوية AMB=90° → مستطيل.
📝 الخطوات
2 — AIB = 90°: في المعيّن ABCD: قطراه (AC) و(BD) متعامدَان في I → AIB = 90°.
3 — AMBI مستطيل: Δ⊥(AC) (بالإنشاء). AM⊥Δ (M مسقط B على Δ) → (AM)//(AI) (كلاهما ⊥Δ). BI⊥AI (AIB=90°) → (BI)//Δ. AMBI: (AM)//(BI) (كلاهما ⊥Δ)، (AI)//(MB). زاوية MAI=90° (Δ⊥(AC) وA∈Δ). زاوية AMB=90° (AM⊥Δ). 3 زوايا قائمة → AMBI مستطيل.
4 — AM وIM: في المستطيل AMBI: AM = BI (ضلعَان متقابلَان). BI = BD÷2 = 4÷2 = 2 cm → AM = 2 cm. IM = AB (ضلعَان متقابلَان في المستطيل). AB = 6 cm → IM = 6 cm.
5 — OBM متقايس الضلعَين: O مركز المستطيل AMBI → O منتصف [AI] وO منتصف [BM]. OM = BM÷2 = AB÷2 = 3 cm. OB = BI÷2... لا. O منتصف [BM] → OB = OM? لا. في المستطيل AMBI: قطراه [AB] و[MI] يتنصّفان في O. OB = OA = نصف [AB] = 3 cm. OM = OI = نصف [MI] = 3 cm. OB = OM = 3 cm → OBM متقايس الضلعَين.
✅ التصحيح المفصّل
2) قطرَا المعيّن متعامدَان → AIB=90° ✓
3) (AM)//(BI) (كلاهما ⊥Δ). زاوية MAI=90° وزاوية AMB=90°. AMBI مستطيل ✓
4) AM=BI=BD÷2=2 cm ✓. IM=AB=6 cm ✓
5) O منتصف [AB] وO منتصف [MI] → OB=OA=3 وOM=OI=3 → OB=OM → OBM متقايس الضلعَين ✓
AIB=90° | AMBI مستطيل | AM=2 cm | IM=6 cm | OBM متقايس الضلعَين