تمرين 21 موسطات في مثلث قائم متساوي الساقين

مثلث ABC قائم في A: AB=AC=4cm.

1) احسب زاوية ACB وزاوية ABC. علل جوابك.

2) ارسم E بحيث B منتصف [AE]. عيّن O منتصف [EC]. أ- ما طبيعة المثلث OAE؟ ب- (BC) و(OA) يتقاطعان في I — ماذا تمثل I للمثلث AEC؟

3) (EI) يقطع [AC] في K. أثبت أن K منتصف [AC].

💡

📝

✅

لم تبدأ بعد

💡 تلميح

• مثلث قائم في A ومتساوي الساقين (AB=AC) → الزاويتان عند B وC متساويتان.

• B منتصف [AE] → AE=2×AB. O منتصف [EC].

• في س3: [EI] يمر من E إلى نقطة K على [AC] → إذا كان [EI] موسطاً في AEC فإن K منتصف [AC].

📝 الطريقة

• س1: زاوية ABC = زاوية ACB = (180° − 90°)/2 = 45°.

• س2-أ: AE=2AB=8cm. OE=EC/2. Dans le triangle AEC, O est le milieu de [EC] et [OA] passe de A à O → [OA] est la médiane de A dans AEC. La médiane issue du sommet du triangle isocèle... à analyser selon la figure.

• س3: I = (BC) ∩ (OA). [OA] est la médiane de AEC depuis A → I est sur la médiane. [EI] passe par E et par un point de la médiane → c'est aussi une médiane → K milieu de [AC].

✅ الحل الكامل

1) حساب الزاويتين:

زاوية BAC = 90°، AB=AC → المثلث متساوي الساقين في A → زاوية ABC = زاوية ACB. زاوية ABC + زاوية ACB = 90° → 2 × زاوية ABC = 90° → زاوية ABC = زاوية ACB = 45°. ✓

2-أ) طبيعة المثلث OAE:

B منتصف [AE] → AE=2×AB=8cm. O منتصف [EC]. في المثلث AEC: O منتصف [EC] و [OA] هو الموسط من A. بحساب الأطوال: OA = OE → المثلث OAE متساوي الساقين في O. ✓

2-ب) النقطة I:

[OA] موسط المثلث AEC من A (يصل A بـO منتصف [EC]). I = (OA) ∩ (BC). في المثلث AEC، الموسطات تتقاطع في مركز الثقل → I هو مركز ثقل المثلث AEC. ✓

3) K منتصف [AC]:

I مركز ثقل المثلث AEC → يقع على الموسطات الثلاثة. [EI] هو الموسط من E → يقطع [AC] في منتصفه K. إذن K منتصف [AC]. ✓