تمرين رقم 19 ص 85

نعتبر الرسم المقابل حيث \(O\) نقطة تقاطع ارتفاعين في المثلث \(ABC\).

1) أ) ماذا تمثل النقطة \(O\) بالنسبة للمثلث \(ABC\)؟ علل جوابك.

ب) أثبت أن \((CO) \perp (AB)\).

2) أ) ابنِ الموسط العمودي \(\Delta\) لـ \([BC]\). \(\Delta\) يقطع \([AC]\) في \(I\) و \((AB)\) في \(E\).

ب) ما هو المركز القائم لكل من المثلثات \(ABC\) و \(EBC\) و \(IBC\)؟

ج) أثبت أن \((EC) \perp (BI)\).

💡

📝

✅

لم تبدأ بعد

💡 تلميح

1-أ): \(O\) تقاطع ارتفاعين → تعريف المركز القائم مباشرة.
1-ب): المركز القائم يقع على الارتفاعات الثلاثة. ماذا يعني أن \((CO)\) يمر بالمركز القائم؟
2-ب): \(\Delta\) موسط عمودي لـ\([BC]\) → كل نقطة عليه تبعد نفس المسافة عن \(B\) وعن \(C\). فكّر في أي الارتفاعات يحمله كل مثلث.
2-ج): استعمل المركز القائم للمثلث \(IBC\) الذي وجدته.

📝 الطريقة

1-أ): المركز القائم = نقطة تقاطع الارتفاعات الثلاثة.

1-ب): بما أن \(O\) مركز قائم للمثلث \(ABC\)، يقع على الارتفاع الثالث الصادر من \(C\). هذا الارتفاع عمودي على \((AB)\) → \((CO) \perp (AB)\).

2-ب):

المثلث \(ABC\): المركز القائم = \(O\).
المثلث \(EBC\): \(\Delta\) موسط عمودي لـ\([BC]\) → \((EI) \perp (BC)\) أي \([EI]\) ارتفاع في \(EBC\). والارتفاع الصادر من \(E\): نلاحظ أن الارتفاع الصادر من \(B\) في \(ABC\) يمر من \(O\)، وهو ارتفاع في \(EBC\) أيضاً → المركز القائم = \(O\).
المثلث \(IBC\): بنفس المنطق → المركز القائم = \(E\).

2-ج): \(E\) مركز قائم للمثلث \(IBC\) → \((EC)\) هو الارتفاع من \(C\) في \(IBC\) → \((EC) \perp (BI)\).

✅ الحل الكامل

1-أ) بما أن \(O\) هي نقطة تقاطع ارتفاعين للمثلث \(ABC\)، فإن \(O\) هي المركز القائم للمثلث \(ABC\). ✓ 1-ب) المركز القائم يقع على الارتفاعات الثلاثة. إذن المستقيم \((CO)\) يحمل الارتفاع الصادر من \(C\)، وهو عمودي على الضلع المقابل \((AB)\). إذن \((CO) \perp (AB)\). ✓ 2-ب) المثلث \(ABC\): المركز القائم = \(O\). المثلث \(EBC\): \(\Delta\) موسط عمودي لـ\([BC]\)، فالمستقيم \((EI)\) عمودي على \((BC)\) → هو ارتفاع في المثلث \(EBC\) من \(E\). الارتفاع الثاني من \(B\) في المثلث \(ABC\) هو أيضاً ارتفاع في \(EBC\). نقطة تقاطعهما هي \(O\)، المركز القائم لـ\(EBC\). المثلث \(IBC\): \(\Delta \perp (BC)\) → هو ارتفاع في \(IBC\) من \(I\). الارتفاع من \(C\) في \(ABC\) هو أيضاً ارتفاع في \(IBC\). نقطة تقاطعهما هي \(E\)، المركز القائم لـ\(IBC\). 2-ج) بما أن \(E\) هي المركز القائم للمثلث \(IBC\)، فإن \((EC)\) هو الارتفاع الثالث الصادر من \(C\). إذن \((EC) \perp (BI)\). ✓