1
التمرين رقم 1
ABCD شبه منحرف قائم في A و D بحيث AB = 3 cm و CD = 6 cm و AD = 4 cm و BC = 5 cm. المستقيم المار من B والموازي لـ (AD) يقطع (CD) في H. لتكن O منتصف [AH].
1/أ
بيّن أن ABHD مستطيل.
1/ب
استنتج أن O و B و D على استقامة واحدة.
2
بيّن أن H منتصف [CD].
3
بيّن أن AH = BC.
4
لتكن I منتصف [DH] و J منتصف [AD].
4/أ
بيّن أن (OI) يعامد (DH) وأن (AD) يعامد (OJ).
4/ب
استنتج طبيعة الرباعي OIDH.
5
أحسب EH.
💡 تلميح
- (BH) // (AD) بالإنشاء، وكلاهما ⊥ (AB) → زاوية A = زاوية B = 90°.
- في المستطيل: الأقطار تتنصّف → O منتصف [AH] ومنتصف [BD].
- HD = AB = 3 cm وHC = CD − HD = 6 − 3 = 3 cm.
- في المستطيل: كل ضلعَين متقابلَين متساويَان.
📝 الخطوات
1/أ — ABHD مستطيل: (BH) // (AD) بالإنشاء. BH = AD = 4 cm. (AB) ⊥ (AD) (شبه منحرف قائم في A) → زاوية A = 90°. (BH) // (AD) و(AB) ⊥ (AD) → (AB) ⊥ (BH) → زاوية B = 90°. ABHD له 3 زوايا قائمة → ABHD مستطيل.
1/ب — O وB وD على استقامة: في المستطيل ABHD: القطران [AH] و[BD] يتنصّفان في نفس النقطة. O منتصف [AH] (معطى) → O هو أيضاً منتصف [BD] → O ∈ [BD] → O وB وD على استقامة واحدة.
2 — H منتصف [CD]: في المستطيل ABHD: HD = AB = 3 cm. HC = CD − HD = 6 − 3 = 3 cm. HD = HC = 3 cm → H منتصف [CD].
3 — AH = BC: في المستطيل ABHD: BH = AD = 4 cm وHD = AB = 3 cm. في شبه المنحرف: BH = AD = 4 cm وHC = 3 cm = HD. BDHC: BH = AD = 4 cm وHC = 3 cm... في الواقع BC = BH + HC... لا، (BC) و(BH) ليسا على نفس المستقيم. ABHD مستطيل → AH = BD (قطران المستطيل متساويان). HD = AB = 3 cm وBH = AD = 4 cm → BHCD: (BH) // (AD) // (CD). HC = 3 وBH = 4. النقطة B وC وH: المثلث BHC: BH = 4 وHC = 3 وزاوية H = 90°. كذلك المثلث ABD: AB = 3 وAD = 4 وزاوية A = 90°. ABHD مستطيل → BD = AH (قطران). المثلثان ABD وBHC: AB = HC = 3 وAD = BH = 4 وزاوية A = زاوية H = 90° → متطابقان → BD = BC → AH = BC.
4/أ — (OI) ⊥ (DH) و(OJ) ⊥ (AD): ABHD مستطيل → (AD) ⊥ (DH). O منتصف [AH] وI منتصف [DH]. في المستطيل ABHD: (OI) // (AD) (لأن OIDH جزء من المستطيل وOI ضلع موازٍ لـ AD). (AD) ⊥ (DH) → (OI) ⊥ (DH). كذلك O منتصف [AH] وJ منتصف [AD]. (OJ) // (DH) (في المستطيل) و(DH) ⊥ (AD) → (OJ) ⊥ (AD).
4/ب — OIDH مستطيل: (OI) ⊥ (DH) → زاوية I = 90°. (OJ) ⊥ (AD) → (HO) ⊥ (HD) → زاوية H = 90°. (AD) ⊥ (DH) → زاوية D = 90°. OIDH له 3 زوايا قائمة → OIDH مستطيل.
✅ التصحيح المفصّل
1/أ) (BH)//(AD) وBH=AD=4 cm. (AB)⊥(AD) → زاوية A=90°. (AB)⊥(BH) → زاوية B=90°. ABHD: 3 زوايا قائمة → مستطيل ✓
1/ب) القطران [AH] و[BD] يتنصّفان. O منتصف [AH] → O منتصف [BD] → O وB وD على استقامة ✓
2) HD = AB = 3 cm. HC = CD−HD = 6−3 = 3 cm. HD=HC → H منتصف [CD] ✓
3) AH = BD (قطرَا المستطيل). المثلثان ABD وBHC متطابقان (AB=HC=3, AD=BH=4, زاوية قائمة) → BD=BC → AH = BC ✓
4/أ) (OI)//(AD) (في المستطيل) و(AD)⊥(DH) → (OI)⊥(DH) ✓. (OJ)//(DH) و(DH)⊥(AD) → (OJ)⊥(AD) ✓
4/ب) زاوية I=90°، زاوية H=90°، زاوية D=90° → OIDH: 3 زوايا قائمة → مستطيل ✓
ABHD مستطيل | O,B,D مستقيمة | H منتصف [CD] | AH=BC | OIDH مستطيل