تمرين 25 موسط عمودي في مثلث قائم متساوي الساقين

مثلث ABC قائم في A: زاوية ABC=45°.

1) أثبت أن المثلث ABC متقايس الضلعين قمته A.

2) عيّن I منتصف [BC]. أ- بيّن أن (IA) موسط عمودي لـ[BC]. ب- استنتج أن المثلث IAC قائم في A.

3) أ- مركز الدائرة المحيطة بـABC = ......... ب- المركز القائم للمثلث IAB = .........

💡

📝

✅

لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• زاوية ABC=45° وزاوية BAC=90° → احسب زاوية ACB.

• إذا تساوت زاويتان فالضلعان المقابلان متساويان.

• الموسط العمودي لـ[BC] = مستقيم عمودي على (BC) يمر من منتصفه I.

• مركز الدائرة المحيطة بالمثلث القائم = منتصف الوتر. المركز القائم للمثلث القائم = رأس الزاوية القائمة.

📝 الطريقة

• زاوية ACB = 180° − 90° − 45° = 45° = زاوية ABC → AB=AC → متساوي الساقين في A.

• في المثلث متساوي الساقين، الموسط من القمة الرئيسية = موسط عمودي → (AI) ⊥ (BC).

• (AI) ⊥ (BC) وC على (BC) → الزاوية بين AI وAC = 90° → المثلث IAC قائم في A.

• مركز الدائرة المحيطة بالمثلث القائم في A = منتصف الوتر [BC] = I.

• في المثلث IAB: (IA) ⊥ (BC) و B على (BC) → الزاوية IAB = 90° → المركز القائم = A.

✅ الحل الكامل

1) المثلث ABC متساوي الساقين:

زاوية ACB = 180° − 90° − 45° = 45°. إذن زاوية ABC = زاوية ACB = 45° → AB = AC. إذن المثلث متساوي الساقين قمته A. ✓

2-أ) (IA) موسط عمودي لـ[BC]:

I منتصف [BC] والمثلث متساوي الساقين في A → الموسط من A (وهو [AI]) عمودي على [BC]. إذن (AI) يمر من منتصف [BC] ويكون عمودياً عليه → (IA) هو الموسط العمودي لـ[BC]. ✓

2-ب) المثلث IAC قائم في A:

(AI) ⊥ (BC). C ∈ (BC) → الزاوية IAC = 90° → المثلث IAC قائم في A. ✓

3) الإجابات:

أ) مركز الدائرة المحيطة بالمثلث القائم في A = منتصف الوتر = I. ب) المثلث IAB قائم في A (لأن زاوية IAB = 90°) → المركز القائم = رأس الزاوية القائمة = A. ✓