8
التمرين رقم 8
ABCD مستطيل مركزه O و AB = 6 cm و AD = 4 cm و I منتصف [OC].
1
ابنِ E بحيث يكون OCED معيّناً.
2
بيّن أن (BC) // (OE).
3/أ
بيّن أن OCFE متوازي أضلاع.
3/ب
بيّن أن OBCE متوازي أضلاع.
3/ج
بيّن أن E و B و I على استقامة واحدة.
4/أ
بيّن أن C منتصف [BF].
4/ب
أحسب مساحة الرباعي OCFE.
💡 تلميح
- O مركز ABCD → OC=OD (نصفَا القطرَين المتساويَين). E مناظرة O/(CD) → CE=CO وDE=DO.
- OCED: OC=CE=ED=DO → 4 أضلاع متساوية → معيّن.
- (OE)⊥(CD) (قطرَا المعيّن). (BC)⊥(CD) (مستطيل) → (OE)//(BC).
- OBCE: OE//(BC) وOE=BC=AB=6 → ضلعَان متقابلَان // ومتساويَان → متوازي أضلاع.
📝 الخطوات
1 — OCED معيّن: O مركز ABCD → OC = OD (نصفَا القطرَين المتساويَين). E مناظرة O بالنسبة لـ(CD) → CE = CO وDE = DO. OCED: OC = CE = ED = DO → 4 أضلاع متساوية → OCED معيّن.
2 — (OE)//(BC): في المعيّن OCED: قطراه (OE) و(CD) متعامدَان → (OE)⊥(CD). (BC)⊥(CD) (ABCD مستطيل). كلاهما ⊥(CD) → (OE)//(BC).
3/أ — OCFE متوازي أضلاع: F: (OF)//(CE) وOF=CE (بالإنشاء أو التعريف). (OC)//(EF) وOC=EF → ضلعَان متقابلَان // ومتساويَان → OCFE متوازي أضلاع.
3/ب — OBCE متوازي أضلاع: (OE)//(BC) (مُثبَت). OE = CD = AB = 6 cm (في المعيّن OE = CD، وفي المستطيل CD = AB = 6). BC = AB = 6 cm (مستطيل). OE = BC = 6 وOE//(BC) → ضلعَان متقابلَان // ومتساويَان → OBCE متوازي أضلاع.
3/ج — E وB وI على استقامة: OBCE متوازي أضلاع → قطراه [OB] و[CE] يتنصّفان في نفس النقطة. I منتصف [OC] (معطى). في OBCE: I منتصف [OC] → I هو تقاطع القطرَين → I منتصف [BE] → I ∈ [BE] → E وB وI على استقامة.
4/أ — C منتصف [BF]: OCFE متوازي أضلاع → قطراه [OF] و[CE] يتنصّفان في I. I منتصف [CE] وI منتصف [OF]. في OBCE: I منتصف [BE] وI منتصف [OC]. C منتصف [BF]: في OCFE وOBCE معاً يشتركان في القطر [CE] منتصفه I. (OC) و(BF) يتنصّفان في C (بخاصية المتوازيَين) → C منتصف [BF].
4/ب — مساحة OCFE: (OC)⊥(OE) (قطرَا المعيّن OCED متعامدَان). OCFE له زاوية COE قائمة → مستطيل. مساحة OCED = (OE × CD) ÷ 2 = (6 × 6) ÷ 2 = 18 cm². OCFE نصف المعيّن OCED → مساحة OCFE = 18 ÷ 2 = 9 cm².
✅ التصحيح المفصّل
1) CE=CO وDE=DO وOC=OD → 4 أضلاع متساوية → OCED معيّن ✓
2) (OE)⊥(CD) و(BC)⊥(CD) → (OE)//(BC) ✓
3/أ) (OC)//(EF) وOC=EF → OCFE متوازي أضلاع ✓
3/ب) OE=BC=6 وOE//(BC) → OBCE متوازي أضلاع ✓
3/ج) I منتصف [OC] → I منتصف [BE] → E,B,I على استقامة ✓
4/أ) بخاصية المتوازيَين → C منتصف [BF] ✓
4/ب) م(OCED)=18÷2=9 cm² ✓
OCED معيّن | (OE)//(BC) | OCFE وOBCE متوازيَا أضلاع | م(OCFE)=9 cm²