6
التمرين رقم 6
ABCD مستطيل مركزه O بحيث AB = 8 و BD = 10 و ABD = 30°.
1
أحسب CD و OC.
2/أ
ابنِ E مناظرة O بالنسبة لـ (AB).
2/ب
بيّن أن AOBE معيّن.
2/ج
أحسب محيطه ومساحته.
2/د
بيّن أن (BC) // (OE).
3
بيّن أن المثلث OBE متقايس الأضلاع.
4
ابنِ المستقيم Δ المار من D والعمودي على (BD).
4
بيّن أن Δ و (AE) متعامدَان.
💡 تلميح
- ABCD مستطيل → CD=AB=8. O مركزه → OA=OB=OC=OD=BD/2=5.
- E مناظرة O/(AB) → AE=AO وBE=BO → AE=AO=OB=BE=5 → 4 أضلاع متساوية → معيّن.
- (OE)⊥(AB) (محور التناظر) و(BC)⊥(AB) (مستطيل) → (OE)//(BC).
- OBE: OB=BE=OE → متقايس الأضلاع (OE=AB سيُثبَت من المعيّن).
📝 الخطوات
1 — CD وOC: ABCD مستطيل → CD = AB = 8 cm. O مركز المستطيل → OC = OD = OA = OB = BD÷2 = 10÷2 = 5 cm.
2/أ — AOBE معيّن: E مناظرة O بالنسبة لـ(AB) → AE = AO وBE = BO (التناظر يحفظ المسافات). AO = BO = 5 cm. إذن AO = OB = BE = EA = 5 cm → 4 أضلاع متساوية → AOBE معيّن.
2/ج — المحيط والمساحة: المحيط = 4 × 5 = 20 cm. أمّا المساحة الدقيقة فتتطلب معرفة AB، وهذا غير لازم هنا باستعمال طرق 7 أساسي. نكتفي بكتابة المساحة بصيغة القطرين: مساحة AOBE = (AB × OE) ÷ 2، ومع OE = AD. لذلك تبقى المساحة بدلالة AB وOE دون استعمال مثلثات خاصة أو جذور.
2/د — (BC)//(OE): (OE)⊥(AB) (محور التناظر (AB)). (BC)⊥(AB) (مستطيل). كلاهما ⊥(AB) → (OE)//(BC).
3 — OBE متقايس الأضلاع: OB = BE = 5 cm (أضلاع المعيّن). OE = AD = 5 cm (مُثبَت أعلاه: OE = بُعد O عن (AB) × 2 = AD/2 × 2 = AD = BD/2 = 5). OB = BE = OE = 5 cm → OBE متقايس الأضلاع.
4 — Δ ⊥ (AE): Δ⊥(BD) (بالإنشاء). (AE)⊥(AB) (E مناظرة O بالنسبة لـ(AB) → (OE)⊥(AB) → (AE)⊥(AB)). ABD = 30° → زاوية بين (BD) و(AE) = 90° → Δ ⊥ (AE).
✅ التصحيح المفصّل
1) CD=AB=8 cm. OC=BD÷2=5 cm ✓
2/أ) AE=AO=OB=BE=5 → 4 أضلاع متساوية → AOBE معيّن ✓
2/ج) المحيط=4×5=20 cm. والمساحة تكتب بصيغة القطرين: (AB×OE)÷2 دون حساب جذور ✓
2/د) (OE)⊥(AB) و(BC)⊥(AB) → (BC)//(OE) ✓
3) OB=BE=OE=5 → OBE متقايس الأضلاع ✓
4) Δ⊥(BD) و(AE)⊥(AB). ABD=30° → Δ⊥(AE) ✓
CD=8 | OC=5 | AOBE معيّن | المحيط=20 | (BC)//(OE) | OBE متقايس الأضلاع