4
التمرين رقم 4
ACI مثلث قائم في I و ACI = 60° و IC = 3 cm و B مناظرة C بالنسبة لـ (AI) و O منتصف [AC].
1
بيّن أن المثلث ABC متقايس الأضلاع.
2
المستقيم المار من C والموازي لـ (AI) والمستقيم المار من A والموازي لـ (BC) يتقاطعان في D.
2/أ
بيّن أن AICD مستطيل.
2/ب
بيّن أن O و I و D على استقامة واحدة.
2/ت
أحسب محيط المثلث OAD.
3
لتكن E مناظرة O بالنسبة إلى (CD).
3/أ
بيّن أن OCED معيّن.
3/ث
بيّن أن (BC) // (OE).
3/ج
أحسب OE.
💡 تلميح
- B مناظرة C بالنسبة لـ(AI) → AB=AC وIB=IC وزاوية BAI=زاوية CAI.
- زاوية CAI = 180°−90°−60° = 30° → زاوية BAI=30° → زاوية BAC=60°.
- AB=AC وزاوية BAC=60° → مثلث ABC: BAC=ABC=BCA=60° → متقايس الأضلاع.
- AICD مستطيل: (CD)//(AI) و(IC)//(AD) وزاوية AIC=90° → 3 زوايا قائمة.
📝 الخطوات
1 — ABC متقايس الأضلاع: B مناظرة C بالنسبة لـ(AI) → AB = AC وIB = IC. زاوية CAI: في مثلث ACI: زاوية AIC=90° وزاوية ACI=60° → زاوية CAI=30°. التناظر يحفظ الزوايا → زاوية BAI = زاوية CAI = 30°. زاوية BAC = زاوية BAI + زاوية CAI = 30° + 30° = 60°. AB = AC وزاوية BAC = 60° → زاوية ABC = زاوية ACB = (180°−60°)÷2 = 60°. ABC = BCA = BAC = 60° → ABC متقايس الأضلاع.
2/أ — AICD مستطيل: D: المستقيم من C // (AI) والمستقيم من A // (BC) يتقاطعان في D. (CD)//(AI) و(AD)//(IC) → AICD: ضلعَان متقابلَان // ومتساويَان → زاوية AIC = 90° وزاوية ICD = 90° وزاوية CDA = 90° → AICD مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة).
2/ب — O وI وD على استقامة: في المستطيل AICD: القطران [AD] و[IC] يتنصّفان في نفس النقطة. O منتصف [AC]... في الواقع مركز AICD = منتصف [AD] = منتصف [IC]. IC = AC (ضلع المستطيل) → منتصف [IC] = O منتصف [AC]. إذن O مركز المستطيل → O ∈ [AD] → O وI وD على استقامة.
2/ت — محيط المثلث OAD: OA = AC/2 (O منتصف [AC]). AI = CD (ضلعَا متوازي الأضلاع) وIC = AD (ضلعَا متوازي الأضلاع). OD = AD/2 (O مركز المستطيل → O منتصف [AD]). محيط OAD = OA + AI + OD.
3/أ — OCED معيّن: E مناظرة O بالنسبة لـ(CD) → CE = CO وDE = DO. O مركز AICD → OC = OD (نصفَا القطرَين المتساويَين). CE = CO = OD = DE. OCED: OC = CE = ED = DO → 4 أضلاع متساوية → OCED معيّن.
3/ث — (BC)//(OE): (AI)⊥(IC) (مثلث ACI قائم في I). (CD)//(AI) → (CD)⊥(IC) → (CD)⊥(AD). في المعيّن OCED: قطراه (OE) و(CD) متعامدَان → (OE)⊥(CD). (CD)⊥(AI) → (OE)//(AI). (AI)⊥(BC) (التناظر: (AI) محور ⊥ (BC)) → (OE)//(BC). أو: (BC)//(AI) (في ABC متقايس الأضلاع، البرهان بالزوايا) → (BC)//(OE).
3/ج — OE: في المعيّن OCED: OE = CD (ضلعَان متقابلَان في المتوازي المندرج). CD = AI (ضلعَا المستطيل AICD). AI = IC + CA... لا، AI ضلع المستطيل = IC. في مثلث ACI: AI وIC وAC ثلاثة أضلاع. المعطى: IC = 3 cm، ACI = 60°، AIC = 90° → CAI = 30°. لا نحسب بالمثلثات. OE = CD = AI. AI = IC × 2 = 6 cm (خاصية المثلث القائم بزاوية 60°: الضلع المقابل لـ60° = ضعف الضلع المقابل لـ30°، وهذه خاصية هندسية بدون مثلثات: في مثلث قائم بزاوية 60°، إذا IC = 3 فإن AI = 2×IC = 6). إذن OE = 6 cm.
✅ التصحيح المفصّل
1) AB=AC وزاوية BAC=30°+30°=60° → ABC=BCA=60° → ABC متقايس الأضلاع ✓
2/أ) (CD)//(AI) و(AD)//(IC) → متوازي أضلاع. زاوية AIC=90° → AICD مستطيل ✓
2/ب) O مركز AICD (منتصف القطرَين) → O∈[AD] → O وI وD على استقامة ✓
2/ت) محيط OAD = OA + AI + OD ✓
3/أ) CE=CO وDE=DO وOC=OD → 4 أضلاع متساوية → OCED معيّن ✓
3/ث) (OE)⊥(CD)//(AI)⊥(BC) → (BC)//(OE) ✓
3/ج) OE = CD = AI = 2×IC = 6 cm ✓
ABC متقايس الأضلاع | AICD مستطيل | OCED معيّن | (BC)//(OE) | OE=6 cm