1) ارسم مثلثاً \(EFG\) قائم الزاوية في \(E\) حيث \(EG=2\) و\(FG=5\).
2) ارسم \(H\) بحيث تكون \(E\) منتصف \([HG]\).
أ) ما هي مناظرة كل من \(G\) و\(F\) بالنسبة لـ\((EF)\)؟ علل.
ب) استنتج أن \(HF=5\).
3) ارسم \([HK]\) الارتفاع الصادر من \(H\) للمثلث \(HFG\). أ) بيّن أن \(EK=2\).
4) أ) عيّن \(M\) منتصف \([HF]\). بيّن أن \(MK=2{,}5\).
ب) استنتج محيط المثلث \(MEK\).
💡 تلميح
- 2-أ): \(E\) منتصف \([HG]\) و\((EF) \perp (HG)\) (الزاوية في \(E\) قائمة). ماذا يعني ذلك للمستقيم \((EF)\) بالنسبة لـ\([HG]\)؟
- 2-ب): التناظر المحوري يحافظ على الأطوال → \(HF = GF\).
- 3-أ): في المثلث \(HFG\)، \([HK]\) ارتفاع → \(K \in [FG]\) و\(\widehat{HKG}=90°\). قارن المثلثين \(HKG\) و\(EFG\).
- 4-أ): المثلث \(HKF\) قائم في \(K\). \(M\) منتصف \([HF]\). ما الخاصية المستعملة؟
📝 الطريقة
2-أ): \(E\) منتصف \([HG]\) و\((EF) \perp (GH)\) (المثلث قائم في \(E\)) → \((EF)\) هو الموسط العمودي لـ\([HG]\).
- مناظرة \(G\) بالنسبة لـ\((EF)\): هي \(H\) (لأن \(E\) على الموسط العمودي وهو محور التناظر).
- مناظرة \(F\) بالنسبة لـ\((EF)\): هي \(F\) نفسها (لأن \(F \in (EF)\)).
2-ب): التناظر يُبقي \(F\) ثابتة ويحول \(G\) إلى \(H\) → \(HF = GF = 5\).
3-أ): المثلثان \(HKG\) و\(EGF\) متشابهان (أو متقايسان) بحكم التناظر. \(EK = EG = 2\).
4-أ): المثلث \(HKF\) قائم في \(K\). \(M\) منتصف الوتر \([HF]\) → \(MK = \dfrac{HF}{2} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\).
4-ب): \(ME=MK=2{,}5\) (بنفس الخاصية في المثلث \(HEF\) القائم) و\(EK = 2\) → محيط \(MEK = ME+MK+EK\).
✅ الحل الكامل
2-أ) \(E\) منتصف \([HG]\) و\((EF) \perp (HG)\) (الزاوية في \(E\) قائمة). إذن \((EF)\) هو الموسط العمودي لـ\([HG]\)، وهو محور تناظر لـ\(G\) و\(H\).
مناظرة \(G\) بالنسبة لـ\((EF)\) هي \(\mathbf{H}\). مناظرة \(F\) بالنسبة لـ\((EF)\) هي \(\mathbf{F}\) نفسها. ✓
2-ب) التناظر المحوري يحافظ على المسافات: \(HF = GF = 5\). ✓
3-أ) في المثلث \(HFG\)، \([HK]\) ارتفاع → \(K \in [FG]\) و\(\widehat{HKF}=90°\). المثلثان \(HKG\) و\(EGF\) متشابهان بحكم التناظر ونقل الأطوال: \(EK = EG = \mathbf{2}\). ✓
4-أ) المثلث \(HKF\) قائم في \(K\)، و\(M\) منتصف الوتر \([HF]\). بخاصية المثلث القائم: \[MK = \frac{HF}{2} = \frac{5}{2} = \mathbf{2{,}5}\] ✓
4-ب) في المثلث \(HEF\) القائم في \(E\)، \(M\) منتصف الوتر \([HF]\) → \(ME = \dfrac{HF}{2} = 2{,}5\).
محيط المثلث \(MEK\):
\[P = ME + MK + EK = 2{,}5 + 2{,}5 + 2 = \mathbf{7 \text{ وحدة}}\] ✓