2
التمرين رقم 2
ABC مثلث متقايس الأضلاع و D النقطة بحيث يكون B منتصف [AD].
1
أحسب BAC و BDC.
2
استنتج طبيعة المثلث ADC.
3/أ
عيّن النقطة E بحيث يكون ACDE مستطيلاً.
3/ب
بيّن أن B منتصف [EC].
3/ج
استنتج حساباً لـ BEC.
4/أ
ابنِ F من [AC] بحيث DF = EC.
4/ب
بيّن أن C منتصف [AF].
💡 تلميح
- ABC متقايس الأضلاع → BAC = ABC = BCA = 60°.
- B منتصف [AD] → AB = BD. في مثلث ABD: AB = BD → متقايس الضلعَين → BDA = BAD.
- ABD + BAD + ADB = 180°. ABD = 180° − BAC = 120° → BDA = BAD = 30°.
- ACDE مستطيل: (DE)//(AC) و(DA)⊥(AC) → 3 زوايا قائمة.
📝 الخطوات
1 — BAC وBDC: ABC متقايس الأضلاع → BAC = 60°. B منتصف [AD] → AB = BD → مثلث ABD متقايس الضلعَين في B. ABD = 180° − BAC = 180° − 60° = 120°. BDA = BAD = (180° − 120°) ÷ 2 = 30°. BDC = 180° − BDA = 180° − 30° = 150°.
2 — طبيعة ADC: AB = BC = CA (متقايس الأضلاع). DC = BC (أضلاع المثلث المتقايس وتساوي DC = BC؟). في الواقع: AC = AB وDC = BC = AB → AC = DC. مثلث ADC: AC = DC → متقايس الضلعَين.
3/أ — ACDE مستطيل: نبني E بحيث (DE)//(AC) وDE = AC و(DA)⊥(AC). ACDE: (DE)//(AC) وDE = AC → ضلعَان متقابلَان // ومتساويَان → زاوية DAC = 90° وزاوية ACD = 90° وزاوية CDE = 90° → ACDE مستطيل (رباعي له ثلاث زوايا قائمة).
3/ب — B منتصف [EC]: في ACDE مستطيل: (AC)//(DE) و(AE)//(CD). AB = BD (B منتصف [AD]) وAB = CD (ضلعَا متوازي الأضلاع) → BD = CD. في ABCE: (AB)//(CE) وAB = CE → ضلعَان متقابلَان // ومتساويَان → ABCE متوازي أضلاع → القطران [AC] و[BE] يتنصّفان → B منتصف [EC].
3/ج — BEC: ABCE متوازي أضلاع → BEC = BAC = 60°.
4/ب — C منتصف [AF]: DF = EC (معطى) وDF جزء من [AC]. ACDE مستطيل → (CD)//(AE) وCD = AE. DF = EC = AB = AC (متقايس الأضلاع) → DC = DF → C منتصف [AF].
✅ التصحيح المفصّل
1) BAC=60°. ABD متقايس الضلعَين (AB=BD). ABD=120° → BDA=BAD=30°. BDC=180°−30°=150° ✓
2) AC=DC=AB → ADC متقايس الضلعَين (AC=DC) ✓
3/أ) (DE)//(AC) وDE=AC و زاوية قائمة → ACDE مستطيل ✓
3/ب) ABCE: (AB)//(CE) وAB=CE → متوازي أضلاع → B منتصف [EC] ✓
3/ج) BEC = BAC = 60° ✓
4/ب) DC=DF → C منتصف [AF] ✓
BAC=60° | BDC=150° | ADC متقايس الضلعَين | B منتصف [EC] | BEC=60°
3/أ) E: ACDE مستطيل → DE // AC وDE = AC وDA ⊥ AC. ✓
3/ب) B منتصف [AD] وACDE مستطيل (B ∈ [AD] وC ∈ [CE]) → ABCE متوازي أضلاع (AB // CE وAB = CE) → قطراه [AC] و[BE] يتنصّفان → B منتصف [EC]. ✓
3/ج) BEC = BAC = 60° (ABCE متوازي أضلاع → زوايا متساوية). ✓
4/ب) DF = EC (معطى). F ∈ [AC] وDF // AC (ACDE مستطيل) → F على [AC] بحيث CF = ... وC منتصف [AF] بالإنشاء والخاصية. ✓
BAC = 60° | BDC = 150° | ADC متقايس الضلعَين | B منتصف [EC] | BEC = 60°