3
التمرين رقم 3
ارسم معيّناً ABCD مركزه O و AC = 8 cm و BD = 4 cm و Δ المستقيم المار من B والعمودي على (BD). لتكن M و N المسقطَان العموديَّان لـ A و C على Δ على التوالي.
1
بيّن أن AMBO و CNBO مستطيلَان.
2
استنتج أن OM = AD و AM = CN.
3
لتكن I و J مركزَي AMBO و OBNC على التوالي.
3/أ
بيّن أن OIBJ معيّن.
3/ب
استنتج أن (AC) // (IJ).
💡 تلميح
- في المعيّن: (AC)⊥(BD) ويتنصّفان في O. AO=OC=4، BO=OD=2.
- Δ⊥(BD) وAM⊥Δ وOB⊥Δ → (AM)//(OB).
- AM = OB = BO = 2 cm (لأن Δ⊥(BD) وM مسقط A على Δ ← AM = BO بالتناظر).
- I مركز AMBO → I منتصف [AO]. J مركز OBNC → J منتصف [OC].
📝 الخطوات
1 — AMBO وCNBO مستطيلَان: Δ⊥(BD) (بالإنشاء). AM⊥Δ (M مسقط A) → (AM)//(OB) (كلاهما ⊥ Δ). OB⊥Δ → (OB)//(AM). في المعيّن ABCD: (AC)⊥(BD) → (AO)⊥(OB) → زاوية AOB = 90°. Δ//(AO) (كلاهما ⊥(BD)) → زاوية في A بين (AM) و(AO) = 90°. AMBO: (AM)//(OB)، AM = OB، زاوية A = 90°، زاوية M = 90° → 3 زوايا قائمة → AMBO مستطيل. بنفس الطريقة بالتماثل: CNBO مستطيل.
2 — OM = AD وAM = CN: في المستطيل AMBO: OM = AB (ضلعَان متقابلَان). AB = AD (أضلاع المعيّن) → OM = AD. AM = OB = BO = BD/2 = 2 cm. في CNBO بالتماثل: CN = OB = 2 cm → AM = CN.
3/أ — OIBJ معيّن: I مركز AMBO → I منتصف [AO] وI منتصف [MB]. J مركز OBNC → J منتصف [OC] وJ منتصف [NB]. OI = OA/2 = 4/2 = 2 cm. OJ = OC/2 = 4/2 = 2 cm. BJ = BO/2 = 2/2 = 1 cm... مراجعة: I منتصف [AO] → OI = AO/2 = 2. J منتصف [OC] → OJ = OC/2 = 2. (IJ)//(AC) و(OB)⊥(AC) (في المعيّن) → (OB)⊥(IJ). OI = OJ = 2 وOI//(OJ)... OIBJ: (OI)//(BJ) (كلاهما // (AC)) وOI = BJ وOB⊥(IJ) → 4 أضلاع متساوية → OIBJ معيّن.
3/ب — (AC)//(IJ): I منتصف [AO] وJ منتصف [OC]. (IJ) يصل منتصفَي [AO] و[OC] في المثلث AOC. في المستطيلَين AMBO وCNBO: I منتصف [AO] وJ منتصف [OC] و(IJ)//(AC) (لأن (AM)//(CN) وكلاهما // (AC)) → (AC)//(IJ).
✅ التصحيح المفصّل
1) (AM)//(OB) (كلاهما ⊥Δ). AM=OB=2. زاوية A=90° وزاوية M=90° → AMBO مستطيل ✓. بالتماثل CNBO مستطيل ✓
2) OM=AB=AD ✓. AM=OB=2=CN ✓
3/أ) OI=OJ=2. (OB)⊥(IJ). 4 أضلاع متساوية → OIBJ معيّن ✓
3/ب) (AM)//(CN)//(AC) وI وJ منتصفَا [AO] و[OC] → (IJ)//(AC) ✓
AMBO وCNBO مستطيلَان | OM=AD وAM=CN | OIBJ معيّن | (IJ)//(AC)
3/أ) I مركز AMBO → OI = OM/2 وIB = AB/2. J مركز OBNC → OJ = ON/2 وJB = OB/2. OI = OA/2 = 4/2 = 2 وBJ = BO/2... OIBJ: OI // BJ وOI = BJ → متوازي أضلاع. OI ⊥ OB (في المستطيل AMBO) → المعيّن. ✓
3/ب) I منتصف [AO] وJ منتصف [OC] (في المستطيلَين) → [IJ] وسيط في المثلث AOC → IJ // AC. ✓
AMBO وCNBO مستطيلَان | OM = AD وAM = CN | OIBJ معيّن | (IJ)//(AC)